电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm22−2−244−4−4θz

把 z = 5∠25° 写成直角坐标形式 a + jb，并给出虚部 b。

r = 5θ = 25°
b =
2.复数困难
ReIm11−1−122−2−2z₀z₁z₂

n = 3、w = 8∠180° 时，zⁿ = w 的根为 zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n)，k = 0, 1, 2。求 z₁ 的实部。

w = 8∠180°n = 3k = 1
Re(z₁) =
3.交流阻抗和相量中等
Vf0​ = 5000 HzRL = ?C = 0.1 µF

一个 C = 0.1 µF 的 RLC 串联电路必须在 5000 Hz 发生谐振。求所需的电感 L。

f0 = 5000 HzC = 0.1 µF
L = mH
4.交流阻抗和相量困难
VfR = 100 ΩL = 2 mHC = 0.01 µF

一个 RLC 串联电路的 R = 100 Ω，L = 2 mH，C = 0.01 µF。 求其谐振时的品质因数 Q。

R = 100 ΩL = 2 mHC = 0.01 µF
Q =
5.交流功率和功率因数中等
P = 37 kWQ = ?Sφ

一台单相电动机从 400 V 电源吸取 37 kW，功率因数为 0.65（滞后）。 求它吸收的无功功率 Q。

P = 37 kWpf = 0.65V = 400 V
Q = kvar
6.交流功率和功率因数困难
P1​ = 62 kWQ1​S1​φ

一台 150 kVA 的单相变压器为一个 62 kW、功率因数为 0.85（滞后）的负载供电。在变压器达到其额定 kVA 之前，还能再增加多少电阻性（功率因数为 1）负载的有功功率 ΔP？

Smax = 150 kVAP1 = 62 kWpf1 = 0.85
ΔP = kW
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
f|I|0.70712 kHzf1​ = ?f2​BW

一个串联 RLC 电路在 2 kHz 谐振，Q = 2.5。精确求出较低的半功率频率 f1，单位 kHz。

f0 = 2 kHzQ = 2.5
f1 = kHz
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
C = 4.7 nFr = 5 ΩL = 22 µH

一个并联谐振回路由一个 4.7 nF 电容器和一个绕组电阻为 5 Ω 的 22 µH 线圈构成。谐振时它表现得像一个电阻，其动态电阻 RD = L/(C·r)。求 RD，单位 kΩ。

L = 22 µHC = 4.7 nFr = 5 Ω
RD = kΩ
9.三相电中等
ABCVL​ = 208 VIL​ = 15 Acos φ = 0.88滞后

一个对称三相负载从线电压为 208 V 的电源取用 15 A 的线电流，功率因数为 0.88（滞后）。求负载取用的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 208 VIL = 15 Acos φ = 0.88
P = kW
10.三相电困难
P = 50 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

一个对称三相负载从 415 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 50 kW，功率因数为 0.8（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.95（滞后）。有功功率保持不变。 求电容器组须提供的总无功功率 QC，以 kvar 计。

P = 50 kWpf1 = 0.8pf2 = 0.95VL = 415 Vf = 50 Hz
QC = kvar
11.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​6 Vt = 0R = 20 ΩL100 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求电路稳定后电感中储存的能量 W(∞)，以 mJ 表示。

Vs = 6 VR = 20 ΩL = 100 mH
W(∞) = mJ
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​10 VR1​ = 5 ΩR2​ = 47 Ω在 t = 0 断开L68 mHi(t)

跨接在 R2 两端的开关已闭合很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关断开。 求 t = 1 ms 时的电感电流 i。

Vs = 10 VR1 = 5 ΩR2 = 47 ΩL = 68 mHt = 1 ms
i = A
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 15 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​30 VR2​12 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 30 VR1 = 15 ΩR2 = 12 ΩR3 = 3 Ω
Vth = V
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 5 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​10 VR2​6 ΩAIs​4 ABRL​10 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 10 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 10 VIs = 4 AR1 = 5 ΩR2 = 6 ΩR3 = 10 ΩRL = 10 Ω
IL = A
15.伯德图与裕度中等
vin​C = 2.2 nFR = 22 kΩvout​

图中所示的RC 高通滤波器有R = 22 kΩ, C = 2.2 nF。输入为9.9 kHz的正弦信号。 求 vout 相对于 vin 的相移 φ，单位为度。

R = 22 kΩC = 2.2 nFf = 9.9 kHz
φ = °
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = K/(s(s + 3)(s + 6))。 求给出 15 dB 增益裕度的增益 K。

