电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm55−5−5θz

求 z = −7 + j5 的辐角 θ，以度为单位，取 −180° 到 180° 之间的主值。

z = −7 + j5
θ = °
2.复数困难
ReIm11−1−122−2−2θz

用棣莫弗定理求 z = 1 + j√3 时 z⁶ 的实部。

z = 1 + j√3n = 6
Re(z⁶) =
3.交流阻抗和相量中等
Vf0​ = 100 HzRL = 200 mHC = ?

一个 L = 200 mH 的 RLC 串联电路必须在 100 Hz 发生谐振。求所需的电容 C。

f0 = 100 HzL = 200 mH
C = µF
4.交流阻抗和相量困难
VfR = 5 ΩL = 100 mHC = 2.2 µF

一个 RLC 串联电路的 R = 5 Ω，L = 100 mH，C = 2.2 µF。 求其谐振时的品质因数 Q。

R = 5 ΩL = 100 mHC = 2.2 µF
Q =
5.交流功率和功率因数中等
P = 4 kWQ = ?Sφ

一台单相电动机从 240 V 电源吸取 4 kW，功率因数为 0.7（滞后）。 求它吸收的无功功率 Q。

P = 4 kWpf = 0.7V = 240 V
Q = kvar
6.交流功率和功率因数困难
P = 35 kWQ1​S1​φ1​QC​

一个单相负载从 400 V、50 Hz 电源吸取 35 kW，功率因数为 0.7（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.95。 求新的线路电流 Inew。

P = 35 kWpf1 = 0.7pf2 = 0.95V = 400 Vf = 50 Hz
Inew = A
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
V5 Ω470 µH47 nF

一个串联 RLC 电路的 R = 5 Ω，L = 470 µH，C = 47 nF。求它的带宽 BW，单位 kHz。

R = 5 ΩL = 470 µHC = 47 nF
BW = kHz
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
V2 Ω220 µH220 nF50 mA

一个串联 RLC 电路（R = 2 Ω，L = 220 µH，C = 220 nF）在谐振时被驱动，电流幅值为 50 mA。求一个周期内在 R 上耗散的能量 Ecycle，单位 nJ。

R = 2 ΩL = 220 µHC = 220 nFIm = 50 mA
Ecycle = nJ
9.三相电中等
ABCVL​ = 480 VIL​ = ?M15 kW, η = 95%cos φ = 0.9

一台三相感应电动机满载时输出机械功率 15 kW。此负载下其效率为 95%，功率因数为 0.9（滞后）。电源线电压为 480 V。求线电流 IL。

Pout = 15 kWη = 95%cos φ = 0.9VL = 480 V
IL = A
10.三相电困难
P = 100 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

一个对称三相负载从 400 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 100 kW，功率因数为 0.65（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.92（滞后）。有功功率保持不变。 求电容器组须提供的总无功功率 QC，以 kvar 计。

P = 100 kWpf1 = 0.65pf2 = 0.92VL = 400 Vf = 60 Hz
QC = kvar
11.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​24 Vt = 0R = 22 ΩL33 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 2 ms 时电感中储存的能量 W，以 mJ 表示。

Vs = 24 VR = 22 ΩL = 33 mHt = 2 ms
W = mJ
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​9 Vt = 0R = 10 kΩC10 µF+−vC​vC​(0) = 5 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 5 V，极性如图所示。 vC 需要多长时间达到 6.2 V？求 t。

Vs = 9 VR = 10 kΩC = 10 µFvC(0) = 5 V
t = ms
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 8 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​9 VR2​10 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 9 VR1 = 8 ΩR2 = 10 ΩR3 = 2 Ω
Vth = V
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 5 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​6 VR2​6 ΩAIs​3 ABRL​15 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 15 Ω。利用戴维南等效电路求负载获得的功率 PL。

V1 = 6 VIs = 3 AR1 = 5 ΩR2 = 6 ΩR3 = 20 ΩRL = 15 Ω
PL = W
15.伯德图与裕度中等
|H| (dB)0.1110100−40−2002040ω (rad/s)ω = 1

求 G(s) = 720/((s + 5)(s + 9)) 在 ω = 1 rad/s 时的精确幅值 |G(jω)|，单位为 dB。

G(s) = 720/((s + 5)(s + 9))ω = 1 rad/s
|G(jω)| = dB
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.1111010100100−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−180−135−90−450ωc​

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = 12/(s(s + 2))。 求相位裕度 PM，单位为度。

L(s) = 12/(s(s + 2))
PM = °

3溶液

1.复数

答案: θ = 144.5 °

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

象限

a = −7, b = 5 → II

参考角

α = atan(5/7) = 35.54°

辐角

θ = 180° − α = 144.5°

答案

θ = 144.5°

极坐标形式为 z = 8.602∠144.5°。

2.复数

答案: Re(z⁶) = 64

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

极坐标形式

z = 1 + j√3 = 2∠60°

棣莫弗定理

z⁶ = (2)⁶∠360° = 64∠0°

直角坐标形式

z⁶ = 64·(cos 0° + j sin 0°) = 64
Re(z⁶) = 64

答案

Re(z⁶) = 64
3.交流阻抗和相量

答案: C = 12.67 µF

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振条件

谐振时感抗与容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。

ω₀ = 2π·100 = 628.3 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(628.3²·0.2) = 12.67 µF

