电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm55−5−51010−10−10zABCD

图中显示 z = −4 − j3。已知 w = 2∠−90°，点选表示 z·w 的点。

z = −4 − j3w = 2∠−90°
  1. 1A (−6 + j8)
  2. 2B (−8 − j6)
  3. 3C (6 − j8)
  4. 4D (−3 + j4)
2.复数困难
ReIm11−1−122−2−233−3−3z₁z₂

方程 z² − 6z + 13 = 0 有两个复根。求它们的模 |z|。

p = −6q = 13
|z| =
3.交流阻抗和相量中等
230 V200 HzR = 100 ΩL = 200 mHC = 10 µFI

一个串联 RLC 电路接在 230 V（有效值）、200 Hz 的电源上。 求从电源吸取的有功功率 P。

V = 230 V (rms)f = 200 HzR = 100 ΩL = 200 mHC = 10 µF
P = W
4.交流阻抗和相量困难
24 V1000 HzR = 50 ΩL = 20 mHC = 22 µF

一个串联 RLC 电路接在 24 V（有效值）、1000 Hz 的电源上。 求电路的谐振频率 f0。

V = 24 V (rms)f = 1000 HzR = 50 ΩL = 20 mHC = 22 µF
f0 = Hz
5.交流功率和功率因数中等
P = 22 kWQSφ

一台单相电动机从 400 V 电源吸取 22 kW，功率因数为 0.7（滞后）。 求线路电流 I。

P = 22 kWpf = 0.7V = 400 V
I = A
6.交流功率和功率因数困难
P = 35 kWQ1​S1​φ1​QC​

一个单相负载从 230 V、50 Hz 电源吸取 35 kW，功率因数为 0.7（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.92。 求所需电容 C。

P = 35 kWpf1 = 0.7pf2 = 0.92V = 230 Vf = 50 Hz
C = µF
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
tvC​iL​T/4 = ?T/2TL = 47 mHC = 220 nF

在 L = 47 mH、C = 220 nF 的理想 LC 电路中，电容器在 t = 0 时充满电。要多长时间全部能量才到达电感中？t 以 µs 给出。

L = 47 mHC = 220 nF
t = µs
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
V5 Ω220 µH470 pF20 mA

一个串联 RLC 电路（R = 5 Ω，L = 220 µH，C = 470 pF）在谐振时被驱动，电流幅值为 20 mA。求一个周期内在 R 上耗散的能量 Ecycle，单位 nJ。

R = 5 ΩL = 220 µHC = 470 pFIm = 20 mA
Ecycle = nJ
9.三相电中等
ABCVL​ = 690 VIL​ = ?M22 kW, η = 93%cos φ = 0.8

一台三相感应电动机满载时输出机械功率 22 kW。此负载下其效率为 93%，功率因数为 0.8（滞后）。电源线电压为 690 V。求线电流 IL。

Pout = 22 kWη = 93%cos φ = 0.8VL = 690 V
IL = A
10.三相电困难
P = 50 kWφ1​S1​Q2​QC​

一个对称三相负载从 400 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 50 kW，功率因数为 0.72（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.98（滞后）。有功功率保持不变。 电容采用 Y 联结。求每个电容的电容量 Cph，以 µF 计。

P = 50 kWpf1 = 0.72pf2 = 0.98VL = 400 Vf = 60 Hz
Cph = µF
11.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​9 Vt = 0R = 15 ΩL68 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 开关闭合后多长时间电流达到终值的 90%？求 t。

Vs = 9 VR = 15 ΩL = 68 mH
t = ms
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​12 V在 t = 0 断开R1​ = 10 kΩR2​ = 3.3 kΩi2​C68 µF+−vC​

开关已闭合很长时间，所以电路处于稳态。在 t = 0 开关断开。 求 t = 75 ms 时流过 R2 的电流 i2。

Vs = 12 VR1 = 10 kΩR2 = 3.3 kΩC = 68 µFt = 75 ms
i2 = mA
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 4 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​24 VR2​10 ΩAab

求诺顿电流 IN：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V1 = 24 VR1 = 4 ΩR2 = 10 ΩR3 = 8 Ω
IN = A
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 8 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​6 VR2​8 ΩAIs​2 ABRL​6 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 6 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 6 VIs = 2 AR1 = 8 ΩR2 = 8 ΩR3 = 12 ΩRL = 6 Ω
IL = A
15.伯德图与裕度中等
vin​L = 4.7 mHR = 22 Ωvout​

图中所示的RL 低通滤波器有R = 22 Ω, L = 4.7 mH。输入为370 Hz的正弦信号。 求增益 |H| = |vout/vin|，以 dB 表示。

R = 22 ΩL = 4.7 mHf = 370 Hz
|H| = dB
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−270−180−900ω180​

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = 10/(s(s + 1)(s + 4))。 求增益裕度 GM，单位为 dB。

L(s) = 10/(s(s + 1)(s + 4))
GM = dB

3溶液

1.复数

答案: A (−6 + j8)

