电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm55−5−51010−10−10θz

把 z = 10∠160° 写成直角坐标形式 a + jb，并给出实部 a。

r = 10θ = 160°
a =
2.复数困难
ReIm11−1−122−2−233−3−3z₁z₂

方程 z² + 5z + 15.25 = 0 有两个复根。求它们的模 |z|。

p = 5q = 15.25
|z| =
3.交流阻抗和相量中等
12 V100 HzR = 15 ΩL = 20 mHI

一个电阻和一个电感并联接在 12 V（有效值）、100 Hz 的电源上。 求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。

V = 12 V (rms)f = 100 HzR = 15 ΩL = 20 mH
φ = °
4.交流阻抗和相量困难
230 V100 HzR1​ = 50 ΩR2​ = 60 ΩC = 22 µFI

电阻 R1 与 R2 和电容 C 的并联组合串联，接在 230 V（有效值）、100 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。

V = 230 V (rms)f = 100 HzR1 = 50 ΩR2 = 60 ΩC = 22 µF
I = A
5.交流功率和功率因数中等
240 VR + jXP = 3024 W18 A

一个感性负载从 240 V（有效值）的单相电源吸取 18 A 和 3024 W。把它建模为电阻 R 与电抗 X 串联。 求 R。

V = 240 VI = 18 AP = 3024 W
R = Ω
6.交流功率和功率因数困难
P = 10 kWQ1​S1​φ1​QC​

一个单相负载从 400 V、50 Hz 电源吸取 10 kW，功率因数为 0.65（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.98。 求电容需提供的无功功率 QC。

P = 10 kWpf1 = 0.65pf2 = 0.98V = 400 Vf = 50 Hz
QC = kvar
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
V1 kΩ22 mH1 µF

一个并联 RLC 电路的 R = 1 kΩ，L = 22 mH，C = 1 µF。求它的品质因数 Q。

R = 1 kΩL = 22 mHC = 1 µF
Q =
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
f|I|0.7071f0​ = ?5 kHz6.25 kHzBW

一条谐振曲线的半功率频率为 5 kHz 和 6.25 kHz。把谐振频率求为二者的几何平均值，然后求品质因数 Q。

f1 = 5 kHzf2 = 6.25 kHz
Q =
9.三相电中等
ABCVL​ = 480 VNZ = 7 + j24 Ω每相

一个每相阻抗为 7 + j24 Ω 的对称 Y 联结负载接在线电压为 480 V 的对称三相电源上。 求负载吸收的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 480 VZ = 7 + j24 Ω 每相
P = kW
10.三相电困难
P = 80 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

一个对称三相负载从 400 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 80 kW，功率因数为 0.7（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.9（滞后）。有功功率保持不变。 求电容器组须提供的总无功功率 QC，以 kvar 计。

P = 80 kWpf1 = 0.7pf2 = 0.9VL = 400 Vf = 60 Hz
QC = kvar
11.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​15 Vt = 0R = 10 ΩL22 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 5 ms 时电感两端的电压 vL。

Vs = 15 VR = 10 ΩL = 22 mHt = 5 ms
vL = V
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​12 Vt = 0R = 10 kΩC220 µF+−vC​vC​(0) = 15 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 15 V，极性如图所示。 求 t = 1000 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 12 VR = 10 kΩC = 220 µFvC(0) = 15 Vt = 1000 ms
vC = V
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 15 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​6 VR2​12 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 6 VR1 = 15 ΩR2 = 12 ΩR3 = 2 Ω
Vth = V
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 12 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​36 VR2​25 ΩAIs​2 ABRL​3 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 3 Ω。利用戴维南等效电路求负载获得的功率 PL。

V1 = 36 VIs = 2 AR1 = 12 ΩR2 = 25 ΩR3 = 10 ΩRL = 3 Ω
PL = W
15.伯德图与裕度中等
vin​L = 50 mHC = 0.22 µFR = 100 Ωvout​

在图中所示的串联 RLC 带通滤波器中，输出取自 R = 100 Ω 两端，其中 L = 50 mH，C = 0.22 µF。 求品质因数 Q。

R = 100 ΩL = 50 mHC = 0.22 µF
Q =
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = 4/(s(s + 1)(s + 3))。 求增益裕度 GM，单位为 dB。

L(s) = 4/(s(s + 1)(s + 3))
GM = dB

3溶液

1.复数

答案: a = −9.397

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

分量

a = 10·cos(160°) = −9.397
b = 10·sin(160°) = 3.42

直角坐标形式

z = −9.397 + j3.42
a = −9.397

答案

a = −9.397
2.复数

答案: |z| = 3.905

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

判别式

p² − 4q = 25 − 61 = −36 < 0

求根公式

z = (−5 ± j√36)/2 = −2.5 + j3, −2.5 − j3

答案

|z| = √((−2.5)² + 3²) = √15.25 = 3.905

答案

|z| = 3.905
3.交流阻抗和相量

答案: φ = 50.05 °

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XL = ωL = 2π·100·0.02 = 12.57 Ω

