电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm11−1−122−2−233−3−3z₁z₂w

已知 z₁ = 3∠30° 和 z₂ = 1.5∠−25°，求 w = z₁/z₂ 的实部。

z₁ = 3∠30°z₂ = 1.5∠−25°
Re(w) =
2.复数困难
ReIm11−1−122−2−233−3−3z₁z₂

方程 z² + 6z + 11.25 = 0 有两个复根。求它们的模 |z|。

p = 6q = 11.25
|z| =
3.交流阻抗和相量中等
10 V60 HzR = 40 ΩL = 150 mHC = 10 µF

一个串联 RLC 电路接在 10 V（有效值）、60 Hz 的电源上。 求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。

V = 10 V (rms)f = 60 HzR = 40 ΩL = 150 mHC = 10 µF
φ = °
4.交流阻抗和相量困难
10 V1000 HzR = 15 ΩL = 20 mHC = 4.7 µF

一个串联 RLC 电路接在 10 V（有效值）、1000 Hz 的电源上。 求电路的谐振频率 f0。

V = 10 V (rms)f = 1000 HzR = 15 ΩL = 20 mHC = 4.7 µF
f0 = Hz
5.交流功率和功率因数中等
P = 29 kWQSφ

一台单相电动机从 400 V 电源吸取 29 kW，功率因数为 0.6（滞后）。 求线路电流 I。

P = 29 kWpf = 0.6V = 400 V
I = A
6.交流功率和功率因数困难
P = 35 kWQ1​S1​φ1​QC​

一个单相负载从 240 V、50 Hz 电源吸取 35 kW，功率因数为 0.65（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.95。 求新的线路电流 Inew。

P = 35 kWpf1 = 0.65pf2 = 0.95V = 240 Vf = 50 Hz
Inew = A
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
f|I|0.707120 kHzf1​ = ?f2​BW

一个串联 RLC 电路在 20 kHz 谐振，Q = 4。精确求出较低的半功率频率 f1，单位 kHz。

f0 = 20 kHzQ = 4
f1 = kHz
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
C = 2.2 nFr = 10 ΩL = 47 µH

一个并联谐振回路由一个 2.2 nF 电容器和一个绕组电阻为 10 Ω 的 47 µH 线圈构成。谐振时它表现得像一个电阻，其动态电阻 RD = L/(C·r)。求 RD，单位 kΩ。

L = 47 µHC = 2.2 nFr = 10 Ω
RD = kΩ
9.三相电中等
ABCVL​ = 400 VIL​ = ?M37 kW, η = 92%cos φ = 0.82

一台三相感应电动机满载时输出机械功率 37 kW。此负载下其效率为 92%，功率因数为 0.82（滞后）。电源线电压为 400 V。求线电流 IL。

Pout = 37 kWη = 92%cos φ = 0.82VL = 400 V
IL = A
10.三相电困难
P = 75 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 400 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 75 kW，功率因数为 0.75（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.9（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Δ 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 75 kWpf1 = 0.75pf2 = 0.9VL = 400 Vf = 50 Hz
Cph = µF
11.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​6 Vt = 0R1​ = 3.3 kΩR2​ = 4.7 kΩC47 µF+−vC​

电源 Vₛ 通过 R₁ 给电容充电，R₂ 与 C 并联。 开关在 t = 0 闭合时电容未充电。 求开关闭合后电路的时间常数 τ。

Vs = 6 VR1 = 3.3 kΩR2 = 4.7 kΩC = 47 µF
τ = ms
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​6 V在 t = 0 断开R1​ = 4.7 kΩR2​ = 4.7 kΩi2​C68 µF+−vC​

开关已闭合很长时间，所以电路处于稳态。在 t = 0 开关断开。 求 t = 200 ms 时流过 R2 的电流 i2。

Vs = 6 VR1 = 4.7 kΩR2 = 4.7 kΩC = 68 µFt = 200 ms
i2 = mA
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 8 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​12 VR2​3 ΩAab

求诺顿电流 IN：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V1 = 12 VR1 = 8 ΩR2 = 3 ΩR3 = 10 Ω
IN = A
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 12 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​5 VR2​15 ΩAIs​3 ABab

求诺顿电流 IN：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V1 = 5 VIs = 3 AR1 = 12 ΩR2 = 15 ΩR3 = 5 Ω
IN = A
15.伯德图与裕度中等
|H| (dB)0.10.111101010010010001000−40−20020406080ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−180−135−90−450ω = 1

求 G(s) = 21(s + 18)/(s(s + 2)) 在 ω = 1 rad/s 时的相位 ∠G(jω)，单位为度。

G(s) = 21(s + 18)/(s(s + 2))ω = 1 rad/s
∠G(jω) = °
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = 114/(s(s + 3)(s + 6))。 求增益裕度 GM，单位为 dB。

L(s) = 114/(s(s + 3)(s + 6))
GM = dB

3溶液

1.复数

答案: Re(w) = 1.147

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

w 的模和辐角

|w| = 3 / 1.5 = 2
θ = 30° − (−25)° = 55°

直角坐标形式

Re(w) = 2·cos(55°) = 1.147
Im(w) = 2·sin(55°) = 1.638
Re(w) = 1.147

答案

Re(w) = 1.147
2.复数

答案: |z| = 3.354

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

判别式

p² − 4q = 36 − 45 = −9 < 0

求根公式

z = (−6 ± j√9)/2 = −3 + j1.5, −3 − j1.5

答案

|z| = √((−3)² + 1.5²) = √11.25 = 3.354

答案

|z| = 3.354
3.交流阻抗和相量

答案: φ = −79.15 °

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0.15 = 56.55 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·10·10⁻⁶) = 265.3 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(40² + (−208.7)²) = 212.5 Ω

