电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角频率: ω = 2πf
模和相角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律: V = I·Z

方法

换算频率：ω = 2πf。
求各电抗：X_L = ωL，X_C = 1/(ωC)。
像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率: P = V·I·cos φ
无功功率: Q = V·I·sin φ
视在功率: S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数: pf = cos φ = P/S
补偿电容: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
能量: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流: I_max = V₀√(C/L)
品质因数: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
半功率频率: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路: R_D = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减: e^−Rt/(2L)

方法

先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 联结: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
总有功功率: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
视在功率和无功功率: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
补偿电容: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
每个电容上的电压: Δ：V_L Y：V_L/√3
电动机输入: P_in = P_out/η

RC 和 RL 暂态

时间常数: τ = RC | τ = L/R
响应: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流下的电容: 开路；v_C 不能突变
直流下的电感: 短路；i_L 不能突变
稳态: t ≈ 5τ

方法

求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压: V_th = V_{open circuit}
戴维南电阻: R_th：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流: I_N = V_th/R_th
负载电流: I_L = V_th/(R_th + R_L)
最大功率传输: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

方法

移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
求 a、b 之间的开路电压：这就是 V_th。
将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 R_th。
把负载接回等效电路：V_th 与 R_th 串联。
求诺顿等效电路时进行变换：I_N = V_th/R_th，R_N = R_th 并联。

2练习题

1.复数中等

已知 z₁ = 4∠40° 和 z₂ = 2∠−50°，求 w = z₁·z₂ 的辐角 θ，以度为单位，取 −180° 到 180° 之间。

z₁ = 4∠40°z₂ = 2∠−50°

θ = °

2.复数困难

z³ − 8z² + 36z − 80 = 0 的一个根为 z₁ = 2 + j4。系数为实数。求实根 r。

z₁ = 2 + j4

r =

3.交流阻抗和相量中等

一个串联 RLC 电路接在 50 V（有效值）、200 Hz 的电源上。求电流有效值 I。

V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 100 ΩL = 250 mHC = 47 µF

I = A

4.交流阻抗和相量困难

一个串联 RLC 电路接在 10 V（有效值）、60 Hz 的电源上。求电流有效值 I。

V = 10 V (rms)f = 60 HzR = 60 ΩL = 150 mHC = 22 µF

I = A

5.交流功率和功率因数中等

一台单相电动机从 240 V 电源吸取 12 kW，功率因数为 0.65（滞后）。求线路电流 I。

P = 12 kWpf = 0.65V = 240 V

I = A

6.交流功率和功率因数困难

一个单相负载从 240 V、60 Hz 电源吸取 25 kW，功率因数为 0.7（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.9。求新的线路电流 I_new。

P = 25 kWpf₁ = 0.7pf₂ = 0.9V = 240 Vf = 60 Hz

I_new = A

7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等

一个串联 RLC 电路的 R = 2 Ω，L = 470 µH，C = 4.7 nF。求它的带宽 BW，单位 Hz。

R = 2 ΩL = 470 µHC = 4.7 nF

BW = Hz

8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难

一个并联谐振回路由一个 47 pF 电容器和一个绕组电阻为 20 Ω 的 2.2 mH 线圈构成。谐振时它表现得像一个电阻，其动态电阻 R_D = L/(C·r)。求 R_D，单位 kΩ。

L = 2.2 mHC = 47 pFr = 20 Ω

R_D = kΩ

9.三相电中等

一台三相感应电动机满载时输出机械功率 37 kW。此负载下其效率为 88%，功率因数为 0.85（滞后）。电源线电压为 400 V。求线电流 I_L。

P_out = 37 kWη = 88%cos φ = 0.85V_L = 400 V

I_L = A

10.三相电困难

一个对称三相负载从 690 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 75 kW，功率因数为 0.78（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.92（滞后）。有功功率保持不变。电容采用 Δ 联结。求每个电容的电容量 C_ph，以 µF 计。

P = 75 kWpf₁ = 0.78pf₂ = 0.92V_L = 690 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

11.RC 和 RL 暂态中等

电感中流过 2.5 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。求 t = 1 ms 时 R 两端的电压 v_R。

i(0) = 2.5 AR = 47 ΩL = 47 mHt = 1 ms

v_R = V

12.RC 和 RL 暂态困难

跨接在 R₂ 两端的开关已闭合很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关断开。求 t = 1 ms 时的电感电流 i。

