电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm55−5−51010−10−10θz

把 z = 12∠−75° 写成直角坐标形式 a + jb，并给出虚部 b。

r = 12θ = −75°
b =
2.复数困难
ReIm11−1−122−2−2z₁z₂

解 z² − 5z + 12.5 = 0。根为 a ± jb；求实部 a。

p = −5q = 12.5
a =
3.交流阻抗和相量中等
100 V500 HzR = 80 ΩL = 100 mHI

一个电阻和一个电感并联接在 100 V（有效值）、500 Hz 的电源上。 求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。

V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 80 ΩL = 100 mH
φ = °
4.交流阻抗和相量困难
VfR = 2 ΩL = 1 mHC = 0.022 µF

一个 RLC 串联电路的 R = 2 Ω，L = 1 mH，C = 0.022 µF。 求其带宽 B（两个半功率频率之间的频带宽度），以 Hz 表示。

R = 2 ΩL = 1 mHC = 0.022 µF
B = Hz
5.交流功率和功率因数中等
240 V110 kW, 0.6226 kW, 0.7I

两个负载并联接在 240 V 的单相电源上：一个 10 kW、功率因数为 0.6（滞后）的负载，以及一个 26 kW、功率因数为 0.7（超前）的负载。 求电源看到的总功率因数 cos φ。

V = 240 VP1 = 10 kW, pf1 = 0.6 滞后P2 = 26 kW, pf2 = 0.7 超前
cos φ =
6.交流功率和功率因数困难
P = 30 kWQ1​S1​φ1​QC​

一个单相负载从 230 V、50 Hz 电源吸取 30 kW，功率因数为 0.8（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.9。 求所需电容 C。

P = 30 kWpf1 = 0.8pf2 = 0.9V = 230 Vf = 50 Hz
C = µF
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
tvC​iL​T/4 = ?T/2TL = 10 mHC = 2.2 µF

在 L = 10 mH、C = 2.2 µF 的理想 LC 电路中，电容器在 t = 0 时充满电。要多长时间全部能量才到达电感中？t 以 µs 给出。

L = 10 mHC = 2.2 µF
t = µs
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
V2 Ω4.7 mH2.2 µF100 mA

一个串联 RLC 电路（R = 2 Ω，L = 4.7 mH，C = 2.2 µF）在谐振时被驱动，电流幅值为 100 mA。求一个周期内在 R 上耗散的能量 Ecycle，单位 µJ。

R = 2 ΩL = 4.7 mHC = 2.2 µFIm = 100 mA
Ecycle = µJ
9.三相电中等
ABCVL​ = 208 VIL​ = 20 Acos φ = 0.8滞后

一个对称三相负载从线电压为 208 V 的电源取用 20 A 的线电流，功率因数为 0.8（滞后）。求负载取用的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 208 VIL = 20 Acos φ = 0.8
P = kW
10.三相电困难
P = 300 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

一个对称三相负载从 480 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 300 kW，功率因数为 0.8（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.92（滞后）。有功功率保持不变。 求电容器组须提供的总无功功率 QC，以 kvar 计。

P = 300 kWpf1 = 0.8pf2 = 0.92VL = 480 Vf = 50 Hz
QC = kvar
11.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​30 Vt = 0R1​ = 1 kΩR2​ = 4.7 kΩC10 µF+−vC​

电源 Vₛ 通过 R₁ 给电容充电，R₂ 与 C 并联。 开关在 t = 0 闭合时电容未充电。 求 t = 15 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 30 VR1 = 1 kΩR2 = 4.7 kΩC = 10 µFt = 15 ms
vC = V
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​12 VR1​ = 33 ΩR2​ = 20 Ω在 t = 0 闭合L220 mHi(t)

跨接在 R2 两端的开关已断开很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关闭合，把 R2 短路。 求 t = 10 ms 时的电感电流 i。

Vs = 12 VR1 = 33 ΩR2 = 20 ΩL = 220 mHt = 10 ms
i = A
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 4 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​15 VR2​10 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 Rth。

