电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm11−1−122−2−2z₁z₂w

已知 z₁ = 2∠40° 和 z₂ = 2∠−25°，求 w = z₁/z₂ 的实部。

z₁ = 2∠40°z₂ = 2∠−25°
Re(w) =
2.复数困难
ReIm11−1−122−2−2θz

用棣莫弗定理求 z = 1 + j√3 时 z³ 的实部。

z = 1 + j√3n = 3
Re(z³) =
3.交流阻抗和相量中等
230 V500 HzR = 10 ΩL = 50 mHC = 2.2 µFI

一个串联 RLC 电路接在 230 V（有效值）、500 Hz 的电源上。 求从电源吸取的有功功率 P。

V = 230 V (rms)f = 500 HzR = 10 ΩL = 50 mHC = 2.2 µF
P = W
4.交流阻抗和相量困难
24 V200 HzR1​ = 30 ΩR2​ = 50 ΩC = 4.7 µFI

电阻 R1 与 R2 和电容 C 的并联组合串联，接在 24 V（有效值）、200 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。

V = 24 V (rms)f = 200 HzR1 = 30 ΩR2 = 50 ΩC = 4.7 µF
I = A
5.交流功率和功率因数中等
240 VZ5 + j12 ΩI

一个阻抗为 Z = 5 + j12 Ω 的负载接在 240 V（有效值）的单相电源上。 求它吸收的有功功率 P。

V = 240 VZ = 5 + j12 Ω
P = W
6.交流功率和功率因数困难
P1​ = 34 kWQ1​S1​φ

一台 150 kVA 的单相变压器为一个 34 kW、功率因数为 0.6（滞后）的负载供电。在变压器达到其额定 kVA 之前，还能再增加多少电阻性（功率因数为 1）负载的有功功率 ΔP？

Smax = 150 kVAP1 = 34 kWpf1 = 0.6
ΔP = kW
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
C = 100 nF+−14.4 VL = 0.47 µHiL​

一个充电到 24 V 的 100 nF 电容器与一个理想的 0.47 µH 电感振荡。求电容器电压为 14.4 V 的时刻电感中储存的能量 WL，单位 µJ。

C = 100 nFV0 = 24 VvC = 14.4 V
WL = µJ
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
V1 Ω100 µH10 µF200 mA

一个串联 RLC 电路（R = 1 Ω，L = 100 µH，C = 10 µF）在谐振时被驱动，电流幅值为 200 mA。求一个周期内在 R 上耗散的能量 Ecycle，单位 µJ。

R = 1 ΩL = 100 µHC = 10 µFIm = 200 mA
Ecycle = µJ
9.三相电中等
ABCVL​ = 480 VIL​ = ?M18.5 kW, η = 95%cos φ = 0.9

一台三相感应电动机满载时输出机械功率 18.5 kW。此负载下其效率为 95%，功率因数为 0.9（滞后）。电源线电压为 480 V。求线电流 IL。

Pout = 18.5 kWη = 95%cos φ = 0.9VL = 480 V
IL = A
10.三相电困难
P = 60 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

一个对称三相负载从 415 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 60 kW，功率因数为 0.72（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.98（滞后）。有功功率保持不变。 求电容器组须提供的总无功功率 QC，以 kvar 计。

P = 60 kWpf1 = 0.72pf2 = 0.98VL = 415 Vf = 60 Hz
QC = kvar
11.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​20 Vt = 0R1​ = 6.8 kΩR2​ = 2.2 kΩC100 µF+−vC​

电源 Vₛ 通过 R₁ 给电容充电，R₂ 与 C 并联。 开关在 t = 0 闭合时电容未充电。 求 t = 300 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 20 VR1 = 6.8 kΩR2 = 2.2 kΩC = 100 µFt = 300 ms
vC = V
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​24 Vt = 0R = 2.2 kΩC68 µF+−vC​vC​(0) = 3 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 3 V，极性如图所示。 求 t = 40 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 24 VR = 2.2 kΩC = 68 µFvC(0) = 3 Vt = 40 ms
vC = V
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 8 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​15 VR2​6 ΩARL​12 ΩIL​B

在 a–b 之间接入负载 RL = 12 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 15 VR1 = 8 ΩR2 = 6 ΩR3 = 20 ΩRL = 12 Ω
IL = A
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 10 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​36 VR2​4 ΩAIs​6 ABRL​6 ΩIL​

在 a–b 之间接入负载 RL = 6 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 36 VIs = 6 AR1 = 10 ΩR2 = 4 ΩR3 = 5 ΩRL = 6 Ω
IL = A
15.伯德图与裕度中等
|H| (dB)0.10.111101010010010001000−40−200204060ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−90−450ω = 20