V_s = 10 VR₁ = 47 ΩR₂ = 47 ΩL = 68 mHt = 1 ms

i = A

13.戴维南和诺顿中等

求诺顿电流 I_N：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V₁ = 6 VR₁ = 15 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 6 Ω

I_N = A

14.戴维南和诺顿困难

在 a–b 之间接入负载 R_L = 12 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 I_L。

V₁ = 6 VI_s = 1.5 AR₁ = 3 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 25 ΩR_L = 12 Ω

I_L = A

15.伯德图与裕度中等

图中所示的RL 高通滤波器有R = 470 Ω, L = 22 mH。输入为10 kHz的正弦信号。求增益 |H| = |v_out/v_in|，以 dB 表示。

R = 470 ΩL = 22 mHf = 10 kHz

|H| = dB

16.伯德图与裕度困难

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = K/(s(s + 2)(s + 4))。求给出 3 dB 增益裕度的增益 K。

L(s) = K/(s(s + 2)(s + 4))GM = 3 dB

K =

3溶液

1.复数

答案: θ = −10 °

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

w 的模和辐角

|w| = 4 · 2 = 8

θ = 40° + (−50)° = −10°

辐角

θ = −10°

答案

θ = −10°

2.复数

答案: r = 4

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

共轭对

z₂ = 2 − j4

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·2·z + (2² + 4²) = z² − 4z + 20

提取二次因式

z³ − 8z² + 36z − 80 = (z² − 4z + 20)(z − 4)

实根

r = 4

答案

r = 4

用根之和检验：z₁ + z₂ + r = 4 + 4 = 8 = −(−8)。

3.交流阻抗和相量

答案: I = 0.1594 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0.25 = 314.2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·47·10⁻⁶) = 16.93 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (297.2)²) = 313.6 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 50/313.6 = 0.1594 A

答案

I = 0.1594 A

4.交流阻抗和相量

答案: I = 0.114 A

电抗

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0.15 = 56.55 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·22·10⁻⁶) = 120.6 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (−64.02)²) = 87.74 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 10/87.74 = 0.114 A

答案

I = 0.114 A

5.交流功率和功率因数

答案: I = 76.92 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

线路电流

只有有功部分做功，所以要除以功率因数。

I = P/(V·cos φ) = 12000/(240·0.65) = 76.92 A

答案

I = 76.92 A

6.交流功率和功率因数

答案: I_new = 115.7 A

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q₁ = P·tan φ₁ = 25·tan(45.57°) = 25.51 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 25·tan(25.84°) = 12.11 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 13.4 kvar

新的线路电流

I_new = P/(V·cos φ₂) = 25000/(240·0.9) = 115.7 A

答案

I_new = 115.7 A

7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: BW = 677.3 Hz

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω₀L) = R√(C/L)。半功率频率 f₁ 与 f₂（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f₂ − f₁ = f₀/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f₀ = √(f₁f₂)，且 f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e^−Rt/(2L) 下降。

以 rad/s 表示的带宽

R/L = 2/0.00047 = 4255 rad/s

以 Hz 表示的带宽

BW = 4255/(2π) = 677.3 Hz = 677.3 Hz

答案

BW = 677.3 Hz

当 f₀ = 107.1 kHz 时，得到 Q = 158.1。

8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: R_D = 2340 kΩ

动态电阻

R_D = 0.0022/(4.7 × 10⁻¹¹·20) = 2.34 × 10⁶ Ω = 2340 kΩ

用 Q 检验

Q = (1/r)·√(L/C) = 342.1, Q²·r = 2.34 × 10⁶ Ω

答案

R_D = 2340 kΩ

9.三相电

答案: I_L = 71.4 A

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，V_L = √3·V_ph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，I_L = √3·I_ph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。

电输入功率

P_in = P_out/η = 37/0.88 = 42.05 kW

线路电流

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 42045/(√3·400·0.85) = 71.4 A

答案

I_L = 71.4 A

10.三相电

答案: C_ph = 62.89 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，V_L = √3·V_ph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，I_L = √3·I_ph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂)。三个电容各提供 Q_C/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 V_L，Y 联结电容器组为 V_L/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q₁ = 75·tan(acos 0.78) = 75·0.8023 = 60.17 kvar

