电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm11−1−122−2−233−3−3θz

把 z = 4∠35° 写成直角坐标形式 a + jb，并给出虚部 b。

r = 4θ = 35°
b =
2.复数困难
ReIm11−1−122−2−2θz

用棣莫弗定理求 z = −√3 + j 时 z⁷ 的实部。

z = −√3 + jn = 7
Re(z⁷) =
3.交流阻抗和相量中等
50 V50 HzR = 10 ΩL = 20 mHI

一个电阻和一个电感并联接在 50 V（有效值）、50 Hz 的电源上。 求阻抗的模 |Z|。

V = 50 V (rms)f = 50 HzR = 10 ΩL = 20 mH
|Z| = Ω
4.交流阻抗和相量困难
10 V100 HzR = 50 ΩL = 100 mHC = 47 µF

一个串联 RLC 电路接在 10 V（有效值）、100 Hz 的电源上。 求电路的谐振频率 f0。

V = 10 V (rms)f = 100 HzR = 50 ΩL = 100 mHC = 47 µF
f0 = Hz
5.交流功率和功率因数中等
230 V128 kW, 0.65219 kW, 0.85I = ?

两个负载并联接在 230 V 的单相电源上：一个 28 kW、功率因数为 0.65（滞后）的负载，以及一个 19 kW、功率因数为 0.85（超前）的负载。 求从电源吸取的总电流 I。

V = 230 VP1 = 28 kW, pf1 = 0.65 滞后P2 = 19 kW, pf2 = 0.85 超前
I = A
6.交流功率和功率因数困难
50 V60 HzRs​ = 5 ΩXs​ = j3 ΩZL​ = ?

一个 50 V（有效值）、60 Hz 的电源具有内阻抗 Zs = 5 + j3 Ω。负载阻抗 ZL 可以自由选择。 求能传输给负载的最大有功功率 Pmax。

Vs = 50 V (rms)f = 60 HzZs = 5 + j3 Ω
Pmax = W
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
V220 Ω10 mH47 nF

一个串联 RLC 电路的 R = 220 Ω，L = 10 mH，C = 47 nF。求它的带宽 BW，单位 kHz。

R = 220 ΩL = 10 mHC = 47 nF
BW = kHz
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
V5 Ω1 mH470 pF200 mA

一个串联 RLC 电路（R = 5 Ω，L = 1 mH，C = 470 pF）在谐振时被驱动，电流幅值为 200 mA。求一个周期内在 R 上耗散的能量 Ecycle，单位 nJ。

R = 5 ΩL = 1 mHC = 470 pFIm = 200 mA
Ecycle = nJ
9.三相电中等
ABCVL​ = 415 VNZ = 5 + j12 Ω每相

一个每相阻抗为 5 + j12 Ω 的对称 Y 联结负载接在线电压为 415 V 的对称三相电源上。 求负载吸收的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 415 VZ = 5 + j12 Ω 每相
P = kW
10.三相电困难
P = 75 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

一个对称三相负载从 480 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 75 kW，功率因数为 0.7（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.98（滞后）。有功功率保持不变。 求电容器组须提供的总无功功率 QC，以 kvar 计。

P = 75 kWpf1 = 0.7pf2 = 0.98VL = 480 Vf = 50 Hz
QC = kvar
11.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​24 Vt = 0R = 15 ΩL220 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 30 ms 时电感中储存的能量 W，以 mJ 表示。

Vs = 24 VR = 15 ΩL = 220 mHt = 30 ms
W = mJ
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​15 V在 t = 0 断开R1​ = 2.2 kΩR2​ = 4.7 kΩC47 µF+−vC​

开关已闭合很长时间，所以电路处于稳态。在 t = 0 开关断开。 求 t = 400 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 15 VR1 = 2.2 kΩR2 = 4.7 kΩC = 47 µFt = 400 ms
vC = V
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 2 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​30 VR2​3 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 Rth。

V1 = 30 VR1 = 2 ΩR2 = 3 ΩR3 = 4 Ω
Rth = Ω
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 4 ΩR3​ = 30 Ω+−V1​24 VR2​10 ΩAIs​3 ABab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 24 VIs = 3 AR1 = 4 ΩR2 = 10 ΩR3 = 30 Ω
Vth = V
15.伯德图与裕度中等
vin​C = 1 nFR = 4.7 kΩvout​

图中所示的RC 高通滤波器有R = 4.7 kΩ, C = 1 nF。输入为17 kHz的正弦信号。 求 vout 相对于 vin 的相移 φ，单位为度。

R = 4.7 kΩC = 1 nFf = 17 kHz
φ = °
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​ = ?

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = 354/(s(s + 4)(s + 10))。 求相位穿越频率 ω180，即 ∠L(jω) = −180° 处。

L(s) = 354/(s(s + 4)(s + 10))
ω180 = rad/s

3溶液

1.复数

答案: b = 2.294

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

分量

a = 4·cos(35°) = 3.277
b = 4·sin(35°) = 2.294

直角坐标形式

z = 3.277 + j2.294
b = 2.294

答案

b = 2.294
2.复数

答案: Re(z⁷) = 110.9

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

极坐标形式

z = −√3 + j = 2∠150°

棣莫弗定理

z⁷ = (2)⁷∠1050° = 128∠−30°

直角坐标形式

z⁷ = 128·(cos −30° + j sin −30°) = 110.9 − j64
Re(z⁷) = 110.9

答案

Re(z⁷) = 110.9
3.交流阻抗和相量

答案: |Z| = 5.32 Ω

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XL = ωL = 2π·50·0.02 = 6.283 Ω

