电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm0.50.5−0.5−0.511−1−1θz

求 z = −1 − j 的辐角 θ，以度为单位，取 −180° 到 180° 之间的主值。

z = −1 − j
θ = °
2.复数困难
ReIm11−1−122−2−2z₀z₁z₂z₃z₄

n = 5、w = 32∠−120° 时，zⁿ = w 的根为 zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n)，k = 0, 1, …, 4。求 z₃ 的虚部。

w = 32∠−120°n = 5k = 3
Im(z₃) =
3.交流阻抗和相量中等
120 V200 HzR = 20 ΩC = 47 µFI

一个电阻和一个电容并联接在 120 V（有效值）、200 Hz 的电源上。 求阻抗的模 |Z|。

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 20 ΩC = 47 µF
|Z| = Ω
4.交流阻抗和相量困难
VfR = 1 ΩL = 1 mHC = 10 µF

一个 RLC 串联电路的 R = 1 Ω，L = 1 mH，C = 10 µF。 求其带宽 B（两个半功率频率之间的频带宽度），以 Hz 表示。

R = 1 ΩL = 1 mHC = 10 µF
B = Hz
5.交流功率和功率因数中等
240 VR + jXP = 3468 W17 A

一个感性负载从 240 V（有效值）的单相电源吸取 17 A 和 3468 W。把它建模为电阻 R 与电抗 X 串联。 求 R。

V = 240 VI = 17 AP = 3468 W
R = Ω
6.交流功率和功率因数困难
P = 15 kWQ1​S1​φ1​QC​

一个单相负载从 240 V、50 Hz 电源吸取 15 kW，功率因数为 0.7（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.92。 求新的线路电流 Inew。

P = 15 kWpf1 = 0.7pf2 = 0.92V = 240 Vf = 50 Hz
Inew = A
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
V1 Ω100 µH470 nF

一个串联 RLC 电路的 R = 1 Ω，L = 100 µH，C = 470 nF。求它的带宽 BW，单位 kHz。

R = 1 ΩL = 100 µHC = 470 nF
BW = kHz
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
V1 Ω100 µH100 nF20 mA

一个串联 RLC 电路（R = 1 Ω，L = 100 µH，C = 100 nF）在谐振时被驱动，电流幅值为 20 mA。求一个周期内在 R 上耗散的能量 Ecycle，单位 nJ。

R = 1 ΩL = 100 µHC = 100 nFIm = 20 mA
Ecycle = nJ
9.三相电中等
ABCVL​ = 400 VIL​ = ?M37 kW, η = 90%cos φ = 0.88

一台三相感应电动机满载时输出机械功率 37 kW。此负载下其效率为 90%，功率因数为 0.88（滞后）。电源线电压为 400 V。求线电流 IL。

Pout = 37 kWη = 90%cos φ = 0.88VL = 400 V
IL = A
10.三相电困难
P = 150 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 690 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 150 kW，功率因数为 0.65（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.92（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Δ 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 150 kWpf1 = 0.65pf2 = 0.92VL = 690 Vf = 50 Hz
Cph = µF
11.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​6 Vt = 0R1​ = 6.8 kΩR2​ = 6.8 kΩC22 µF+−vC​

电源 Vₛ 通过 R₁ 给电容充电，R₂ 与 C 并联。 开关在 t = 0 闭合时电容未充电。 求开关闭合后电路的时间常数 τ。

Vs = 6 VR1 = 6.8 kΩR2 = 6.8 kΩC = 22 µF
τ = ms
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​15 Vt = 0R = 4.7 kΩC22 µF+−vC​vC​(0) = 2 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 2 V，极性如图所示。 求 t = 75 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 15 VR = 4.7 kΩC = 22 µFvC(0) = 2 Vt = 75 ms
vC = V
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 4 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​12 VR2​12 ΩAab

求诺顿电流 IN：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V1 = 12 VR1 = 4 ΩR2 = 12 ΩR3 = 6 Ω
IN = A
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 30 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​24 VR2​15 ΩAIs​6 ABRL​8 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 8 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 24 VIs = 6 AR1 = 30 ΩR2 = 15 ΩR3 = 10 ΩRL = 8 Ω
IL = A
15.伯德图与裕度中等
vin​C = 2.2 nFR = 4.7 kΩvout​

图中所示的RC 高通滤波器有R = 4.7 kΩ, C = 2.2 nF。输入为3.1 kHz的正弦信号。 求增益 |H| = |vout/vin|，以 dB 表示。

R = 4.7 kΩC = 2.2 nFf = 3.1 kHz
|H| = dB
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = K/(s(s + 7)(s + 10))。 求给出 15 dB 增益裕度的增益 K。

L(s) = K/(s(s + 7)(s + 10))GM = 15 dB
K =

3溶液

1.复数

答案: θ = −135 °

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

象限

a = −1, b = −1 → III

参考角

α = atan(1/1) = 45°

辐角

θ = −(180° − α) = −135°

答案

θ = −135°

极坐标形式为 z = 1.414∠−135°。

2.复数

答案: Im(z₃) = −0.4158

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

根的模

321/5 = 2

根的辐角

θ₃ = (−120° + 360°·3)/5 = 192° → −168°

直角坐标形式

z₃ = 2·(cos −168° + j sin −168°) = −1.956 − j0.4158
Im(z₃) = −0.4158

答案

Im(z₃) = −0.4158

5 个根位于半径为 2 的圆上，彼此相隔 72°。

3.交流阻抗和相量

答案: |Z| = 12.92 Ω

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XC = 1/(ωC) = 1/(2π·200·47·10⁻⁶) = 16.93 Ω

