电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm22−2−244−4−4z₁z₂w

已知 z₁ = 5∠125° 和 z₂ = 3∠20°，求 w = z₁/z₂ 的实部。

z₁ = 5∠125°z₂ = 3∠20°
Re(w) =
2.复数困难
ReIm22−2−244−4−4z₁z₂

z³ − 3z² + 7z − 85 = 0 的一个根为 z₁ = −1 + j4。系数为实数。求实根 r。

z₁ = −1 + j4
r =
3.交流阻抗和相量中等
100 V50 HzR = 25 ΩL = 100 mHC = 10 µFI

一个串联 RLC 电路接在 100 V（有效值）、50 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。

V = 100 V (rms)f = 50 HzR = 25 ΩL = 100 mHC = 10 µF
I = A
4.交流阻抗和相量困难
5 Vf0​R = 50 ΩL = 200 mHC = 1 µF

一个 RLC 串联电路由 5 V（有效值）的电源驱动，电源频率设为电路的谐振频率。求电感两端的电压有效值 VL。

V = 5 V (rms)R = 50 ΩL = 200 mHC = 1 µF
VL = V
5.交流功率和功率因数中等
P = 10 kWQ = ?Sφ

一台单相电动机从 230 V 电源吸取 10 kW，功率因数为 0.7（滞后）。 求它吸收的无功功率 Q。

P = 10 kWpf = 0.7V = 230 V
Q = kvar
6.交流功率和功率因数困难
400 V50 Hz负载25 kW, 0.8C150 µFI = ?

一个单相负载从 400 V、50 Hz 的电源吸取 25 kW，功率因数为 0.8（滞后）。一个 150 µF 的电容与负载并联。 求新的线路电流 I。

P = 25 kWpf1 = 0.8V = 400 Vf = 50 HzC = 150 µF
I = A
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
f|I|0.70712 kHzf1​ = ?f2​BW

一个串联 RLC 电路在 2 kHz 谐振，Q = 4。精确求出较低的半功率频率 f1，单位 kHz。

f0 = 2 kHzQ = 4
f1 = kHz
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
C = 22 nFR = 5 ΩL = 2.2 mH

一个充电的 22 nF 电容器通过总串联电阻为 5 Ω 的 2.2 mH 线圈放电，因此振荡逐渐衰减。其振幅按 e−Rt/(2L) 衰减。振幅减半之前经过多少个振荡周期 n？（损耗很小，所以频率为 f₀。）

L = 2.2 mHC = 22 nFR = 5 Ω
n =
9.三相电中等
ABCVL​ = 400 VZ = 16 + j12 Ω每相

一个每相阻抗为 16 + j12 Ω 的对称 Δ 联结负载接在线电压为 400 V 的对称三相电源上。 求负载吸收的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 400 VZ = 16 + j12 Ω 每相
P = kW
10.三相电困难
P = 50 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

一个对称三相负载从 480 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 50 kW，功率因数为 0.75（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.95（滞后）。有功功率保持不变。 求电容器组须提供的总无功功率 QC，以 kvar 计。

P = 50 kWpf1 = 0.75pf2 = 0.95VL = 480 Vf = 60 Hz
QC = kvar
11.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​15 Vt = 0R = 47 ΩL68 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 开关闭合后多长时间电流达到终值的 95%？求 t。

Vs = 15 VR = 47 ΩL = 68 mH
t = ms
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​10 Vt = 0R = 1 kΩC100 µF+−vC​vC​(0) = 3 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 3 V，极性如图所示。 求 t = 75 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 10 VR = 1 kΩC = 100 µFvC(0) = 3 Vt = 75 ms
vC = V
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 15 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​24 VR2​5 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 Rth。

V1 = 24 VR1 = 15 ΩR2 = 5 ΩR3 = 20 Ω
Rth = Ω
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 25 ΩR3​ = 30 Ω+−V1​5 VR2​30 ΩAIs​3 ABab

求诺顿电流 IN：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V1 = 5 VIs = 3 AR1 = 25 ΩR2 = 30 ΩR3 = 30 Ω
IN = A
15.伯德图与裕度中等
vin​C = 47 nFR = 3.3 kΩvout​

图中所示的RC 高通滤波器有R = 3.3 kΩ, C = 47 nF。输入为3.1 kHz的正弦信号。 求增益 |H| = |vout/vin|，以 dB 表示。

R = 3.3 kΩC = 47 nFf = 3.1 kHz
|H| = dB
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.111101010010010001000−60−40−200204060ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−180−135−90−450ωc​

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = 128/(s(s + 4))。 求相位裕度 PM，单位为度。

L(s) = 128/(s(s + 4))
PM = °

3溶液

1.复数

答案: Re(w) = −0.4314

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

w 的模和辐角

|w| = 5 / 3 = 1.667
θ = 125° − 20° = 105°

直角坐标形式

Re(w) = 1.667·cos(105°) = −0.4314
Im(w) = 1.667·sin(105°) = 1.61
Re(w) = −0.4314

答案

Re(w) = −0.4314
2.复数

答案: r = 5

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

共轭对

z₂ = −1 − j4
(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·(−1)·z + ((−1)² + 4²) = z² + 2z + 17

提取二次因式

z³ − 3z² + 7z − 85 = (z² + 2z + 17)(z − 5)

