电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm55−5−5θz

把 z = 2 − j8 写成指数形式 r·ejθ。θ 以弧度给出，取 −π 到 π 之间。

z = 2 − j8
θ = rad
2.复数困难
ReIm22−2−244−4−4z₁z₂

解 z² + 5z + 22.25 = 0。根为 a ± jb；求 b > 0。

p = 5q = 22.25
b =
3.交流阻抗和相量中等
Vf0​ = 200 HzRL = ?C = 0.47 µF

一个 C = 0.47 µF 的 RLC 串联电路必须在 200 Hz 发生谐振。求所需的电感 L。

f0 = 200 HzC = 0.47 µF
L = mH
4.交流阻抗和相量困难
24 Vf0​R = 20 ΩL = 20 mHC = 0.1 µF

一个 RLC 串联电路由 24 V（有效值）的电源驱动，电源频率设为电路的谐振频率。求电感两端的电压有效值 VL。

V = 24 V (rms)R = 20 ΩL = 20 mHC = 0.1 µF
VL = V
5.交流功率和功率因数中等
230 V110 kW, 0.6527 kW, 0.9I = ?

两个负载并联接在 230 V 的单相电源上：一个 10 kW、功率因数为 0.65（滞后）的负载，以及一个 7 kW、功率因数为 0.9（滞后）的负载。 求从电源吸取的总电流 I。

V = 230 VP1 = 10 kW, pf1 = 0.65 滞后P2 = 7 kW, pf2 = 0.9 滞后
I = A
6.交流功率和功率因数困难
P = 35 kWQ1​S1​φ1​QC​

一个单相负载从 230 V、60 Hz 电源吸取 35 kW，功率因数为 0.7（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.95。 求电容需提供的无功功率 QC。

P = 35 kWpf1 = 0.7pf2 = 0.95V = 230 Vf = 60 Hz
QC = kvar
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
C = 100 nF+−14.4 VL = 0.47 µHiL​

一个充电到 24 V 的 100 nF 电容器与一个理想的 0.47 µH 电感振荡。求电容器电压为 14.4 V 的时刻电感中储存的能量 WL，单位 µJ。

C = 100 nFV0 = 24 VvC = 14.4 V
WL = µJ
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
VR = ?470 µHC

一个串联谐振电路使用 470 µH 电感。总串联电阻 R 为多少时带宽为 5 kHz？

L = 470 µHBW = 5 kHz
R = Ω
9.三相电中等
ABCVL​ = 400 VIL​ = ?M55 kW, η = 93%cos φ = 0.82

一台三相感应电动机满载时输出机械功率 55 kW。此负载下其效率为 93%，功率因数为 0.82（滞后）。电源线电压为 400 V。求线电流 IL。

Pout = 55 kWη = 93%cos φ = 0.82VL = 400 V
IL = A
10.三相电困难
P = 200 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

一个对称三相负载从 400 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 200 kW，功率因数为 0.8（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.92（滞后）。有功功率保持不变。 求电容器组须提供的总无功功率 QC，以 kvar 计。

P = 200 kWpf1 = 0.8pf2 = 0.92VL = 400 Vf = 50 Hz
QC = kvar
11.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​15 Vt = 0R = 15 ΩL10 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 1 ms 时电感两端的电压 vL。

Vs = 15 VR = 15 ΩL = 10 mHt = 1 ms
vL = V
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​10 V在 t = 0 断开R1​ = 4.7 kΩR2​ = 6.8 kΩi2​C47 µF+−vC​

开关已闭合很长时间，所以电路处于稳态。在 t = 0 开关断开。 求 t = 400 ms 时流过 R2 的电流 i2。

Vs = 10 VR1 = 4.7 kΩR2 = 6.8 kΩC = 47 µFt = 400 ms
i2 = mA
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 10 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​9 VR2​10 ΩARL​2 ΩIL​B

在 a–b 之间接入负载 RL = 2 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 9 VR1 = 10 ΩR2 = 10 ΩR3 = 5 ΩRL = 2 Ω
IL = A
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 3 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​15 VR2​8 ΩAIs​2.5 ABRL​3 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 3 Ω。利用戴维南等效电路求负载获得的功率 PL。

V1 = 15 VIs = 2.5 AR1 = 3 ΩR2 = 8 ΩR3 = 15 ΩRL = 3 Ω
PL = W
15.伯德图与裕度中等
vin​L = 47 mHR = 220 Ωvout​

图中所示的RL 低通滤波器有R = 220 Ω, L = 47 mH。输入为1.5 kHz的正弦信号。 求 vout 相对于 vin 的相移 φ，单位为度。

R = 220 ΩL = 47 mHf = 1.5 kHz
φ = °
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​ = ?

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = 424/(s(s + 6)(s + 8))。 求相位穿越频率 ω180，即 ∠L(jω) = −180° 处。

L(s) = 424/(s(s + 6)(s + 8))
ω180 = rad/s

3溶液

1.复数

答案: θ = −1.326 rad

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

模

r = √(4 + 64) = 8.246

以弧度表示的辐角

θ = −75.96° = −75.96·π/180 = −1.326 rad

指数形式

z = 8.246·e−j1.326

答案

θ = −1.326 rad
2.复数

答案: b = 4

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

判别式

p² − 4q = 25 − 89 = −64 < 0

求根公式

z = (−5 ± j√64)/2 = −2.5 + j4, −2.5 − j4

答案

b = 4

答案

b = 4
3.交流阻抗和相量

答案: L = 1347 mH

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振条件

谐振时感抗与容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。

ω₀ = 2π·200 = 1257 rad/s
L = 1/(ω₀²·C) = 1/(1257²·0.47·10⁻⁶) = 1347 mH

答案

L = 1347 mH
4.交流阻抗和相量

答案: VL = 536.7 V

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振

谐振时电抗相互抵消，所以阻抗就是 R。

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.02·0.1·10⁻⁶) = 22361 rad/s
I = V/R = 24/20 = 1.2 A

