电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm0.50.5−0.5−0.511−1−11.51.5−1.5−1.5θz

数 z = 1.5·ej1.5 的角度以弧度为单位。求它的虚部 b。

r = 1.5θ = 1.5 rad
b =
2.复数困难
ReIm11−1−122−2−2z₁z₂

解 z² + 3z + 6.25 = 0。根为 a ± jb；求 b > 0。

p = 3q = 6.25
b =
3.交流阻抗和相量中等
230 V100 HzR = 20 ΩL = 50 mHC = 100 µFI

一个串联 RLC 电路接在 230 V（有效值）、100 Hz 的电源上。 求电路的功率因数 cos φ。

V = 230 V (rms)f = 100 HzR = 20 ΩL = 50 mHC = 100 µF
cos φ =
4.交流阻抗和相量困难
100 V1000 HzR = 60 ΩL = 20 mHC = 22 µFI

一个串联 RLC 电路接在 100 V（有效值）、1000 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。

V = 100 V (rms)f = 1000 HzR = 60 ΩL = 20 mHC = 22 µF
I = A
5.交流功率和功率因数中等
120 VZ15 + j20 ΩI

一个阻抗为 Z = 15 + j20 Ω 的负载接在 120 V（有效值）的单相电源上。 求它吸收的有功功率 P。

V = 120 VZ = 15 + j20 Ω
P = W
6.交流功率和功率因数困难
P = 40 kWQ1​S1​φ1​QC​

一个单相负载从 400 V、60 Hz 电源吸取 40 kW，功率因数为 0.7（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.9。 求所需电容 C。

P = 40 kWpf1 = 0.7pf2 = 0.9V = 400 Vf = 60 Hz
C = µF
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
C = 220 nF+−6 VL = 0.47 µHiL​

一个充电到 15 V 的 220 nF 电容器与一个理想的 0.47 µH 电感振荡。求电容器电压为 6 V 的时刻电感中储存的能量 WL，单位 µJ。

C = 220 nFV0 = 15 VvC = 6 V
WL = µJ
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
C = 4.7 nFr = 10 ΩL = 47 µH

一个并联谐振回路由一个 4.7 nF 电容器和一个绕组电阻为 10 Ω 的 47 µH 线圈构成。谐振时它表现得像一个电阻，其动态电阻 RD = L/(C·r)。求 RD，单位 kΩ。

L = 47 µHC = 4.7 nFr = 10 Ω
RD = kΩ
9.三相电中等
ABCVL​ = 415 VIL​ = 30 Acos φ = 0.8滞后

一个对称三相负载从线电压为 415 V 的电源取用 30 A 的线电流，功率因数为 0.8（滞后）。求负载取用的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 415 VIL = 30 Acos φ = 0.8
P = kW
10.三相电困难
P = 50 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

一个对称三相负载从 415 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 50 kW，功率因数为 0.8（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.95（滞后）。有功功率保持不变。 求电容器组须提供的总无功功率 QC，以 kvar 计。

P = 50 kWpf1 = 0.8pf2 = 0.95VL = 415 Vf = 50 Hz
QC = kvar
11.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​6 Vt = 0R = 68 ΩL68 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 开关闭合后多长时间电流达到终值的 80%？求 t。

Vs = 6 VR = 68 ΩL = 68 mH
t = ms
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​20 Vt = 0R = 1 kΩC68 µF+−vC​vC​(0) = 8 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 8 V，极性如图所示。 vC 需要多长时间达到 12.8 V？求 t。

Vs = 20 VR = 1 kΩC = 68 µFvC(0) = 8 V
t = ms
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 12 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​12 VR2​20 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 12 VR1 = 12 ΩR2 = 20 ΩR3 = 15 Ω
Vth = V
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 6 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​18 VR2​30 ΩAIs​1.5 ABRL​3 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 3 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 18 VIs = 1.5 AR1 = 6 ΩR2 = 30 ΩR3 = 2 ΩRL = 3 Ω
IL = A
15.伯德图与裕度中等
vin​L = 47 mHR = 1000 Ωvout​

图中所示的RL 低通滤波器有R = 1000 Ω, L = 47 mH。输入为850 Hz的正弦信号。 求 vout 相对于 vin 的相移 φ，单位为度。

R = 1000 ΩL = 47 mHf = 850 Hz
φ = °
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.1111010100100−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−180−135−90−450ωc​ = ?

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = 12/(s(s + 4))。 求增益穿越频率 ωc，即 |L(jω)| = 1 处。

L(s) = 12/(s(s + 4))
ωc = rad/s

3溶液

1.复数

答案: b = 1.496

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

欧拉公式

z = 1.5·(cos 1.5 + j sin 1.5)

