电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm11−1−122−2−233−3−3z₁z₂w

已知 z₁ = 3∠100° 和 z₂ = 1.5∠−95°，求 w = z₁/z₂ 的虚部。

z₁ = 3∠100°z₂ = 1.5∠−95°
Im(w) =
2.复数困难
ReIm11−1−122−2−233−3−3z₁z₂

z³ + 4z² − 2z − 20 = 0 的一个根为 z₁ = −3 + j。系数为实数。求实根 r。

z₁ = −3 + j
r =
3.交流阻抗和相量中等
120 V200 HzR = 60 ΩL = 20 mHC = 100 µF

一个串联 RLC 电路接在 120 V（有效值）、200 Hz 的电源上。 求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 60 ΩL = 20 mHC = 100 µF
φ = °
4.交流阻抗和相量困难
24 V200 HzR1​ = 15 ΩR2​ = 60 ΩC = 10 µFI

电阻 R1 与 R2 和电容 C 的并联组合串联，接在 24 V（有效值）、200 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。

V = 24 V (rms)f = 200 HzR1 = 15 ΩR2 = 60 ΩC = 10 µF
I = A
5.交流功率和功率因数中等
P = 29 kWQSφ

一台单相电动机从 400 V 电源吸取 29 kW，功率因数为 0.7（滞后）。 求线路电流 I。

P = 29 kWpf = 0.7V = 400 V
I = A
6.交流功率和功率因数困难
P1​ = 54 kWQ1​S1​φ

一台 200 kVA 的单相变压器为一个 54 kW、功率因数为 0.6（滞后）的负载供电。在变压器达到其额定 kVA 之前，还能再增加多少电阻性（功率因数为 1）负载的有功功率 ΔP？

Smax = 200 kVAP1 = 54 kWpf1 = 0.6
ΔP = kW
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
f|I|0.707110 kHzf1​ = ?f2​BW

一个串联 RLC 电路在 10 kHz 谐振，Q = 1.5。精确求出较低的半功率频率 f1，单位 kHz。

f0 = 10 kHzQ = 1.5
f1 = kHz
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
V100 ΩLC = ?

设计一个串联 RLC 滤波器，总电阻为 100 Ω，谐振频率为 455 kHz，带宽为 9.1 kHz。求电容 C，单位 nF。

R = 100 Ωf0 = 455 kHzBW = 9.1 kHz
C = nF
9.三相电中等
ABCVL​ = 480 VIL​ = 25 Acos φ = 0.8滞后

一个对称三相负载从线电压为 480 V 的电源取用 25 A 的线电流，功率因数为 0.8（滞后）。求负载取用的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 480 VIL = 25 Acos φ = 0.8
P = kW
10.三相电困难
P = 60 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 690 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 60 kW，功率因数为 0.78（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.95（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Y 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 60 kWpf1 = 0.78pf2 = 0.95VL = 690 Vf = 50 Hz
Cph = µF
11.RC 和 RL 暂态中等
R = 68 Ωt = 0L22 mHi(t)

电感中流过 0.5 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。 求 t = 1 ms 时 R 两端的电压 vR。

i(0) = 0.5 AR = 68 ΩL = 22 mHt = 1 ms
vR = V
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​9 VR1​ = 47 ΩR2​ = 10 Ω在 t = 0 断开L47 mHi(t)

跨接在 R2 两端的开关已闭合很长时间，所以电感电流是稳定的。在 t = 0 开关断开。 求 t = 1 ms 时的电感电流 i。

Vs = 9 VR1 = 47 ΩR2 = 10 ΩL = 47 mHt = 1 ms
i = A
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 6 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​24 VR2​20 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电阻 Rth。

V1 = 24 VR1 = 6 ΩR2 = 20 ΩR3 = 5 Ω
Rth = Ω
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 8 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​9 VR2​6 ΩAIs​1 ABab

求诺顿电流 IN：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V1 = 9 VIs = 1 AR1 = 8 ΩR2 = 6 ΩR3 = 8 Ω
IN = A
15.伯德图与裕度中等
vin​C = 4.7 nFR = 10 kΩvout​

图中所示的RC 高通滤波器有R = 10 kΩ, C = 4.7 nF。输入为10 kHz的正弦信号。 求增益 |H| = |vout/vin|，以 dB 表示。

R = 10 kΩC = 4.7 nFf = 10 kHz
|H| = dB
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​ = ?

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = 50/(s(s + 1)(s + 9))。 求相位穿越频率 ω180，即 ∠L(jω) = −180° 处。

L(s) = 50/(s(s + 1)(s + 9))
ω180 = rad/s

3溶液

1.复数

答案: Im(w) = −0.5176

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

w 的模和辐角

|w| = 3 / 1.5 = 2
θ = 100° − (−95)° = 195° → −165°

直角坐标形式

Re(w) = 2·cos(−165°) = −1.932
Im(w) = 2·sin(−165°) = −0.5176
Im(w) = −0.5176

答案

Im(w) = −0.5176
2.复数

答案: r = 2

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

共轭对

z₂ = −3 − j
(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·(−3)·z + ((−3)² + 1²) = z² + 6z + 10

提取二次因式

z³ + 4z² − 2z − 20 = (z² + 6z + 10)(z − 2)