相角

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−208.7/40) = −79.15°

答案

φ = −79.15°
4.交流阻抗和相量

答案: f0 = 519.1 Hz

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振

谐振时感抗和容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。与电源频率无关。

f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.02·4.7·10⁻⁶)) = 519.1 Hz

答案

f0 = 519.1 Hz
5.交流功率和功率因数

答案: I = 120.8 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

线路电流

只有有功部分做功，所以要除以功率因数。

I = P/(V·cos φ) = 29000/(400·0.6) = 120.8 A

答案

I = 120.8 A
6.交流功率和功率因数

答案: Inew = 153.5 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = P·tan φ1 = 35·tan(49.46°) = 40.92 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 35·tan(18.19°) = 11.5 kvar
QC = Q1 − Q2 = 29.42 kvar

新的线路电流

Inew = P/(V·cos φ2) = 35000/(240·0.95) = 153.5 A

答案

Inew = 153.5 A
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: f1 = 17.66 kHz

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

平方根项

√(1 + 1/(4·4²)) = 1.008

较低的半功率频率

f1 = 20000·(1.008 − 0.125) = 17656 Hz = 17.66 kHz

答案

f1 = 17.66 kHz

较高的是 f₂ = 22.66 kHz；检验：f₂ − f₁ = 5 kHz = f₀/Q。

8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: RD = 2.136 kΩ

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

动态电阻

RD = 4.7 × 10⁻⁵/(2.2 × 10⁻⁹·10) = 2136 Ω = 2.136 kΩ

用 Q 检验

Q = (1/r)·√(L/C) = 14.62, Q²·r = 2136 Ω

答案

RD = 2.136 kΩ
9.三相电

答案: IL = 70.79 A

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

电输入功率

Pin = Pout/η = 37/0.92 = 40.22 kW

线路电流

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 40217/(√3·400·0.82) = 70.79 A

答案

IL = 70.79 A
10.三相电

答案: Cph = 197.7 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 75·tan(acos 0.75) = 75·0.8819 = 66.14 kvar
Q2 = 75·tan(acos 0.9) = 75·0.4843 = 36.32 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 29.82 kvar

每相电容

在 Δ 联结电容器组中，每个电容接在两根相线之间。

V = 400 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 9940/(314.2·400²) = 197.7 µF

答案

Cph = 197.7 µF
11.RC 和 RL 暂态

答案: τ = 91.12 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容看到的戴维南等效电路

把电源短路求 Rth；把电容断开，求它最终稳定的电压。

Rth = R1 ∥ R2 = 3.3·4.7/(3.3 + 4.7) = 1.939 kΩ
vC(∞) = 6·4.7/(3.3 + 4.7) = 3.525 V

时间常数

τ = Rth·C = 1.939·47 = 91.12 ms

答案

τ = 91.12 ms
12.RC 和 RL 暂态

答案: i2 = 0.3414 mA

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容的初始电压

稳态时电容相当于开路，所以 R₁ 和 R₂ 构成分压器。开关断开时电容电压不能突变。

vC(0) = 6·4.7/(4.7 + 4.7) = 3 V

开关断开后的时间常数

τ = R2·C = 4.7·68 = 319.6 ms

放电

vC(t) = 3·e−200/319.6 = 1.605 V
i2 = vC/R2 = 1.605/4.7 = 0.3414 mA

答案

i2 = 0.3414 mA
13.戴维南和诺顿

答案: IN = 0.2687 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 8 ΩR3​ = 10 Ω短路R2​3 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 8·3/(8+3) = 2.182 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.182 + 10 = 12.18 Ω
R1​ = 8 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​12 VR2​3 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 12·3/(8+3) = 3.273 V
IN​0.2687 ARth​12.18 Ωab

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

IN = Vth/Rth = 3.273/12.18 = 0.2687 A
14.戴维南和诺顿

答案: IN = 3.238 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 12 ΩR3​ = 5 Ω短路R2​15 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 12·15/(12+15) = 6.667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 6.667 + 5 = 11.67 Ω
R1​ = 12 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​5 VR2​15 ΩAIs​3 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 2.778 + 3·6.667 = 22.78 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 22.78 + 3·5 = 37.78 V
IN​3.238 ARth​11.67 Ωab

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

IN = Vth/Rth = 37.78/11.67 = 3.238 A
15.伯德图与裕度

答案: ∠G(jω) = −113.4 °

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

把各角度相加

∠G = atan(1/18) − 90° − atan(1/2) = 3.18° − 90° − 26.57°

结果

∠G(j1) = −113.4°

答案

∠G(jω) = −113.4°
16.伯德图与裕度

答案: GM = 3.052 dB

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

相位穿越

(ω/3)·(ω/6) = 1 → ω180 = √(3·6) = 4.243 rad/s

相位穿越处的幅值

|L(jω180)| = K/(ω·√(ω² + 9)·√(ω² + 36)) = K/(3·6·(3 + 6)) = K/162

增益裕度

GM = 20·log₁₀(162/114) = 3.052 dB

答案

GM = 3.052 dB

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