实根

r = 5

答案

r = 5

用根之和检验：z₁ + z₂ + r = −2 + 5 = 3 = −(−3)。

3.交流阻抗和相量

答案: I = 0.3472 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s
XL = ωL = 314.2·0.1 = 31.42 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314.2·10·10⁻⁶) = 318.3 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(25² + (−286.9)²) = 288 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 100/288 = 0.3472 A

答案

I = 0.3472 A
4.交流阻抗和相量

答案: VL = 44.72 V

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振

谐振时电抗相互抵消，所以阻抗就是 R。

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.2·1·10⁻⁶) = 2236 rad/s
I = V/R = 5/50 = 0.1 A

电感两端的电压

XL = ω₀L = 2236·0.2 = 447.2 Ω
VL = I·XL = 0.1·447.2 = 44.72 V

答案

VL = 44.72 V

这是电源电压的 Q = 8.944 倍。

5.交流功率和功率因数

答案: Q = 10.2 kvar

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

相角

φ = arccos(0.7) = 45.57°, tan φ = 1.02

无功功率

Q = P·tan φ = 10·1.02 = 10.2 kvar

答案

Q = 10.2 kvar
6.交流功率和功率因数

答案: I = 68.5 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = 25·tan(arccos 0.8) = 18.75 kvar
QC = V²·2πf·C = 400²·2π·50·150·10⁻⁶ = 7540 var = 7.54 kvar
Q2 = 18.75 − 7.54 = 11.21 kvar

新的视在功率

S2 = √(25² + 11.21²) = 27.4 kVA

新的线路电流

I = S2/V = 27398/400 = 68.5 A

答案

I = 68.5 A
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: f1 = 1.766 kHz

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

平方根项

√(1 + 1/(4·4²)) = 1.008

较低的半功率频率

f1 = 2000·(1.008 − 0.125) = 1766 Hz = 1.766 kHz

答案

f1 = 1.766 kHz

较高的是 f₂ = 2.266 kHz；检验：f₂ − f₁ = 500 Hz = f₀/Q。

8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: n = 13.95

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

振幅的半衰期

t = 2·0.0022·ln 2/5 = 0.00061 s

周期数

n = t·f0 = 0.00061·22877 = 13.95

答案

n = 13.95

简便算法：n = Q·ln 2/π，其中 Q = 63.25。

9.三相电

答案: P = 19.2 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

相电压

Vph = VL = 400 V

相电流

|Z| = √(16² + 12²) = 20 Ω
Iph = 400/20 = 20 A

总有功功率

只有每个阻抗的电阻部分吸收有功功率。

P = 3·Iph²·R = 3·20²·16 = 19.2 kW

答案

P = 19.2 kW

验算：cos φ = R/|Z| = 0.8，用 √3·VL·IL·cos φ 得到相同的功率。

10.三相电

答案: QC = 27.66 kvar

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 50·tan(acos 0.75) = 50·0.8819 = 44.1 kvar
Q2 = 50·tan(acos 0.95) = 50·0.3287 = 16.43 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 27.66 kvar

答案

QC = 27.66 kvar
11.RC 和 RL 暂态

答案: t = 4.334 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 68 mH / 47 Ω = 1.447 ms
i(∞) = Vs/R = 15/47 = 0.3191 A

求解时间

0.95 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.95)
t = −1.447·ln(0.05) = 4.334 ms

答案

t = 4.334 ms
12.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 6.693 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 3 V, vC(∞) = Vs = 10 V
τ = R·C = 1 kΩ · 100 µF = 100 ms
vC(t) = 10 + (3 − 10)·e−t/τ

给定时刻的电压

vC(75) = 10 + (−7)·e−75/100 = 6.693 V

答案

vC = 6.693 V
13.戴维南和诺顿

答案: Rth = 23.75 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 15 ΩR3​ = 20 Ω短路R2​5 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 15·5/(15+5) = 3.75 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.75 + 20 = 23.75 Ω
14.戴维南和诺顿

答案: IN = 3.062 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 25 ΩR3​ = 30 Ω短路R2​30 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 25·30/(25+30) = 13.64 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 13.64 + 30 = 43.64 Ω
R1​ = 25 ΩR3​ = 30 Ω+−V1​5 VR2​30 ΩAIs​3 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 2.727 + 3·13.64 = 43.64 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 43.64 + 3·30 = 133.6 V
IN​3.062 ARth​43.64 Ωab

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

IN = Vth/Rth = 133.6/43.64 = 3.062 A
15.伯德图与裕度

答案: |H| = −0.4515 dB

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

转折频率

ωc = 1/(RC) = 1/(3300·4.7 × 10⁻⁸) = 6447 rad/s
fc = 1026 Hz → f/fc = 3100/1026 = 3.021

增益

|H| = 3.021/√(1 + 3.021²) = 0.9493
20·log₁₀(0.9493) = −0.4515 dB

答案

|H| = −0.4515 dB
16.伯德图与裕度

答案: PM = 20.04 °

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

增益穿越

ω⁴ + 16ω² − 16384 = 0
ω² = (−16 + √(256 + 4·16384))/2 = 120.2
ωc = 10.97 rad/s

相位裕度

∠L(jωc) = −90° − atan(10.97/4) = −160°
PM = 180° + ∠L = 20.04°

答案

PM = 20.04°

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