Q₂ = 75·tan(acos 0.92) = 75·0.426 = 31.95 kvar

电容提供的无功功率

Q_C = Q₁ − Q₂ = 28.22 kvar

每相电容

在 Δ 联结电容器组中，每个电容接在两根相线之间。

V = 690 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 9407/(314.2·690²) = 62.89 µF

答案

C_ph = 62.89 µF

11.RC 和 RL 暂态

答案: v_R = 43.23 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 47 mH / 47 Ω = 1 ms

电流的衰减

i(t) = 2.5·e^−1/1 = 0.9197 A

v_R = R·i = 47·0.9197 = 43.23 V

答案

v_R = 43.23 V

12.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.1331 A

初始值、终值、时间常数

在 t = 0 之前，闭合的开关把 R₂ 旁路；之后 R₁ 和 R₂ 都在回路中。

i(0) = 10/47 = 0.2128 A

i(∞) = 10/(47 + 47) = 0.1064 A

τ = L/R = 68/94 = 0.7234 ms

i(t) = 0.1064 + (0.2128 − 0.1064)·e^−t/τ

给定时刻的电流

i(1) = 0.1064 + (0.1064)·e^−1/0.7234 = 0.1331 A

答案

i = 0.1331 A

13.戴维南和诺顿

答案: I_N = 0.186 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 15·8/(15+8) = 5.217 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 5.217 + 6 = 11.22 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 6·8/(15+8) = 2.087 V

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

I_N = V_th/R_th = 2.087/11.22 = 0.186 A

14.戴维南和诺顿

答案: I_L = −0.9292 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 V_th 串联一个电阻 R_th。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 I_N = V_th/R_th 与 R_th 并联。

将所有电源置零，求 R_th

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R₁ ∥ R₂ = 3·8/(3+8) = 2.182 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2.182 + 25 = 27.18 Ω

求开路电压 V_th

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 4.364 + (−1.5)·2.182 = 1.091 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 1.091 + (−1.5)·25 = −36.41 V

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

I_L = V_th/(R_th + R_L) = −36.41/(27.18 + 12) = −0.9292 A

15.伯德图与裕度

答案: |H| = −0.4751 dB

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ω_c = 1/(RC) 或 R/L，而 f_c = ω_c/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²)，φ = −atan(ω/ω_c)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ω_c：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jω_c)。相位穿越频率 ω₁₈₀：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

转折频率

ω_c = R/L = 470/0.022 = 21364 rad/s

f_c = 3400 Hz → f/f_c = 10000/3400 = 2.941

增益

|H| = 2.941/√(1 + 2.941²) = 0.9468

20·log₁₀(0.9468) = −0.4751 dB

答案

|H| = −0.4751 dB

16.伯德图与裕度

答案: K = 33.98

相位穿越

(ω/2)·(ω/4) = 1 → ω₁₈₀ = √(2·4) = 2.828 rad/s

相位穿越处的幅值

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 4)·√(ω² + 16)) = K/(2·4·(2 + 4)) = K/48

所需增益

48/K = 10^3/20 = 1.413

K = 48/1.413 = 33.98

答案

K = 33.98

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

电路分析（二）：交流电路：速成包

1公式与方法

复数

方法

交流阻抗和相量

方法

交流功率和功率因数

LC 谐振、Q 因数与带宽

方法

三相电

RC 和 RL 暂态

方法

戴维南和诺顿

方法

2练习题

3溶液

w 的模和辐角

辐角

答案

共轭对

提取二次因式

实根

答案

电抗

阻抗

电流

答案

电抗

阻抗

电流

答案

线路电流

答案

补偿前后的无功功率

新的线路电流

答案

以 rad/s 表示的带宽

以 Hz 表示的带宽

答案

动态电阻

用 Q 检验

答案

电输入功率

线路电流

答案

补偿前后的无功功率

电容提供的无功功率

每相电容

答案

时间常数

电流的衰减

答案

初始值、终值、时间常数

给定时刻的电流

答案

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

诺顿等效

将所有电源置零，求 Rth

求开路电压 Vth

将负载接到戴维南等效电路上

转折频率

增益

答案

相位穿越

相位穿越处的幅值

所需增益

答案

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th

将所有电源置零，求 R_th

求开路电压 V_th