电感两端的电压

XL = ω₀L = 22361·0.02 = 447.2 Ω
VL = I·XL = 1.2·447.2 = 536.7 V

答案

VL = 536.7 V

这是电源电压的 Q = 22.36 倍。

5.交流功率和功率因数

答案: I = 98.81 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

每个负载的无功功率

滞后负载吸收无功功率 (Q > 0)；超前负载发出无功功率 (Q < 0)。

Q1 = 10·tan(arccos 0.65) = 11.69 kvar
Q2 = 7·tan(arccos 0.9) = 3.39 kvar

总计

P = 10 + 7 = 17 kW
Q = 11.69 + 3.39 = 15.08 kvar
S = √(17² + 15.08²) = 22.73 kVA

总电流

I = S/V = 22726/230 = 98.81 A

答案

I = 98.81 A
6.交流功率和功率因数

答案: QC = 24.2 kvar

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = P·tan φ1 = 35·tan(45.57°) = 35.71 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 35·tan(18.19°) = 11.5 kvar
QC = Q1 − Q2 = 24.2 kvar

答案

QC = 24.2 kvar
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: WL = 18.43 µJ

LC 谐振：充电的电容器连接到电感后，驱动电流使它反向充电：能量在 C 的电场（½Cv²）与 L 的磁场（½Li²）之间以固有频率 f0 = 1/(2π√(LC)) 来回转移。没有电阻时，总能量 ½CV0² 保持不变，所以峰值电流为 Imax = V0√(C/L)。一个周期为 T = 1/f0；能量在其四分之一周期内从 C 转移到 L。

总能量

½·1 × 10⁻⁷·24² = 2.88 × 10⁻⁵ J

电容器中剩余的能量

½·1 × 10⁻⁷·14.4² = 1.037 × 10⁻⁵ J

电感中的能量

WL = 1.843 × 10⁻⁵ J = 18.43 µJ

答案

WL = 18.43 µJ
8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: R = 14.77 Ω

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

串联带宽

BW = R/(2πL)

电阻

R = 2π·0.00047·5000 = 14.77 Ω

答案

R = 14.77 Ω
9.三相电

答案: IL = 104.1 A

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

电输入功率

Pin = Pout/η = 55/0.93 = 59.14 kW

线路电流

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 59140/(√3·400·0.82) = 104.1 A

答案

IL = 104.1 A
10.三相电

答案: QC = 64.8 kvar

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 200·tan(acos 0.8) = 200·0.75 = 150 kvar
Q2 = 200·tan(acos 0.92) = 200·0.426 = 85.2 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 64.8 kvar

答案

QC = 64.8 kvar
11.RC 和 RL 暂态

答案: vL = 3.347 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 10 mH / 15 Ω = 0.6667 ms
i(∞) = Vs/R = 15/15 = 1 A

电感电压

t = 0 时全部电源电压加在电感上；之后衰减到零。

vL(t) = Vs·e−t/τ = 15·e−1/0.6667 = 3.347 V

答案

vL = 3.347 V
12.RC 和 RL 暂态

答案: i2 = 0.2487 mA

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容的初始电压

稳态时电容相当于开路，所以 R₁ 和 R₂ 构成分压器。开关断开时电容电压不能突变。

vC(0) = 10·6.8/(4.7 + 6.8) = 5.913 V

开关断开后的时间常数

τ = R2·C = 6.8·47 = 319.6 ms

放电

vC(t) = 5.913·e−400/319.6 = 1.691 V
i2 = vC/R2 = 1.691/6.8 = 0.2487 mA

答案

i2 = 0.2487 mA
13.戴维南和诺顿

答案: IL = 0.375 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 10 ΩR3​ = 5 Ω短路R2​10 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 10·10/(10+10) = 5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 5 + 5 = 10 Ω
R1​ = 10 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​9 VR2​10 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 9·10/(10+10) = 4.5 V
Rth​ = 10 Ω+−Vth​4.5 VRL​2 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 4.5/(10 + 2) = 0.375 A
14.戴维南和诺顿

答案: PL = 21.37 W

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 3 ΩR3​ = 15 Ω短路R2​8 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 3·8/(3+8) = 2.182 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.182 + 15 = 17.18 Ω
R1​ = 3 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​15 VR2​8 ΩAIs​2.5 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 10.91 + 2.5·2.182 = 16.36 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 16.36 + 2.5·15 = 53.86 V
Rth​ = 17.18 Ω+−Vth​53.86 VRL​3 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 53.86/(17.18 + 3) = 2.669 A
PL = IL²·RL = 2.669²·3 = 21.37 W
15.伯德图与裕度

答案: φ = −63.59 °

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

转折频率

ωc = R/L = 220/0.047 = 4681 rad/s
fc = 745 Hz → f/fc = 1500/745 = 2.013

相位

φ = − atan(2.013) = −63.59°

答案

φ = −63.59°
16.伯德图与裕度

答案: ω180 = 6.928 rad/s

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

相位穿越

(ω/6)·(ω/8) = 1 → ω180 = √(6·8) = 6.928 rad/s

答案

ω180 = 6.928 rad/s

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