电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm55−5−51010−10−10θz

把 z = 10∠−75° 写成直角坐标形式 a + jb，并给出实部 a。

r = 10θ = −75°
a =
2.复数困难
ReIm22−2−244−4−4z₁z₂

z³ + 9z² + 28z + 20 = 0 的一个根为 z₁ = −4 + j2。系数为实数。求实根 r。

z₁ = −4 + j2
r =
3.交流阻抗和相量中等
100 V100 HzR = 10 ΩL = 100 mHC = 22 µFI

一个串联 RLC 电路接在 100 V（有效值）、100 Hz 的电源上。 求电路的功率因数 cos φ。

V = 100 V (rms)f = 100 HzR = 10 ΩL = 100 mHC = 22 µF
cos φ =
4.交流阻抗和相量困难
120 V50 HzR1​ = 10 ΩR2​ = 60 ΩC = 22 µFI

电阻 R1 与 R2 和电容 C 的并联组合串联，接在 120 V（有效值）、50 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。

V = 120 V (rms)f = 50 HzR1 = 10 ΩR2 = 60 ΩC = 22 µF
I = A
5.交流功率和功率因数中等
230 V120 kW, 0.7526 kW, 1I = ?

两个负载并联接在 230 V 的单相电源上：一个 20 kW、功率因数为 0.75（滞后）的负载，以及一台 6 kW 的加热器（功率因数为 1）。 求从电源吸取的总电流 I。

V = 230 VP1 = 20 kW, pf1 = 0.75 滞后P2 = 6 kW, pf2 = 1
I = A
6.交流功率和功率因数困难
P = 25 kWQ1​S1​φ1​QC​

一个单相负载从 230 V、50 Hz 电源吸取 25 kW，功率因数为 0.6（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.98。 求电容需提供的无功功率 QC。

P = 25 kWpf1 = 0.6pf2 = 0.98V = 230 Vf = 50 Hz
QC = kvar
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
V10 Ω1 mH4.7 nF

一个串联 RLC 电路的 R = 10 Ω，L = 1 mH，C = 4.7 nF。求它的带宽 BW，单位 kHz。

R = 10 ΩL = 1 mHC = 4.7 nF
BW = kHz
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
f|I|0.7071f0​ = ?10 kHz12 kHzBW

一条谐振曲线的半功率频率为 10 kHz 和 12 kHz。把谐振频率求为二者的几何平均值，然后求品质因数 Q。

f1 = 10 kHzf2 = 12 kHz
Q =
9.三相电中等
ABCVL​ = 690 VIL​ = 30 Acos φ = 0.82滞后

一个对称三相负载从线电压为 690 V 的电源取用 30 A 的线电流，功率因数为 0.82（滞后）。求负载取用的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 690 VIL = 30 Acos φ = 0.82
P = kW
10.三相电困难
P = 300 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 415 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 300 kW，功率因数为 0.65（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.92（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Y 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 300 kWpf1 = 0.65pf2 = 0.92VL = 415 Vf = 50 Hz
Cph = µF
11.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​12 Vt = 0R1​ = 4.7 kΩR2​ = 2.2 kΩC10 µF+−vC​

电源 Vₛ 通过 R₁ 给电容充电，R₂ 与 C 并联。 开关在 t = 0 闭合时电容未充电。 求 t = 20 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 12 VR1 = 4.7 kΩR2 = 2.2 kΩC = 10 µFt = 20 ms
vC = V
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​15 Vt = 0R = 6.8 kΩC100 µF+−vC​vC​(0) = 10 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 10 V，极性如图所示。 vC 需要多长时间达到 12 V？求 t。

Vs = 15 VR = 6.8 kΩC = 100 µFvC(0) = 10 V
t = ms
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 2 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​24 VR2​5 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 24 VR1 = 2 ΩR2 = 5 ΩR3 = 2 Ω
Vth = V
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 12 ΩR3​ = 30 Ω+−V1​9 VR2​25 ΩAIs​3 ABRL​15 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 15 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 9 VIs = 3 AR1 = 12 ΩR2 = 25 ΩR3 = 30 ΩRL = 15 Ω
IL = A
15.伯德图与裕度中等
vin​R = 1 kΩC = 100 nFvout​

图中所示的RC 低通滤波器有R = 1 kΩ, C = 100 nF。输入为800 Hz的正弦信号。 求增益 |H| = |vout/vin|，以 dB 表示。

R = 1 kΩC = 100 nFf = 800 Hz
|H| = dB
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​ = ?

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = 430/(s(s + 9)(s + 10))。 求相位穿越频率 ω180，即 ∠L(jω) = −180° 处。

L(s) = 430/(s(s + 9)(s + 10))
ω180 = rad/s

3溶液

1.复数

答案: a = 2.588

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

分量

a = 10·cos(−75°) = 2.588
b = 10·sin(−75°) = −9.659

直角坐标形式

z = 2.588 − j9.659
a = 2.588

答案

a = 2.588
2.复数

答案: r = −1

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

共轭对

z₂ = −4 − j2
(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·(−4)·z + ((−4)² + 2²) = z² + 8z + 20

提取二次因式

z³ + 9z² + 28z + 20 = (z² + 8z + 20)(z + 1)