支路电流

两条支路都直接接在电源两端，所以每条支路都承受全部电压 V。

IR = V/R = 120/20 = 6 A
IX = V/XC = 120/16.93 = 7.087 A

总电流

电阻电流与 V 同相，电抗电流与 V 相差 90°，所以它们按直角三角形的两边合成。

I = √(IR² + IX²) = √(6² + 7.087²) = 9.286 A

阻抗

|Z| = V/I = 120/9.286 = 12.92 Ω

答案

|Z| = 12.92 Ω
4.交流阻抗和相量

答案: B = 159.2 Hz

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振频率

f0 = 1/(2π·√(0.001·10·10⁻⁶)) = 1592 Hz

品质因数

Q 把谐振时的电抗与电阻进行比较：Q = ω₀L/R。

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/1)·√(0.001/(10·10⁻⁶)) = 10

带宽

B = f0/Q = 1592/10 = 159.2 Hz

答案

B = 159.2 Hz
5.交流功率和功率因数

答案: R = 12 Ω

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

由有功功率求电阻

R = P/I² = 3468/17² = 12 Ω

答案

R = 12 Ω
6.交流功率和功率因数

答案: Inew = 67.93 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = P·tan φ1 = 15·tan(45.57°) = 15.3 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 15·tan(23.07°) = 6.39 kvar
QC = Q1 − Q2 = 8.913 kvar

新的线路电流

Inew = P/(V·cos φ2) = 15000/(240·0.92) = 67.93 A

答案

Inew = 67.93 A
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: BW = 1.592 kHz

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

以 rad/s 表示的带宽

R/L = 1/1 × 10⁻⁴ = 10000 rad/s

以 Hz 表示的带宽

BW = 10000/(2π) = 1592 Hz = 1.592 kHz

答案

BW = 1.592 kHz

当 f₀ = 23.22 kHz 时，得到 Q = 14.59。

8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: Ecycle = 3.974 nJ

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

储存的能量

W = ½·1 × 10⁻⁴·0.02² = 2 × 10⁻⁸ J

品质因数

Q = (1/1)·√(1 × 10⁻⁴/1 × 10⁻⁷) = 31.62

每周期损失的能量

Ecycle = 2π·W/Q = 2π·2 × 10⁻⁸/31.62 = 3.974 × 10⁻⁹ J = 3.974 nJ
校核: ½·0.02²·1/50329 = 3.974 × 10⁻⁹ J

答案

Ecycle = 3.974 nJ
9.三相电

答案: IL = 67.43 A

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

电输入功率

Pin = Pout/η = 37/0.9 = 41.11 kW

线路电流

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 41111/(√3·400·0.88) = 67.43 A

答案

IL = 67.43 A
10.三相电

答案: Cph = 248.4 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 150·tan(acos 0.65) = 150·1.169 = 175.4 kvar
Q2 = 150·tan(acos 0.92) = 150·0.426 = 63.9 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 111.5 kvar

每相电容

在 Δ 联结电容器组中，每个电容接在两根相线之间。

V = 690 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 37157/(314.2·690²) = 248.4 µF

答案

Cph = 248.4 µF
11.RC 和 RL 暂态

答案: τ = 74.8 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容看到的戴维南等效电路

把电源短路求 Rth；把电容断开，求它最终稳定的电压。

Rth = R1 ∥ R2 = 6.8·6.8/(6.8 + 6.8) = 3.4 kΩ
vC(∞) = 6·6.8/(6.8 + 6.8) = 3 V

时间常数

τ = Rth·C = 3.4·22 = 74.8 ms

答案

τ = 74.8 ms
12.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 8.706 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 2 V, vC(∞) = Vs = 15 V
τ = R·C = 4.7 kΩ · 22 µF = 103.4 ms
vC(t) = 15 + (2 − 15)·e−t/τ

给定时刻的电压

vC(75) = 15 + (−13)·e−75/103.4 = 8.706 V

答案

vC = 8.706 V
13.戴维南和诺顿

答案: IN = 1 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 4 ΩR3​ = 6 Ω短路R2​12 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 4·12/(4+12) = 3 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3 + 6 = 9 Ω
R1​ = 4 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​12 VR2​12 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 12·12/(4+12) = 9 V
IN​1 ARth​9 Ωab

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

IN = Vth/Rth = 9/9 = 1 A
14.戴维南和诺顿

答案: IL = 4.571 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 30 ΩR3​ = 10 Ω短路R2​15 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 30·15/(30+15) = 10 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 10 + 10 = 20 Ω
R1​ = 30 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​24 VR2​15 ΩAIs​6 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 8 + 6·10 = 68 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 68 + 6·10 = 128 V
Rth​ = 20 Ω+−Vth​128 VRL​8 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 128/(20 + 8) = 4.571 A
15.伯德图与裕度

答案: |H| = −14.09 dB

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

转折频率

ωc = 1/(RC) = 1/(4700·2.2 × 10⁻⁹) = 96712 rad/s
fc = 15392 Hz → f/fc = 3100/15392 = 0.2014

增益

|H| = 0.2014/√(1 + 0.2014²) = 0.1974
20·log₁₀(0.1974) = −14.09 dB

答案

|H| = −14.09 dB
16.伯德图与裕度

答案: K = 211.6

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

相位穿越

(ω/7)·(ω/10) = 1 → ω180 = √(7·10) = 8.367 rad/s

相位穿越处的幅值

|L(jω180)| = K/(ω·√(ω² + 49)·√(ω² + 100)) = K/(7·10·(7 + 10)) = K/1190

所需增益

1190/K = 1015/20 = 5.623
K = 1190/5.623 = 211.6

答案

K = 211.6

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