答案

C = 12.67 µF
4.交流阻抗和相量

答案: Q = 42.64

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振频率

f0 = 1/(2π·√(0.1·2.2·10⁻⁶)) = 339.3 Hz

品质因数

Q 把谐振时的电抗与电阻进行比较：Q = ω₀L/R。

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/5)·√(0.1/(2.2·10⁻⁶)) = 42.64

答案

Q = 42.64
5.交流功率和功率因数

答案: Q = 4.081 kvar

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

相角

φ = arccos(0.7) = 45.57°, tan φ = 1.02

无功功率

Q = P·tan φ = 4·1.02 = 4.081 kvar

答案

Q = 4.081 kvar
6.交流功率和功率因数

答案: Inew = 92.11 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = P·tan φ1 = 35·tan(45.57°) = 35.71 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 35·tan(18.19°) = 11.5 kvar
QC = Q1 − Q2 = 24.2 kvar

新的线路电流

Inew = P/(V·cos φ2) = 35000/(400·0.95) = 92.11 A

答案

Inew = 92.11 A
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: BW = 1.693 kHz

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

以 rad/s 表示的带宽

R/L = 5/0.00047 = 10638 rad/s

以 Hz 表示的带宽

BW = 10638/(2π) = 1693 Hz = 1.693 kHz

答案

BW = 1.693 kHz

当 f₀ = 33.86 kHz 时，得到 Q = 20。

8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: Ecycle = 109.3 nJ

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

储存的能量

W = ½·0.00022·0.05² = 2.75 × 10⁻⁷ J

品质因数

Q = (1/2)·√(0.00022/2.2 × 10⁻⁷) = 15.81

每周期损失的能量

Ecycle = 2π·W/Q = 2π·2.75 × 10⁻⁷/15.81 = 1.093 × 10⁻⁷ J = 109.3 nJ
校核: ½·0.05²·2/22877 = 1.093 × 10⁻⁷ J

答案

Ecycle = 109.3 nJ
9.三相电

答案: IL = 21.1 A

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

电输入功率

Pin = Pout/η = 15/0.95 = 15.79 kW

线路电流

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 15789/(√3·480·0.9) = 21.1 A

答案

IL = 21.1 A
10.三相电

答案: QC = 74.31 kvar

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 100·tan(acos 0.65) = 100·1.169 = 116.9 kvar
Q2 = 100·tan(acos 0.92) = 100·0.426 = 42.6 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 74.31 kvar

答案

QC = 74.31 kvar
11.RC 和 RL 暂态

答案: W = 10.65 mJ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 33 mH / 22 Ω = 1.5 ms
i(∞) = Vs/R = 24/22 = 1.091 A

给定时刻的电流

i(t) = 1.091·(1 − e−2/1.5) = 0.8033 A

储存的能量

W = ½·L·i² = ½·33·0.8033² = 10.65 mJ

答案

W = 10.65 mJ
12.RC 和 RL 暂态

答案: t = 35.67 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 5 V, vC(∞) = Vs = 9 V
τ = R·C = 10 kΩ · 10 µF = 100 ms
vC(t) = 9 + (5 − 9)·e−t/τ

求解时间

6.2 = 9 + (−4)·e−t/τ → e−t/τ = (6.2 − 9)/(5 − 9) = 0.7
t = τ·ln((5 − 9)/(6.2 − 9)) = 100·ln(1.429) = 35.67 ms

答案

t = 35.67 ms
13.戴维南和诺顿

答案: Vth = 5 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 8 ΩR3​ = 2 Ω短路R2​10 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 8·10/(8+10) = 4.444 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4.444 + 2 = 6.444 Ω
R1​ = 8 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​9 VR2​10 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 9·10/(8+10) = 5 V
14.戴维南和诺顿

答案: PL = 53.81 W

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 5 ΩR3​ = 20 Ω短路R2​6 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 5·6/(5+6) = 2.727 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.727 + 20 = 22.73 Ω
R1​ = 5 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​6 VR2​6 ΩAIs​3 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 3.273 + 3·2.727 = 11.45 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 11.45 + 3·20 = 71.45 V
Rth​ = 22.73 Ω+−Vth​71.45 VRL​15 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 71.45/(22.73 + 15) = 1.894 A
PL = IL²·RL = 1.894²·15 = 53.81 W
15.伯德图与裕度

答案: |G(jω)| = 23.86 dB

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

把各模相乘

|G(j1)| = 720/(√(1² + 5²)·√(1² + 9²)) = 720/(5.099·9.055) = 15.59

结果

20·log₁₀(15.59) = 23.86 dB

答案

|G(jω)| = 23.86 dB
16.伯德图与裕度

答案: PM = 32.1 °

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

增益穿越

ω⁴ + 4ω² − 144 = 0
ω² = (−4 + √(16 + 4·144))/2 = 10.17
ωc = 3.188 rad/s

相位裕度

∠L(jωc) = −90° − atan(3.188/2) = −147.9°
PM = 180° + ∠L = 32.1°

答案

PM = 32.1°

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