电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm22−2−244−4−466−6−6θz

求 z = 6 − j5 的辐角 θ，以度为单位，取 −180° 到 180° 之间的主值。

z = 6 − j5
θ = °
2.复数困难
ReIm11−1−122−2−233−3−3z₁z₂

z³ + z² − 17z − 65 = 0 的一个根为 z₁ = −3 + j2。系数为实数。求实根 r。

z₁ = −3 + j2
r =
3.交流阻抗和相量中等
120 V500 HzR = 60 ΩL = 200 mHC = 47 µFI

一个串联 RLC 电路接在 120 V（有效值）、500 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。

V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 60 ΩL = 200 mHC = 47 µF
I = A
4.交流阻抗和相量困难
230 V60 HzR = 25 ΩL = 50 mHC = 47 µF+−VC​

一个串联 RLC 电路接在 230 V（有效值）、60 Hz 的电源上。 求电容两端电压的有效值 VC。

V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 25 ΩL = 50 mHC = 47 µF
VC = V
5.交流功率和功率因数中等
P = 26 kWQSφ

一台单相电动机从 400 V 电源吸取 26 kW，功率因数为 0.75（滞后）。 求线路电流 I。

P = 26 kWpf = 0.75V = 400 V
I = A
6.交流功率和功率因数困难
P = 50 kWQ1​S1​φ1​QC​

一个单相负载从 240 V、60 Hz 电源吸取 50 kW，功率因数为 0.75（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.98。 求新的线路电流 Inew。

P = 50 kWpf1 = 0.75pf2 = 0.98V = 240 Vf = 60 Hz
Inew = A
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
V2.2 kΩ220 µH1 nF

一个并联 RLC 电路的 R = 2.2 kΩ，L = 220 µH，C = 1 nF。求它的品质因数 Q。

R = 2.2 kΩL = 220 µHC = 1 nF
Q =
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
VR = ?47 mHC

一个串联谐振电路使用 47 mH 电感。总串联电阻 R 为多少时带宽为 2 kHz？

L = 47 mHBW = 2 kHz
R = Ω
9.三相电中等
ABCVL​ = 415 VIL​ = 60 Acos φ = 0.92滞后

一个对称三相负载从线电压为 415 V 的电源取用 60 A 的线电流，功率因数为 0.92（滞后）。求负载取用的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 415 VIL = 60 Acos φ = 0.92
P = kW
10.三相电困难
P = 150 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 690 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 150 kW，功率因数为 0.72（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.95（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Y 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 150 kWpf1 = 0.72pf2 = 0.95VL = 690 Vf = 50 Hz
Cph = µF
11.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​15 Vt = 0R = 20 ΩL220 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 20 ms 时的电流 i。

Vs = 15 VR = 20 ΩL = 220 mHt = 20 ms
i = A
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​12 Vt = 0R = ?C1 µF+−vC​

一个定时器在 t = 0 时开始用 12 V 电源通过一个电阻给未充电的电容充电。当电容电压达到 10.8 V 时它必须触发，恰好在开始后 25 ms。 已知 C = 1 µF，求所需的电阻 R。

Vs = 12 VVth = 10.8 VT = 25 msC = 1 µF
R = kΩ
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 10 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​24 VR2​2 ΩARL​12 ΩIL​B

在 a–b 之间接入负载 RL = 12 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 24 VR1 = 10 ΩR2 = 2 ΩR3 = 3 ΩRL = 12 Ω
IL = A
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 30 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​36 VR2​30 ΩAIs​3 ABRL​3 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 3 Ω。利用戴维南等效电路求负载获得的功率 PL。

V1 = 36 VIs = 3 AR1 = 30 ΩR2 = 30 ΩR3 = 12 ΩRL = 3 Ω
PL = W
15.伯德图与裕度中等
vin​R = 47 kΩC = 2.2 nFvout​

图中所示的RC 低通滤波器有R = 47 kΩ, C = 2.2 nF。输入为4.6 kHz的正弦信号。 求 vout 相对于 vin 的相移 φ，单位为度。

R = 47 kΩC = 2.2 nFf = 4.6 kHz
φ = °
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.1111010100100−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−180−135−90−450ωc​

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = 15.5/(s(s + 5))。 求相位裕度 PM，单位为度。

L(s) = 15.5/(s(s + 5))
PM = °

3溶液

1.复数

答案: θ = −39.81 °

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

象限

a = 6, b = −5 → IV

参考角

α = atan(5/6) = 39.81°

辐角

θ = −α = −39.81°

答案

θ = −39.81°

极坐标形式为 z = 7.81∠−39.81°。

2.复数

答案: r = 5

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

共轭对

z₂ = −3 − j2
(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·(−3)·z + ((−3)² + 2²) = z² + 6z + 13

提取二次因式

z³ + z² − 17z − 65 = (z² + 6z + 13)(z − 5)