V1 = 15 VR1 = 4 ΩR2 = 10 ΩR3 = 20 Ω
Rth = Ω
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 15 ΩR3​ = 30 Ω+−V1​5 VR2​15 ΩAIs​5 ABab

求诺顿电流 IN：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V1 = 5 VIs = 5 AR1 = 15 ΩR2 = 15 ΩR3 = 30 Ω
IN = A
15.伯德图与裕度中等
vin​C = 100 nFR = 10 kΩvout​

图中所示的RC 高通滤波器有R = 10 kΩ, C = 100 nF。输入为80 Hz的正弦信号。 求 vout 相对于 vin 的相移 φ，单位为度。

R = 10 kΩC = 100 nFf = 80 Hz
φ = °
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = K/(s(s + 7)(s + 8))。 求给出 6 dB 增益裕度的增益 K。

L(s) = K/(s(s + 7)(s + 8))GM = 6 dB
K =

3溶液

1.复数

答案: b = −11.59

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

分量

a = 12·cos(−75°) = 3.106
b = 12·sin(−75°) = −11.59

直角坐标形式

z = 3.106 − j11.59
b = −11.59

答案

b = −11.59
2.复数

答案: a = 2.5

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

判别式

p² − 4q = 25 − 50 = −25 < 0

求根公式

z = (5 ± j√25)/2 = 2.5 + j2.5, 2.5 − j2.5

答案

a = 2.5

答案

a = 2.5
3.交流阻抗和相量

答案: φ = 14.29 °

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XL = ωL = 2π·500·0.1 = 314.2 Ω

支路电流

两条支路都直接接在电源两端，所以每条支路都承受全部电压 V。

IR = V/R = 100/80 = 1.25 A
IX = V/XL = 100/314.2 = 0.3183 A

总电流

电阻电流与 V 同相，电抗电流与 V 相差 90°，所以它们按直角三角形的两边合成。

I = √(IR² + IX²) = √(1.25² + 0.3183²) = 1.29 A

相角

电感电流滞后于 V，所以总电流滞后，角度为正。

φ = arctan(IX/IR) = arctan(0.3183/1.25) = 14.29°

答案

φ = 14.29°
4.交流阻抗和相量

答案: B = 318.3 Hz

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振频率

f0 = 1/(2π·√(0.001·0.022·10⁻⁶)) = 33932 Hz

品质因数

Q 把谐振时的电抗与电阻进行比较：Q = ω₀L/R。

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/2)·√(0.001/(0.022·10⁻⁶)) = 106.6

带宽

B = f0/Q = 33932/106.6 = 318.3 Hz

答案

B = 318.3 Hz
5.交流功率和功率因数

答案: cos φ = 0.9389

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

每个负载的无功功率

滞后负载吸收无功功率 (Q > 0)；超前负载发出无功功率 (Q < 0)。

Q1 = 10·tan(arccos 0.6) = 13.33 kvar
Q2 = −26·tan(arccos 0.7) = −26.53 kvar

总计

P = 10 + 26 = 36 kW
Q = 13.33 + (−26.53) = −13.19 kvar
S = √(36² + (−13.19)²) = 38.34 kVA

总功率因数

cos φ = P/S = 36/38.34 = 0.9389 超前

答案

cos φ = 0.9389
6.交流功率和功率因数

答案: C = 479.6 µF

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = P·tan φ1 = 30·tan(36.87°) = 22.5 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 30·tan(25.84°) = 14.53 kvar
QC = Q1 − Q2 = 7.97 kvar

电容

并联在电源两端的电容提供 Q = V²·ωC。

C = QC/(2πf·V²) = 7970/(2π·50·230²) = 479.6 µF

答案

C = 479.6 µF
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: t = 233 µs

LC 谐振：充电的电容器连接到电感后，驱动电流使它反向充电：能量在 C 的电场（½Cv²）与 L 的磁场（½Li²）之间以固有频率 f0 = 1/(2π√(LC)) 来回转移。没有电阻时，总能量 ½CV0² 保持不变，所以峰值电流为 Imax = V0√(C/L)。一个周期为 T = 1/f0；能量在其四分之一周期内从 C 转移到 L。