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

w 的作用

|z·w| = 2·|z|, arg(z·w) = arg z + (−90)°

该点

z·w = −6 + j8 → A

答案

A (−6 + j8)
2.复数

答案: |z| = 3.606

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

判别式

p² − 4q = 36 − 52 = −16 < 0

求根公式

z = (6 ± j√16)/2 = 3 + j2, 3 − j2

答案

|z| = √(3² + 2²) = √13 = 3.606

答案

|z| = 3.606
3.交流阻抗和相量

答案: P = 133.9 W

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XL = 251.3 Ω, XC = 79.58 Ω

阻抗

|Z| = √(100² + (171.7)²) = 198.7 Ω

有功功率

电感和电容只储存和释放能量；全部有功功率都由电阻吸收。

I = 230/198.7 = 1.157 A
P = I²·R = 1.157²·100 = 133.9 W

答案

P = 133.9 W
4.交流阻抗和相量

答案: f0 = 239.9 Hz

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

谐振

谐振时感抗和容抗相互抵消：ωL = 1/(ωC)。与电源频率无关。

f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.02·22·10⁻⁶)) = 239.9 Hz

答案

f0 = 239.9 Hz
5.交流功率和功率因数

答案: I = 78.57 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

线路电流

只有有功部分做功，所以要除以功率因数。

I = P/(V·cos φ) = 22000/(400·0.7) = 78.57 A

答案

I = 78.57 A
6.交流功率和功率因数

答案: C = 1251 µF

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = P·tan φ1 = 35·tan(45.57°) = 35.71 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 35·tan(23.07°) = 14.91 kvar
QC = Q1 − Q2 = 20.8 kvar

电容

并联在电源两端的电容提供 Q = V²·ωC。

C = QC/(2πf·V²) = 20797/(2π·50·230²) = 1251 µF

答案

C = 1251 µF
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: t = 159.7 µs

LC 谐振：充电的电容器连接到电感后，驱动电流使它反向充电：能量在 C 的电场（½Cv²）与 L 的磁场（½Li²）之间以固有频率 f0 = 1/(2π√(LC)) 来回转移。没有电阻时，总能量 ½CV0² 保持不变，所以峰值电流为 Imax = V0√(C/L)。一个周期为 T = 1/f0；能量在其四分之一周期内从 C 转移到 L。

周期

T = 2π√(0.047·2.2 × 10⁻⁷) = 638.9 µs

四分之一周期

t = T/4 = 159.7 µs

答案

t = 159.7 µs
8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: Ecycle = 2.02 nJ

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

储存的能量

W = ½·0.00022·0.02² = 4.4 × 10⁻⁸ J

品质因数

Q = (1/5)·√(0.00022/4.7 × 10⁻¹⁰) = 136.8

每周期损失的能量

Ecycle = 2π·W/Q = 2π·4.4 × 10⁻⁸/136.8 = 2.02 × 10⁻⁹ J = 2.02 nJ
校核: ½·0.02²·5/494948 = 2.02 × 10⁻⁹ J

答案

Ecycle = 2.02 nJ
9.三相电

答案: IL = 24.74 A

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

电输入功率

Pin = Pout/η = 22/0.93 = 23.66 kW

线路电流

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 23656/(√3·690·0.8) = 24.74 A

答案

IL = 24.74 A
10.三相电

答案: Cph = 630.6 µF

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 50·tan(acos 0.72) = 50·0.9639 = 48.19 kvar
Q2 = 50·tan(acos 0.98) = 50·0.2031 = 10.15 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 38.04 kvar

每相电容

在 Y 联结电容器组中，每个电容接在一根相线和星点之间。

V = 400/√3 = 230.9 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 12680/(377·230.9²) = 630.6 µF

答案

Cph = 630.6 µF
11.RC 和 RL 暂态

答案: t = 10.44 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 68 mH / 15 Ω = 4.533 ms
i(∞) = Vs/R = 9/15 = 0.6 A

求解时间

0.9 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.9)
t = −4.533·ln(0.1) = 10.44 ms

答案

t = 10.44 ms
12.RC 和 RL 暂态

答案: i2 = 0.6459 mA

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容的初始电压

稳态时电容相当于开路，所以 R₁ 和 R₂ 构成分压器。开关断开时电容电压不能突变。

vC(0) = 12·3.3/(10 + 3.3) = 2.977 V

开关断开后的时间常数

τ = R2·C = 3.3·68 = 224.4 ms

放电

vC(t) = 2.977·e−75/224.4 = 2.132 V
i2 = vC/R2 = 2.132/3.3 = 0.6459 mA

答案

i2 = 0.6459 mA
13.戴维南和诺顿

答案: IN = 1.579 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 4 ΩR3​ = 8 Ω短路R2​10 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 4·10/(4+10) = 2.857 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.857 + 8 = 10.86 Ω
R1​ = 4 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​24 VR2​10 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 24·10/(4+10) = 17.14 V
IN​1.579 ARth​10.86 Ωab

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

IN = Vth/Rth = 17.14/10.86 = 1.579 A
14.戴维南和诺顿

答案: IL = 1.591 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 8 ΩR3​ = 12 Ω短路R2​8 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 8·8/(8+8) = 4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4 + 12 = 16 Ω
R1​ = 8 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​6 VR2​8 ΩAIs​2 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 3 + 2·4 = 11 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 11 + 2·12 = 35 V
Rth​ = 16 Ω+−Vth​35 VRL​6 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 35/(16 + 6) = 1.591 A
15.伯德图与裕度

答案: |H| = −0.9575 dB

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

转折频率

ωc = R/L = 22/0.0047 = 4681 rad/s
fc = 745 Hz → f/fc = 370/745 = 0.4967

增益

|H| = 1/√(1 + 0.4967²) = 0.8956
20·log₁₀(0.8956) = −0.9575 dB

答案

|H| = −0.9575 dB
16.伯德图与裕度

答案: GM = 6.021 dB

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

相位穿越

(ω/1)·(ω/4) = 1 → ω180 = √(1·4) = 2 rad/s

相位穿越处的幅值

|L(jω180)| = K/(ω·√(ω² + 1)·√(ω² + 16)) = K/(1·4·(1 + 4)) = K/20

增益裕度

GM = 20·log₁₀(20/10) = 6.021 dB

答案

GM = 6.021 dB

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