实根

r = 5

答案

r = 5

用根之和检验：z₁ + z₂ + r = −6 + 5 = −1 = −(1)。

3.交流阻抗和相量

答案: I = 0.1922 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0.2 = 628.3 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·47·10⁻⁶) = 6.773 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(60² + (621.5)²) = 624.4 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 120/624.4 = 0.1922 A

答案

I = 0.1922 A
4.交流阻抗和相量

答案: VC = 287.5 V

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0.05 = 18.85 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·47·10⁻⁶) = 56.44 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(25² + (−37.59)²) = 45.14 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 230/45.14 = 5.095 A

电容电压

VC = I·XC = 5.095·56.44 = 287.5 V

答案

VC = 287.5 V
5.交流功率和功率因数

答案: I = 86.67 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

线路电流

只有有功部分做功，所以要除以功率因数。

I = P/(V·cos φ) = 26000/(400·0.75) = 86.67 A

答案

I = 86.67 A
6.交流功率和功率因数

答案: Inew = 212.6 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = P·tan φ1 = 50·tan(41.41°) = 44.1 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 50·tan(11.48°) = 10.15 kvar
QC = Q1 − Q2 = 33.94 kvar

新的线路电流

Inew = P/(V·cos φ2) = 50000/(240·0.98) = 212.6 A

答案

Inew = 212.6 A
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: Q = 4.69

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

谐振频率

ω₀ = 1/√(LC) = 2.132 × 10⁶ rad/s

品质因数

Q = R/(ω₀L) = 2200/(2.132 × 10⁶·0.00022) = 4.69

答案

Q = 4.69

带宽为 1/(2πRC) = 72.34 kHz。

8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: R = 590.6 Ω

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

串联带宽

BW = R/(2πL)

电阻

R = 2π·0.047·2000 = 590.6 Ω

答案

R = 590.6 Ω
9.三相电

答案: P = 39.68 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

视在功率

S = √3·VL·IL = √3·415·60 = 43.13 kVA

有功功率

P = S·cos φ = 43.13·0.92 = 39.68 kW

答案

P = 39.68 kW
10.三相电

答案: Cph = 637 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 150·tan(acos 0.72) = 150·0.9639 = 144.6 kvar
Q2 = 150·tan(acos 0.95) = 150·0.3287 = 49.3 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 95.28 kvar

每相电容

在 Y 联结电容器组中，每个电容接在一根相线和星点之间。

V = 690/√3 = 398.4 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 31758/(314.2·398.4²) = 637 µF

答案

Cph = 637 µF
11.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.6283 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 220 mH / 20 Ω = 11 ms
i(∞) = Vs/R = 15/20 = 0.75 A

给定时刻的电流

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0.75·(1 − e−20/11) = 0.6283 A

答案

i = 0.6283 A
12.RC 和 RL 暂态

答案: R = 10.86 kΩ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

所需的时间常数

10.8 = 12·(1 − e−25/τ) → τ = 25/ln(12/(12 − 10.8))
τ = 25/2.303 = 10.86 ms

电阻

kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

R = τ/C = 10.86/1 = 10.86 kΩ

答案

R = 10.86 kΩ
13.戴维南和诺顿

答案: IL = 0.24 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 10 ΩR3​ = 3 Ω短路R2​2 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 10·2/(10+2) = 1.667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.667 + 3 = 4.667 Ω
R1​ = 10 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​24 VR2​2 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 24·2/(10+2) = 4 V
Rth​ = 4.667 Ω+−Vth​4 VRL​12 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 4/(4.667 + 12) = 0.24 A
14.戴维南和诺顿

答案: PL = 32.67 W

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 30 ΩR3​ = 12 Ω短路R2​30 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 30·30/(30+30) = 15 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 15 + 12 = 27 Ω
R1​ = 30 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​36 VR2​30 ΩAIs​3 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 18 + 3·15 = 63 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 63 + 3·12 = 99 V
Rth​ = 27 Ω+−Vth​99 VRL​3 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 99/(27 + 3) = 3.3 A
PL = IL²·RL = 3.3²·3 = 32.67 W
15.伯德图与裕度

答案: φ = −71.5 °

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

转折频率

ωc = 1/(RC) = 1/(47000·2.2 × 10⁻⁹) = 9671 rad/s
fc = 1539 Hz → f/fc = 4600/1539 = 2.989

相位

φ = − atan(2.989) = −71.5°

答案

φ = −71.5°
16.伯德图与裕度

答案: PM = 61.43 °

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

增益穿越

ω⁴ + 25ω² − 240.3 = 0
ω² = (−25 + √(625 + 4·240.3))/2 = 7.412
ωc = 2.723 rad/s

相位裕度

∠L(jωc) = −90° − atan(2.723/5) = −118.6°
PM = 180° + ∠L = 61.43°

答案

PM = 61.43°

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