电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm55−5−51010−10−10θz

求 z = −2 + j9 的辐角 θ，以度为单位，取 −180° 到 180° 之间的主值。

z = −2 + j9
θ = °
2.复数困难
ReIm11−1−122−2−2θz

用棣莫弗定理求 z = 2 + j2 时 z⁵ 的实部。

z = 2 + j2n = 5
Re(z⁵) =
3.交流阻抗和相量中等
24 V100 HzR = 50 ΩL = 150 mHC = 22 µFI

一个串联 RLC 电路接在 24 V（有效值）、100 Hz 的电源上。 求电路的功率因数 cos φ。

V = 24 V (rms)f = 100 HzR = 50 ΩL = 150 mHC = 22 µF
cos φ =
4.交流阻抗和相量困难
VfR = 20 ΩL = 100 mHC = 2.2 µF

一个 RLC 串联电路的 R = 20 Ω，L = 100 mH，C = 2.2 µF。 求其带宽 B（两个半功率频率之间的频带宽度），以 Hz 表示。

R = 20 ΩL = 100 mHC = 2.2 µF
B = Hz
5.交流功率和功率因数中等
P = 3 kWQ = ?Sφ

一台单相电动机从 230 V 电源吸取 3 kW，功率因数为 0.65（滞后）。 求它吸收的无功功率 Q。

P = 3 kWpf = 0.65V = 230 V
Q = kvar
6.交流功率和功率因数困难
P1​ = 49 kWQ1​S1​φ

一台 100 kVA 的单相变压器为一个 49 kW、功率因数为 0.65（滞后）的负载供电。在变压器达到其额定 kVA 之前，还能再增加多少电阻性（功率因数为 1）负载的有功功率 ΔP？

Smax = 100 kVAP1 = 49 kWpf1 = 0.65
ΔP = kW
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
C = 100 pF+−7.2 VL = 10 mHiL​

一个充电到 9 V 的 100 pF 电容器与一个理想的 10 mH 电感振荡。求电容器电压为 7.2 V 的时刻电感中储存的能量 WL，单位 nJ。

C = 100 pFV0 = 9 VvC = 7.2 V
WL = nJ
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
C = 470 pFR = 10 ΩL = 470 µH

一个充电的 470 pF 电容器通过总串联电阻为 10 Ω 的 470 µH 线圈放电，因此振荡逐渐衰减。其振幅按 e−Rt/(2L) 衰减。振幅减半之前经过多少个振荡周期 n？（损耗很小，所以频率为 f₀。）

L = 470 µHC = 470 pFR = 10 Ω
n =
9.三相电中等
ABCVL​ = 400 VNZ = 9 + j12 Ω每相

一个每相阻抗为 9 + j12 Ω 的对称 Y 联结负载接在线电压为 400 V 的对称三相电源上。 求负载吸收的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 400 VZ = 9 + j12 Ω 每相
P = kW
10.三相电困难
P = 300 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 415 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 300 kW，功率因数为 0.78（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.9（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Δ 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 300 kWpf1 = 0.78pf2 = 0.9VL = 415 Vf = 50 Hz
Cph = µF
11.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​12 Vt = 0R = 10 ΩL33 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 求 t = 5 ms 时电感两端的电压 vL。

Vs = 12 VR = 10 ΩL = 33 mHt = 5 ms
vL = V
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​24 Vt = 0R = 4.7 kΩC22 µF+−vC​vC​(0) = 30 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 30 V，极性如图所示。 求 t = 100 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 24 VR = 4.7 kΩC = 22 µFvC(0) = 30 Vt = 100 ms
vC = V
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 12 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​10 VR2​15 ΩARL​20 ΩIL​B

在 a–b 之间接入负载 RL = 20 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 10 VR1 = 12 ΩR2 = 15 ΩR3 = 3 ΩRL = 20 Ω
IL = A
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 30 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​9 VR2​4 ΩAIs​5 ABab

求诺顿电流 IN：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V1 = 9 VIs = 5 AR1 = 30 ΩR2 = 4 ΩR3 = 12 Ω
IN = A
15.伯德图与裕度中等
|H| (dB)0.10.111101010010010001000−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−90−450ω = 15

求 G(s) = 37(s + 1)/(s(s + 16)) 在 ω = 15 rad/s 时的相位 ∠G(jω)，单位为度。

G(s) = 37(s + 1)/(s(s + 16))ω = 15 rad/s
∠G(jω) = °
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = 194/(s(s + 4)(s + 7))。 求增益裕度 GM，单位为 dB。

L(s) = 194/(s(s + 4)(s + 7))
GM = dB

3溶液

1.复数

答案: θ = 102.5 °

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

象限

a = −2, b = 9 → II

参考角

α = atan(9/2) = 77.47°

辐角

θ = 180° − α = 102.5°

答案

θ = 102.5°

极坐标形式为 z = 9.22∠102.5°。

2.复数

答案: Re(z⁵) = −128

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

极坐标形式

z = 2 + j2 = 2√2∠45°

棣莫弗定理

z⁵ = (2√2)⁵∠225° = 181∠−135°

直角坐标形式

z⁵ = 181·(cos −135° + j sin −135°) = −128 − j128
Re(z⁵) = −128

答案

Re(z⁵) = −128
3.交流阻抗和相量

答案: cos φ = 0.916

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XL = 94.25 Ω, XC = 72.34 Ω

阻抗

|Z| = √(50² + (21.9)²) = 54.59 Ω

功率因数

cos φ = R/|Z| = 50/54.59 = 0.916
电路是感性的，所以功率因数滞后。

答案

cos φ = 0.916
4.交流阻抗和相量

答案: B = 31.83 Hz

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振频率

f0 = 1/(2π·√(0.1·2.2·10⁻⁶)) = 339.3 Hz

品质因数

Q 把谐振时的电抗与电阻进行比较：Q = ω₀L/R。

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/20)·√(0.1/(2.2·10⁻⁶)) = 10.66