分量（弧度）

a = 1.5·cos 1.5 = 0.1061
b = 1.5·sin 1.5 = 1.496
b = 1.496

答案

b = 1.496
2.复数

答案: b = 2

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

判别式

p² − 4q = 9 − 25 = −16 < 0

求根公式

z = (−3 ± j√16)/2 = −1.5 + j2, −1.5 − j2

答案

b = 2

答案

b = 2
3.交流阻抗和相量

答案: cos φ = 0.7904

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XL = 31.42 Ω, XC = 15.92 Ω

阻抗

|Z| = √(20² + (15.5)²) = 25.3 Ω

功率因数

cos φ = R/|Z| = 20/25.3 = 0.7904
电路是感性的，所以功率因数滞后。

答案

cos φ = 0.7904
4.交流阻抗和相量

答案: I = 0.7532 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s
XL = ωL = 6283·0.02 = 125.7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(6283·22·10⁻⁶) = 7.234 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(60² + (118.4)²) = 132.8 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 100/132.8 = 0.7532 A

答案

I = 0.7532 A
5.交流功率和功率因数

答案: P = 345.6 W

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

电流

|Z| = √(15² + 20²) = 25 Ω
I = V/|Z| = 120/25 = 4.8 A

有功功率

P = I²·R = 4.8²·15 = 345.6 W

答案

P = 345.6 W
6.交流功率和功率因数

答案: C = 355.4 µF

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = P·tan φ1 = 40·tan(45.57°) = 40.81 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 40·tan(25.84°) = 19.37 kvar
QC = Q1 − Q2 = 21.44 kvar

电容

并联在电源两端的电容提供 Q = V²·ωC。

C = QC/(2πf·V²) = 21435/(2π·60·400²) = 355.4 µF

答案

C = 355.4 µF
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: WL = 20.79 µJ

LC 谐振：充电的电容器连接到电感后，驱动电流使它反向充电：能量在 C 的电场（½Cv²）与 L 的磁场（½Li²）之间以固有频率 f0 = 1/(2π√(LC)) 来回转移。没有电阻时，总能量 ½CV0² 保持不变，所以峰值电流为 Imax = V0√(C/L)。一个周期为 T = 1/f0；能量在其四分之一周期内从 C 转移到 L。

总能量

½·2.2 × 10⁻⁷·15² = 2.475 × 10⁻⁵ J

电容器中剩余的能量

½·2.2 × 10⁻⁷·6² = 3.96 × 10⁻⁶ J

电感中的能量

WL = 2.079 × 10⁻⁵ J = 20.79 µJ

答案

WL = 20.79 µJ
8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: RD = 1 kΩ

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

动态电阻

RD = 4.7 × 10⁻⁵/(4.7 × 10⁻⁹·10) = 1000 Ω = 1 kΩ

用 Q 检验

Q = (1/r)·√(L/C) = 10, Q²·r = 1000 Ω

答案

RD = 1 kΩ
9.三相电

答案: P = 17.25 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

视在功率

S = √3·VL·IL = √3·415·30 = 21.56 kVA

有功功率

P = S·cos φ = 21.56·0.8 = 17.25 kW

答案

P = 17.25 kW
10.三相电

答案: QC = 21.07 kvar

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 50·tan(acos 0.8) = 50·0.75 = 37.5 kvar
Q2 = 50·tan(acos 0.95) = 50·0.3287 = 16.43 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 21.07 kvar

答案

QC = 21.07 kvar
11.RC 和 RL 暂态

答案: t = 1.609 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 68 mH / 68 Ω = 1 ms
i(∞) = Vs/R = 6/68 = 0.08824 A

求解时间

0.8 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.8)
t = −1·ln(0.2) = 1.609 ms

答案

t = 1.609 ms
12.RC 和 RL 暂态

答案: t = 34.74 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 8 V, vC(∞) = Vs = 20 V
τ = R·C = 1 kΩ · 68 µF = 68 ms
vC(t) = 20 + (8 − 20)·e−t/τ

求解时间

12.8 = 20 + (−12)·e−t/τ → e−t/τ = (12.8 − 20)/(8 − 20) = 0.6
t = τ·ln((8 − 20)/(12.8 − 20)) = 68·ln(1.667) = 34.74 ms

答案

t = 34.74 ms
13.戴维南和诺顿

答案: Vth = 7.5 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 12 ΩR3​ = 15 Ω短路R2​20 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 12·20/(12+20) = 7.5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 7.5 + 15 = 22.5 Ω
R1​ = 12 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​12 VR2​20 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 12·20/(12+20) = 7.5 V
14.戴维南和诺顿

答案: IL = 2.55 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 6 ΩR3​ = 2 Ω短路R2​30 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 6·30/(6+30) = 5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 5 + 2 = 7 Ω
R1​ = 6 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​18 VR2​30 ΩAIs​1.5 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 15 + 1.5·5 = 22.5 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 22.5 + 1.5·2 = 25.5 V
Rth​ = 7 Ω+−Vth​25.5 VRL​3 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 25.5/(7 + 3) = 2.55 A
15.伯德图与裕度

答案: φ = −14.09 °

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

转折频率

ωc = R/L = 1000/0.047 = 21277 rad/s
fc = 3386 Hz → f/fc = 850/3386 = 0.251

相位

φ = − atan(0.251) = −14.09°

答案

φ = −14.09°
16.伯德图与裕度

答案: ωc = 2.534 rad/s

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

增益穿越

ω⁴ + 16ω² − 144 = 0
ω² = (−16 + √(256 + 4·144))/2 = 6.422
ωc = 2.534 rad/s

答案

ωc = 2.534 rad/s

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