周期

T = 2π√(0.01·2.2 × 10⁻⁶) = 931.9 µs

四分之一周期

t = T/4 = 233 µs

答案

t = 233 µs
8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: Ecycle = 6.389 µJ

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

储存的能量

W = ½·0.0047·0.1² = 2.35 × 10⁻⁵ J

品质因数

Q = (1/2)·√(0.0047/2.2 × 10⁻⁶) = 23.11

每周期损失的能量

Ecycle = 2π·W/Q = 2π·2.35 × 10⁻⁵/23.11 = 6.389 × 10⁻⁶ J = 6.389 µJ
校核: ½·0.1²·2/1565 = 6.389 × 10⁻⁶ J

答案

Ecycle = 6.389 µJ
9.三相电

答案: P = 5.764 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

视在功率

S = √3·VL·IL = √3·208·20 = 7.205 kVA

有功功率

P = S·cos φ = 7.205·0.8 = 5.764 kW

答案

P = 5.764 kW
10.三相电

答案: QC = 97.2 kvar

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 300·tan(acos 0.8) = 300·0.75 = 225 kvar
Q2 = 300·tan(acos 0.92) = 300·0.426 = 127.8 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 97.2 kvar

答案

QC = 97.2 kvar
11.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 20.73 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容看到的戴维南等效电路

把电源短路求 Rth；把电容断开，求它最终稳定的电压。

Rth = R1 ∥ R2 = 1·4.7/(1 + 4.7) = 0.8246 kΩ
vC(∞) = 30·4.7/(1 + 4.7) = 24.74 V

时间常数

τ = Rth·C = 0.8246·10 = 8.246 ms

充电曲线

vC(t) = 24.74·(1 − e−15/8.246) = 20.73 V

答案

vC = 20.73 V
12.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.333 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

在 t = 0 之前，两个电阻都在回路中；之后闭合的开关把 R₂ 旁路。

i(0) = 12/(33 + 20) = 0.2264 A
i(∞) = 12/33 = 0.3636 A
τ = L/R = 220/33 = 6.667 ms
i(t) = 0.3636 + (0.2264 − 0.3636)·e−t/τ

给定时刻的电流

i(10) = 0.3636 + (−0.1372)·e−10/6.667 = 0.333 A

答案

i = 0.333 A
13.戴维南和诺顿

答案: Rth = 22.86 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 4 ΩR3​ = 20 Ω短路R2​10 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 4·10/(4+10) = 2.857 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.857 + 20 = 22.86 Ω
14.戴维南和诺顿

答案: IN = 5.067 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 15 ΩR3​ = 30 Ω短路R2​15 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 15·15/(15+15) = 7.5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 7.5 + 30 = 37.5 Ω
R1​ = 15 ΩR3​ = 30 Ω+−V1​5 VR2​15 ΩAIs​5 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 2.5 + 5·7.5 = 40 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 40 + 5·30 = 190 V
IN​5.067 ARth​37.5 Ωab

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

IN = Vth/Rth = 190/37.5 = 5.067 A
15.伯德图与裕度

答案: φ = 63.31 °

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

转折频率

ωc = 1/(RC) = 1/(10000·1 × 10⁻⁷) = 1000 rad/s
fc = 159.2 Hz → f/fc = 80/159.2 = 0.5027

相位

φ = 90° − atan(0.5027) = 63.31°

答案

φ = 63.31°
16.伯德图与裕度

答案: K = 421

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

相位穿越

(ω/7)·(ω/8) = 1 → ω180 = √(7·8) = 7.483 rad/s

相位穿越处的幅值

|L(jω180)| = K/(ω·√(ω² + 49)·√(ω² + 64)) = K/(7·8·(7 + 8)) = K/840

所需增益

840/K = 106/20 = 1.995
K = 840/1.995 = 421

答案

K = 421

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