带宽

B = f0/Q = 339.3/10.66 = 31.83 Hz

答案

B = 31.83 Hz
5.交流功率和功率因数

答案: Q = 3.507 kvar

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

相角

φ = arccos(0.65) = 49.46°, tan φ = 1.169

无功功率

Q = P·tan φ = 3·1.169 = 3.507 kvar

答案

Q = 3.507 kvar
6.交流功率和功率因数

答案: ΔP = 32.96 kW

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

现有负载的无功功率

Q1 = 49·tan(arccos 0.65) = 57.29 kvar

最大总有功功率

满额定时 S = Smax，而电阻性负载不改变 Q。

P = √(Smax² − Q1²) = √(100² − 57.29²) = 81.96 kW

增加的有功功率

ΔP = 81.96 − 49 = 32.96 kW

答案

ΔP = 32.96 kW
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: WL = 1.458 nJ

LC 谐振：充电的电容器连接到电感后，驱动电流使它反向充电：能量在 C 的电场（½Cv²）与 L 的磁场（½Li²）之间以固有频率 f0 = 1/(2π√(LC)) 来回转移。没有电阻时，总能量 ½CV0² 保持不变，所以峰值电流为 Imax = V0√(C/L)。一个周期为 T = 1/f0；能量在其四分之一周期内从 C 转移到 L。

总能量

½·1 × 10⁻¹⁰·9² = 4.05 × 10⁻⁹ J

电容器中剩余的能量

½·1 × 10⁻¹⁰·7.2² = 2.592 × 10⁻⁹ J

电感中的能量

WL = 1.458 × 10⁻⁹ J = 1.458 nJ

答案

WL = 1.458 nJ
8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: n = 22.06

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

振幅的半衰期

t = 2·0.00047·ln 2/10 = 6.516 × 10⁻⁵ s

周期数

n = t·f0 = 6.516 × 10⁻⁵·338628 = 22.06

答案

n = 22.06

简便算法：n = Q·ln 2/π，其中 Q = 100。

9.三相电

答案: P = 6.4 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

相电压

Vph = 400/√3 = 230.9 V

相电流

|Z| = √(9² + 12²) = 15 Ω
Iph = 230.9/15 = 15.4 A

总有功功率

只有每个阻抗的电阻部分吸收有功功率。

P = 3·Iph²·R = 3·15.4²·9 = 6.4 kW

答案

P = 6.4 kW

验算：cos φ = R/|Z| = 0.6，用 √3·VL·IL·cos φ 得到相同的功率。

10.三相电

答案: Cph = 587.7 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 300·tan(acos 0.78) = 300·0.8023 = 240.7 kvar
Q2 = 300·tan(acos 0.9) = 300·0.4843 = 145.3 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 95.39 kvar

每相电容

在 Δ 联结电容器组中，每个电容接在两根相线之间。

V = 415 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 31796/(314.2·415²) = 587.7 µF

答案

Cph = 587.7 µF
11.RC 和 RL 暂态

答案: vL = 2.637 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 33 mH / 10 Ω = 3.3 ms
i(∞) = Vs/R = 12/10 = 1.2 A

电感电压

t = 0 时全部电源电压加在电感上；之后衰减到零。

vL(t) = Vs·e−t/τ = 12·e−5/3.3 = 2.637 V

答案

vL = 2.637 V
12.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 26.28 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 30 V, vC(∞) = Vs = 24 V
τ = R·C = 4.7 kΩ · 22 µF = 103.4 ms
vC(t) = 24 + (30 − 24)·e−t/τ

给定时刻的电压

vC(100) = 24 + (6)·e−100/103.4 = 26.28 V

答案

vC = 26.28 V
13.戴维南和诺顿

答案: IL = 0.1873 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 12 ΩR3​ = 3 Ω短路R2​15 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 12·15/(12+15) = 6.667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 6.667 + 3 = 9.667 Ω
R1​ = 12 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​10 VR2​15 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 10·15/(12+15) = 5.556 V
Rth​ = 9.667 Ω+−Vth​5.556 VRL​20 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 5.556/(9.667 + 20) = 0.1873 A
14.戴维南和诺顿

答案: IN = 5.068 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 30 ΩR3​ = 12 Ω短路R2​4 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 30·4/(30+4) = 3.529 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.529 + 12 = 15.53 Ω
R1​ = 30 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​9 VR2​4 ΩAIs​5 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 1.059 + 5·3.529 = 18.71 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 18.71 + 5·12 = 78.71 V
IN​5.068 ARth​15.53 Ωab

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

IN = Vth/Rth = 78.71/15.53 = 5.068 A
15.伯德图与裕度

答案: ∠G(jω) = −46.97 °

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

把各角度相加

∠G = atan(15/1) − 90° − atan(15/16) = 86.19° − 90° − 43.15°

结果

∠G(j15) = −46.97°

答案

∠G(jω) = −46.97°
16.伯德图与裕度

答案: GM = 4.015 dB

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

相位穿越

(ω/4)·(ω/7) = 1 → ω180 = √(4·7) = 5.292 rad/s

相位穿越处的幅值

|L(jω180)| = K/(ω·√(ω² + 16)·√(ω² + 49)) = K/(4·7·(4 + 7)) = K/308

增益裕度

GM = 20·log₁₀(308/194) = 4.015 dB

答案

GM = 4.015 dB

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