L(s) = K/(s(s + 3)(s + 6))GM = 15 dB
K =

3溶液

1.复数

答案: b = 2.113

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

分量

a = 5·cos(25°) = 4.532
b = 5·sin(25°) = 2.113

直角坐标形式

z = 4.532 + j2.113
b = 2.113

答案

b = 2.113
2.复数

答案: Re(z₁) = −2

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

根的模

81/3 = 2

根的辐角

θ₁ = (180° + 360°·1)/3 = 180°

直角坐标形式

z₁ = 2·(cos 180° + j sin 180°) = −2
Re(z₁) = −2

答案

Re(z₁) = −2

3 个根位于半径为 2 的圆上，彼此相隔 120°。

3.交流阻抗和相量

答案: L = 10.13 mH

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振条件

谐振时感抗与容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。

ω₀ = 2π·5000 = 31416 rad/s
L = 1/(ω₀²·C) = 1/(31416²·0.1·10⁻⁶) = 10.13 mH

答案

L = 10.13 mH
4.交流阻抗和相量

答案: Q = 4.472

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振频率

f0 = 1/(2π·√(0.002·0.01·10⁻⁶)) = 35588 Hz

品质因数

Q 把谐振时的电抗与电阻进行比较：Q = ω₀L/R。

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/100)·√(0.002/(0.01·10⁻⁶)) = 4.472

答案

Q = 4.472
5.交流功率和功率因数

答案: Q = 43.26 kvar

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

相角

φ = arccos(0.65) = 49.46°, tan φ = 1.169

无功功率

Q = P·tan φ = 37·1.169 = 43.26 kvar

答案

Q = 43.26 kvar
6.交流功率和功率因数

答案: ΔP = 83 kW

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

现有负载的无功功率

Q1 = 62·tan(arccos 0.85) = 38.42 kvar

最大总有功功率

满额定时 S = Smax，而电阻性负载不改变 Q。

P = √(Smax² − Q1²) = √(150² − 38.42²) = 145 kW

增加的有功功率

ΔP = 145 − 62 = 83 kW

答案

ΔP = 83 kW
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: f1 = 1.64 kHz

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

平方根项

√(1 + 1/(4·2.5²)) = 1.02

较低的半功率频率

f1 = 2000·(1.02 − 0.2) = 1640 Hz = 1.64 kHz

答案

f1 = 1.64 kHz

较高的是 f₂ = 2.44 kHz；检验：f₂ − f₁ = 800 Hz = f₀/Q。

8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: RD = 0.9362 kΩ

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

动态电阻

RD = 2.2 × 10⁻⁵/(4.7 × 10⁻⁹·5) = 936.2 Ω = 0.9362 kΩ

用 Q 检验

Q = (1/r)·√(L/C) = 13.68, Q²·r = 936.2 Ω

答案

RD = 0.9362 kΩ
9.三相电

答案: P = 4.756 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

视在功率

S = √3·VL·IL = √3·208·15 = 5.404 kVA

有功功率

P = S·cos φ = 5.404·0.88 = 4.756 kW

答案

P = 4.756 kW
10.三相电

答案: QC = 21.07 kvar

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 50·tan(acos 0.8) = 50·0.75 = 37.5 kvar
Q2 = 50·tan(acos 0.95) = 50·0.3287 = 16.43 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 21.07 kvar

答案

QC = 21.07 kvar
11.RC 和 RL 暂态

答案: W(∞) = 4.5 mJ

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 100 mH / 20 Ω = 5 ms
i(∞) = Vs/R = 6/20 = 0.3 A

储存的能量

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·100·0.3² = 4.5 mJ

答案

W(∞) = 4.5 mJ
12.RC 和 RL 暂态

答案: i = 1.034 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

在 t = 0 之前，闭合的开关把 R₂ 旁路；之后 R₁ 和 R₂ 都在回路中。

i(0) = 10/5 = 2 A
i(∞) = 10/(5 + 47) = 0.1923 A
τ = L/R = 68/52 = 1.308 ms
i(t) = 0.1923 + (2 − 0.1923)·e−t/τ

给定时刻的电流

i(1) = 0.1923 + (1.808)·e−1/1.308 = 1.034 A

答案

i = 1.034 A
13.戴维南和诺顿

答案: Vth = 13.33 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 15 ΩR3​ = 3 Ω短路R2​12 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 15·12/(15+12) = 6.667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 6.667 + 3 = 9.667 Ω
R1​ = 15 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​30 VR2​12 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 30·12/(15+12) = 13.33 V
14.戴维南和诺顿

答案: IL = 2.48 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 5 ΩR3​ = 10 Ω短路R2​6 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 5·6/(5+6) = 2.727 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.727 + 10 = 12.73 Ω
R1​ = 5 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​10 VR2​6 ΩAIs​4 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 5.455 + 4·2.727 = 16.36 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 16.36 + 4·10 = 56.36 V
Rth​ = 12.73 Ω+−Vth​56.36 VRL​10 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 56.36/(12.73 + 10) = 2.48 A
15.伯德图与裕度

答案: φ = 18.37 °

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

转折频率

ωc = 1/(RC) = 1/(22000·2.2 × 10⁻⁹) = 20661 rad/s
fc = 3288 Hz → f/fc = 9900/3288 = 3.011

相位

φ = 90° − atan(3.011) = 18.37°

答案

φ = 18.37°
16.伯德图与裕度

答案: K = 28.81

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

相位穿越

(ω/3)·(ω/6) = 1 → ω180 = √(3·6) = 4.243 rad/s

相位穿越处的幅值

|L(jω180)| = K/(ω·√(ω² + 9)·√(ω² + 36)) = K/(3·6·(3 + 6)) = K/162

所需增益

162/K = 1015/20 = 5.623
K = 162/5.623 = 28.81

答案

K = 28.81

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