支路电流

两条支路都直接接在电源两端，所以每条支路都承受全部电压 V。

IR = V/R = 50/10 = 5 A
IX = V/XL = 50/6.283 = 7.958 A

总电流

电阻电流与 V 同相，电抗电流与 V 相差 90°，所以它们按直角三角形的两边合成。

I = √(IR² + IX²) = √(5² + 7.958²) = 9.398 A

阻抗

|Z| = V/I = 50/9.398 = 5.32 Ω

答案

|Z| = 5.32 Ω
4.交流阻抗和相量

答案: f0 = 73.41 Hz

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振

谐振时感抗和容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。与电源频率无关。

f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.1·47·10⁻⁶)) = 73.41 Hz

答案

f0 = 73.41 Hz
5.交流功率和功率因数

答案: I = 223.7 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

每个负载的无功功率

滞后负载吸收无功功率 (Q > 0)；超前负载发出无功功率 (Q < 0)。

Q1 = 28·tan(arccos 0.65) = 32.74 kvar
Q2 = −19·tan(arccos 0.85) = −11.78 kvar

总计

P = 28 + 19 = 47 kW
Q = 32.74 + (−11.78) = 20.96 kvar
S = √(47² + 20.96²) = 51.46 kVA

总电流

I = S/V = 51462/230 = 223.7 A

答案

I = 223.7 A
6.交流功率和功率因数

答案: Pmax = 125 W

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

共轭匹配

负载电抗抵消电源电抗，负载电阻等于电源电阻。

ZL = Zs* = 5 − j3 Ω

最大功率

I = Vs/(2Rs) = 50/10 = 5 A
Pmax = I²·RL = Vs²/(4Rs) = 50²/(4·5) = 125 W

答案

Pmax = 125 W
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: BW = 3.501 kHz

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

以 rad/s 表示的带宽

R/L = 220/0.01 = 22000 rad/s

以 Hz 表示的带宽

BW = 22000/(2π) = 3501 Hz = 3.501 kHz

答案

BW = 3.501 kHz

当 f₀ = 7.341 kHz 时，得到 Q = 2.097。

8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: Ecycle = 430.8 nJ

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

储存的能量

W = ½·0.001·0.2² = 2 × 10⁻⁵ J

品质因数

Q = (1/5)·√(0.001/4.7 × 10⁻¹⁰) = 291.7

每周期损失的能量

Ecycle = 2π·W/Q = 2π·2 × 10⁻⁵/291.7 = 4.308 × 10⁻⁷ J = 430.8 nJ
校核: ½·0.2²·5/232151 = 4.308 × 10⁻⁷ J

答案

Ecycle = 430.8 nJ
9.三相电

答案: P = 5.095 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

相电压

Vph = 415/√3 = 239.6 V

相电流

|Z| = √(5² + 12²) = 13 Ω
Iph = 239.6/13 = 18.43 A

总有功功率

只有每个阻抗的电阻部分吸收有功功率。

P = 3·Iph²·R = 3·18.43²·5 = 5.095 kW

答案

P = 5.095 kW

验算：cos φ = R/|Z| = 0.3846，用 √3·VL·IL·cos φ 得到相同的功率。

10.三相电

答案: QC = 61.29 kvar

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 75·tan(acos 0.7) = 75·1.02 = 76.52 kvar
Q2 = 75·tan(acos 0.98) = 75·0.2031 = 15.23 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 61.29 kvar

答案

QC = 61.29 kvar
11.RC 和 RL 暂态

答案: W = 213.5 mJ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 220 mH / 15 Ω = 14.67 ms
i(∞) = Vs/R = 24/15 = 1.6 A

给定时刻的电流

i(t) = 1.6·(1 − e−30/14.67) = 1.393 A

储存的能量

W = ½·L·i² = ½·220·1.393² = 213.5 mJ

答案

W = 213.5 mJ
12.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 1.671 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容的初始电压

稳态时电容相当于开路，所以 R₁ 和 R₂ 构成分压器。开关断开时电容电压不能突变。

vC(0) = 15·4.7/(2.2 + 4.7) = 10.22 V

开关断开后的时间常数

τ = R2·C = 4.7·47 = 220.9 ms

放电

vC(t) = 10.22·e−400/220.9 = 1.671 V

答案

vC = 1.671 V
13.戴维南和诺顿

答案: Rth = 5.2 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 2 ΩR3​ = 4 Ω短路R2​3 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 2·3/(2+3) = 1.2 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.2 + 4 = 5.2 Ω
14.戴维南和诺顿

答案: Vth = 115.7 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 4 ΩR3​ = 30 Ω短路R2​10 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 4·10/(4+10) = 2.857 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.857 + 30 = 32.86 Ω
R1​ = 4 ΩR3​ = 30 Ω+−V1​24 VR2​10 ΩAIs​3 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 17.14 + 3·2.857 = 25.71 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 25.71 + 3·30 = 115.7 V
15.伯德图与裕度

答案: φ = 63.34 °

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

转折频率

ωc = 1/(RC) = 1/(4700·1 × 10⁻⁹) = 212766 rad/s
fc = 33863 Hz → f/fc = 17000/33863 = 0.502

相位

φ = 90° − atan(0.502) = 63.34°

答案

φ = 63.34°
16.伯德图与裕度

答案: ω180 = 6.325 rad/s

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

相位穿越

(ω/4)·(ω/10) = 1 → ω180 = √(4·10) = 6.325 rad/s

答案

ω180 = 6.325 rad/s

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