支路电流

两条支路都直接接在电源两端，所以每条支路都承受全部电压 V。

IR = V/R = 12/15 = 0.8 A
IX = V/XL = 12/12.57 = 0.9549 A

总电流

电阻电流与 V 同相，电抗电流与 V 相差 90°，所以它们按直角三角形的两边合成。

I = √(IR² + IX²) = √(0.8² + 0.9549²) = 1.246 A

相角

电感电流滞后于 V，所以总电流滞后，角度为正。

φ = arctan(IX/IR) = arctan(0.9549/0.8) = 50.05°

答案

φ = 50.05°
4.交流阻抗和相量

答案: I = 2.542 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XC = 1/(2π·100·22·10⁻⁶) = 72.34 Ω

并联组合

分子分母同乘以共轭复数，把 Zp 分成实部和虚部。

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 35.55 − j29.48 Ω

总阻抗

Z = 50 + 35.55 − j29.48 = 85.55 − j29.48 Ω
|Z| = √(85.55² + 29.48²) = 90.49 Ω

电流

I = V/|Z| = 230/90.49 = 2.542 A

答案

I = 2.542 A
5.交流功率和功率因数

答案: R = 9.333 Ω

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

由有功功率求电阻

R = P/I² = 3024/18² = 9.333 Ω

答案

R = 9.333 Ω
6.交流功率和功率因数

答案: QC = 9.661 kvar

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = P·tan φ1 = 10·tan(49.46°) = 11.69 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 10·tan(11.48°) = 2.031 kvar
QC = Q1 − Q2 = 9.661 kvar

答案

QC = 9.661 kvar
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: Q = 6.742

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

谐振频率

ω₀ = 1/√(LC) = 6742 rad/s

品质因数

Q = R/(ω₀L) = 1000/(6742·0.022) = 6.742

答案

Q = 6.742

带宽为 1/(2πRC) = 159.2 Hz。

8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: Q = 4.472

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

谐振频率

f0 = √(5000·6250) = 5590 Hz

带宽

BW = 6250 − 5000 = 1250 Hz

品质因数

Q = 5590/1250 = 4.472

答案

Q = 4.472
9.三相电

答案: P = 2.58 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

相电压

Vph = 480/√3 = 277.1 V

相电流

|Z| = √(7² + 24²) = 25 Ω
Iph = 277.1/25 = 11.09 A

总有功功率

只有每个阻抗的电阻部分吸收有功功率。

P = 3·Iph²·R = 3·11.09²·7 = 2.58 kW

答案

P = 2.58 kW

验算：cos φ = R/|Z| = 0.28，用 √3·VL·IL·cos φ 得到相同的功率。

10.三相电

答案: QC = 42.87 kvar

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 80·tan(acos 0.7) = 80·1.02 = 81.62 kvar
Q2 = 80·tan(acos 0.9) = 80·0.4843 = 38.75 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 42.87 kvar

答案

QC = 42.87 kvar
11.RC 和 RL 暂态

答案: vL = 1.545 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 22 mH / 10 Ω = 2.2 ms
i(∞) = Vs/R = 15/10 = 1.5 A

电感电压

t = 0 时全部电源电压加在电感上；之后衰减到零。

vL(t) = Vs·e−t/τ = 15·e−5/2.2 = 1.545 V

答案

vL = 1.545 V
12.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 13.9 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 15 V, vC(∞) = Vs = 12 V
τ = R·C = 10 kΩ · 220 µF = 2200 ms
vC(t) = 12 + (15 − 12)·e−t/τ

给定时刻的电压

vC(1000) = 12 + (3)·e−1000/2200 = 13.9 V

答案

vC = 13.9 V
13.戴维南和诺顿

答案: Vth = 2.667 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 15 ΩR3​ = 2 Ω短路R2​12 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 15·12/(15+12) = 6.667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 6.667 + 2 = 8.667 Ω
R1​ = 15 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​6 VR2​12 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 6·12/(15+12) = 2.667 V
14.戴维南和诺顿

答案: PL = 24.68 W

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 12 ΩR3​ = 10 Ω短路R2​25 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 12·25/(12+25) = 8.108 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 8.108 + 10 = 18.11 Ω
R1​ = 12 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​36 VR2​25 ΩAIs​2 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 24.32 + 2·8.108 = 40.54 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 40.54 + 2·10 = 60.54 V
Rth​ = 18.11 Ω+−Vth​60.54 VRL​3 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 60.54/(18.11 + 3) = 2.868 A
PL = IL²·RL = 2.868²·3 = 24.68 W
15.伯德图与裕度

答案: Q = 4.767

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

谐振频率

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.05·2.2 × 10⁻⁷) = 9535 rad/s
f₀ = ω₀/(2π) = 1517 Hz

品质因数

BW = R/L = 100/0.05 = 2000 rad/s = 318.3 Hz
Q = ω₀/BW = 9535/2000 = 4.767

答案

Q = 4.767
16.伯德图与裕度

答案: GM = 9.542 dB

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

相位穿越

(ω/1)·(ω/3) = 1 → ω180 = √(1·3) = 1.732 rad/s

相位穿越处的幅值

|L(jω180)| = K/(ω·√(ω² + 1)·√(ω² + 9)) = K/(1·3·(1 + 3)) = K/12

增益裕度

GM = 20·log₁₀(12/4) = 9.542 dB

答案

GM = 9.542 dB

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