实根

r = −1

答案

r = −1

用根之和检验：z₁ + z₂ + r = −8 + (−1) = −9 = −(9)。

3.交流阻抗和相量

答案: cos φ = 0.7246

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XL = 62.83 Ω, XC = 72.34 Ω

阻抗

|Z| = √(10² + (−9.511)²) = 13.8 Ω

功率因数

cos φ = R/|Z| = 10/13.8 = 0.7246
电路是容性的，所以功率因数超前。

答案

cos φ = 0.7246
4.交流阻抗和相量

答案: I = 1.853 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XC = 1/(2π·50·22·10⁻⁶) = 144.7 Ω

并联组合

分子分母同乘以共轭复数，把 Zp 分成实部和虚部。

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 51.2 − j21.23 Ω

总阻抗

Z = 10 + 51.2 − j21.23 = 61.2 − j21.23 Ω
|Z| = √(61.2² + 21.23²) = 64.77 Ω

电流

I = V/|Z| = 120/64.77 = 1.853 A

答案

I = 1.853 A
5.交流功率和功率因数

答案: I = 136.6 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

每个负载的无功功率

滞后负载吸收无功功率 (Q > 0)；超前负载发出无功功率 (Q < 0)。

Q1 = 20·tan(arccos 0.75) = 17.64 kvar
Q2 = 0 = 0 kvar

总计

P = 20 + 6 = 26 kW
Q = 17.64 + 0 = 17.64 kvar
S = √(26² + 17.64²) = 31.42 kVA

总电流

I = S/V = 31418/230 = 136.6 A

答案

I = 136.6 A
6.交流功率和功率因数

答案: QC = 28.26 kvar

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = P·tan φ1 = 25·tan(53.13°) = 33.33 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 25·tan(11.48°) = 5.076 kvar
QC = Q1 − Q2 = 28.26 kvar

答案

QC = 28.26 kvar
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: BW = 1.592 kHz

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

以 rad/s 表示的带宽

R/L = 10/0.001 = 10000 rad/s

以 Hz 表示的带宽

BW = 10000/(2π) = 1592 Hz = 1.592 kHz

答案

BW = 1.592 kHz

当 f₀ = 73.41 kHz 时，得到 Q = 46.13。

8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: Q = 5.477

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

谐振频率

f0 = √(10000·12000) = 10954 Hz

带宽

BW = 12000 − 10000 = 2000 Hz

品质因数

Q = 10954/2000 = 5.477

答案

Q = 5.477
9.三相电

答案: P = 29.4 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

视在功率

S = √3·VL·IL = √3·690·30 = 35.85 kVA

有功功率

P = S·cos φ = 35.85·0.82 = 29.4 kW

答案

P = 29.4 kW
10.三相电

答案: Cph = 4120 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 300·tan(acos 0.65) = 300·1.169 = 350.7 kvar
Q2 = 300·tan(acos 0.92) = 300·0.426 = 127.8 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 222.9 kvar

每相电容

在 Y 联结电容器组中，每个电容接在一根相线和星点之间。

V = 415/√3 = 239.6 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 74313/(314.2·239.6²) = 4120 µF

答案

Cph = 4120 µF
11.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 2.819 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容看到的戴维南等效电路

把电源短路求 Rth；把电容断开，求它最终稳定的电压。

Rth = R1 ∥ R2 = 4.7·2.2/(4.7 + 2.2) = 1.499 kΩ
vC(∞) = 12·2.2/(4.7 + 2.2) = 3.826 V

时间常数

τ = Rth·C = 1.499·10 = 14.99 ms

充电曲线

vC(t) = 3.826·(1 − e−20/14.99) = 2.819 V

答案

vC = 2.819 V
12.RC 和 RL 暂态

答案: t = 347.4 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 10 V, vC(∞) = Vs = 15 V
τ = R·C = 6.8 kΩ · 100 µF = 680 ms
vC(t) = 15 + (10 − 15)·e−t/τ

求解时间

12 = 15 + (−5)·e−t/τ → e−t/τ = (12 − 15)/(10 − 15) = 0.6
t = τ·ln((10 − 15)/(12 − 15)) = 680·ln(1.667) = 347.4 ms

答案

t = 347.4 ms
13.戴维南和诺顿

答案: Vth = 17.14 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 2 ΩR3​ = 2 Ω短路R2​5 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 2·5/(2+5) = 1.429 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.429 + 2 = 3.429 Ω
R1​ = 2 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​24 VR2​5 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 24·5/(2+5) = 17.14 V
14.戴维南和诺顿

答案: IL = −2.038 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 12 ΩR3​ = 30 Ω短路R2​25 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 12·25/(12+25) = 8.108 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 8.108 + 30 = 38.11 Ω
R1​ = 12 ΩR3​ = 30 Ω+−V1​9 VR2​25 ΩAIs​3 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 6.081 + (−3)·8.108 = −18.24 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = −18.24 + (−3)·30 = −108.2 V
Rth​ = 38.11 Ω−+Vth​108.2 VRL​15 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = −108.2/(38.11 + 15) = −2.038 A
15.伯德图与裕度

答案: |H| = −0.9783 dB

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

转折频率

ωc = 1/(RC) = 1/(1000·1 × 10⁻⁷) = 10000 rad/s
fc = 1592 Hz → f/fc = 800/1592 = 0.5027

增益

|H| = 1/√(1 + 0.5027²) = 0.8935
20·log₁₀(0.8935) = −0.9783 dB

答案

|H| = −0.9783 dB
16.伯德图与裕度

答案: ω180 = 9.487 rad/s

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

相位穿越

(ω/9)·(ω/10) = 1 → ω180 = √(9·10) = 9.487 rad/s

答案

ω180 = 9.487 rad/s

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