实根

r = 2

答案

r = 2

用根之和检验：z₁ + z₂ + r = −6 + 2 = −4 = −(4)。

3.交流阻抗和相量

答案: φ = 15.97 °

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0.02 = 25.13 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·100·10⁻⁶) = 7.958 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(60² + (17.17)²) = 62.41 Ω

相角

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(17.17/60) = 15.97°

答案

φ = 15.97°
4.交流阻抗和相量

答案: I = 0.3963 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XC = 1/(2π·200·10·10⁻⁶) = 79.58 Ω

并联组合

分子分母同乘以共轭复数，把 Zp 分成实部和虚部。

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 38.25 − j28.84 Ω

总阻抗

Z = 15 + 38.25 − j28.84 = 53.25 − j28.84 Ω
|Z| = √(53.25² + 28.84²) = 60.56 Ω

电流

I = V/|Z| = 24/60.56 = 0.3963 A

答案

I = 0.3963 A
5.交流功率和功率因数

答案: I = 103.6 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

线路电流

只有有功部分做功，所以要除以功率因数。

I = P/(V·cos φ) = 29000/(400·0.7) = 103.6 A

答案

I = 103.6 A
6.交流功率和功率因数

答案: ΔP = 132.6 kW

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

现有负载的无功功率

Q1 = 54·tan(arccos 0.6) = 72 kvar

最大总有功功率

满额定时 S = Smax，而电阻性负载不改变 Q。

P = √(Smax² − Q1²) = √(200² − 72²) = 186.6 kW

增加的有功功率

ΔP = 186.6 − 54 = 132.6 kW

答案

ΔP = 132.6 kW
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: f1 = 7.208 kHz

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

平方根项

√(1 + 1/(4·1.5²)) = 1.054

较低的半功率频率

f1 = 10000·(1.054 − 0.3333) = 7208 Hz = 7.208 kHz

答案

f1 = 7.208 kHz

较高的是 f₂ = 13.87 kHz；检验：f₂ − f₁ = 6.667 kHz = f₀/Q。

8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: C = 0.06996 nF

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

由带宽求电感

L = R/(2π·BW) = 100/(2π·9100) = 0.001749 H

由谐振频率求电容

C = 1/((2π·455000)²·0.001749) = 6.996 × 10⁻¹¹ F = 0.06996 nF

答案

C = 0.06996 nF

Q = f₀/BW = 50。

9.三相电

答案: P = 16.63 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

视在功率

S = √3·VL·IL = √3·480·25 = 20.78 kVA

有功功率

P = S·cos φ = 20.78·0.8 = 16.63 kW

答案

P = 16.63 kW
10.三相电

答案: Cph = 190 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 60·tan(acos 0.78) = 60·0.8023 = 48.14 kvar
Q2 = 60·tan(acos 0.95) = 60·0.3287 = 19.72 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 28.42 kvar

每相电容

在 Y 联结电容器组中，每个电容接在一根相线和星点之间。

V = 690/√3 = 398.4 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 9472/(314.2·398.4²) = 190 µF

答案

Cph = 190 µF
11.RC 和 RL 暂态

答案: vR = 1.546 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 22 mH / 68 Ω = 0.3235 ms

电流的衰减

i(t) = 0.5·e−1/0.3235 = 0.02273 A
vR = R·i = 68·0.02273 = 1.546 V

答案

vR = 1.546 V
12.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.1679 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

在 t = 0 之前，闭合的开关把 R₂ 旁路；之后 R₁ 和 R₂ 都在回路中。

i(0) = 9/47 = 0.1915 A
i(∞) = 9/(47 + 10) = 0.1579 A
τ = L/R = 47/57 = 0.8246 ms
i(t) = 0.1579 + (0.1915 − 0.1579)·e−t/τ

给定时刻的电流

i(1) = 0.1579 + (0.03359)·e−1/0.8246 = 0.1679 A

答案

i = 0.1679 A
13.戴维南和诺顿

答案: Rth = 9.615 Ω

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 6 ΩR3​ = 5 Ω短路R2​20 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 6·20/(6+20) = 4.615 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4.615 + 5 = 9.615 Ω
14.戴维南和诺顿

答案: IN = 1.338 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 8 ΩR3​ = 8 Ω短路R2​6 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 8·6/(8+6) = 3.429 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.429 + 8 = 11.43 Ω
R1​ = 8 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​9 VR2​6 ΩAIs​1 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 3.857 + 1·3.429 = 7.286 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 7.286 + 1·8 = 15.29 V
IN​1.338 ARth​11.43 Ωab

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

IN = Vth/Rth = 15.29/11.43 = 1.338 A
15.伯德图与裕度

答案: |H| = −0.4715 dB

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

转折频率

ωc = 1/(RC) = 1/(10000·4.7 × 10⁻⁹) = 21277 rad/s
fc = 3386 Hz → f/fc = 10000/3386 = 2.953

增益

|H| = 2.953/√(1 + 2.953²) = 0.9472
20·log₁₀(0.9472) = −0.4715 dB

答案

|H| = −0.4715 dB
16.伯德图与裕度

答案: ω180 = 3 rad/s

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

相位穿越

(ω/1)·(ω/9) = 1 → ω180 = √(1·9) = 3 rad/s

答案

ω180 = 3 rad/s

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