求 G(s) = 42(s + 4)/(s(s + 11)) 在 ω = 20 rad/s 时的相位 ∠G(jω)，单位为度。

G(s) = 42(s + 4)/(s(s + 11))ω = 20 rad/s
∠G(jω) = °
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.1111010100100−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−180−135−90−450ωc​

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = 35/(s(s + 5))。 求相位裕度 PM，单位为度。

L(s) = 35/(s(s + 5))
PM = °

3溶液

1.复数

答案: Re(w) = 0.4226

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

w 的模和辐角

|w| = 2 / 2 = 1
θ = 40° − (−25)° = 65°

直角坐标形式

Re(w) = 1·cos(65°) = 0.4226
Im(w) = 1·sin(65°) = 0.9063
Re(w) = 0.4226

答案

Re(w) = 0.4226
2.复数

答案: Re(z³) = −8

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

极坐标形式

z = 1 + j√3 = 2∠60°

棣莫弗定理

z³ = (2)³∠180° = 8∠180°

直角坐标形式

z³ = 8·(cos 180° + j sin 180°) = −8
Re(z³) = −8

答案

Re(z³) = −8
3.交流阻抗和相量

答案: P = 2086 W

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XL = 157.1 Ω, XC = 144.7 Ω

阻抗

|Z| = √(10² + (12.39)²) = 15.92 Ω

有功功率

电感和电容只储存和释放能量；全部有功功率都由电阻吸收。

I = 230/15.92 = 14.44 A
P = I²·R = 14.44²·10 = 2086 W

答案

P = 2086 W
4.交流阻抗和相量

答案: I = 0.3109 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XC = 1/(2π·200·4.7·10⁻⁶) = 169.3 Ω

并联组合

分子分母同乘以共轭复数，把 Zp 分成实部和虚部。

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 45.99 − j13.58 Ω

总阻抗

Z = 30 + 45.99 − j13.58 = 75.99 − j13.58 Ω
|Z| = √(75.99² + 13.58²) = 77.19 Ω

电流

I = V/|Z| = 24/77.19 = 0.3109 A

答案

I = 0.3109 A
5.交流功率和功率因数

答案: P = 1704 W

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

电流

|Z| = √(5² + 12²) = 13 Ω
I = V/|Z| = 240/13 = 18.46 A

有功功率

P = I²·R = 18.46²·5 = 1704 W

答案

P = 1704 W
6.交流功率和功率因数

答案: ΔP = 109 kW

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

现有负载的无功功率

Q1 = 34·tan(arccos 0.6) = 45.33 kvar

最大总有功功率

满额定时 S = Smax，而电阻性负载不改变 Q。

P = √(Smax² − Q1²) = √(150² − 45.33²) = 143 kW

增加的有功功率

ΔP = 143 − 34 = 109 kW

答案

ΔP = 109 kW
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: WL = 18.43 µJ

LC 谐振：充电的电容器连接到电感后，驱动电流使它反向充电：能量在 C 的电场（½Cv²）与 L 的磁场（½Li²）之间以固有频率 f0 = 1/(2π√(LC)) 来回转移。没有电阻时，总能量 ½CV0² 保持不变，所以峰值电流为 Imax = V0√(C/L)。一个周期为 T = 1/f0；能量在其四分之一周期内从 C 转移到 L。

总能量

½·1 × 10⁻⁷·24² = 2.88 × 10⁻⁵ J

电容器中剩余的能量

½·1 × 10⁻⁷·14.4² = 1.037 × 10⁻⁵ J

电感中的能量

WL = 1.843 × 10⁻⁵ J = 18.43 µJ

答案

WL = 18.43 µJ
8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: Ecycle = 3.974 µJ

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

储存的能量

W = ½·1 × 10⁻⁴·0.2² = 2 × 10⁻⁶ J

品质因数

Q = (1/1)·√(1 × 10⁻⁴/1 × 10⁻⁵) = 3.162

每周期损失的能量

Ecycle = 2π·W/Q = 2π·2 × 10⁻⁶/3.162 = 3.974 × 10⁻⁶ J = 3.974 µJ
校核: ½·0.2²·1/5033 = 3.974 × 10⁻⁶ J

答案

Ecycle = 3.974 µJ
9.三相电

答案: IL = 26.03 A

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

电输入功率

Pin = Pout/η = 18.5/0.95 = 19.47 kW

线路电流

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 19474/(√3·480·0.9) = 26.03 A

答案

IL = 26.03 A
10.三相电

答案: QC = 45.65 kvar

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 60·tan(acos 0.72) = 60·0.9639 = 57.83 kvar
Q2 = 60·tan(acos 0.98) = 60·0.2031 = 12.18 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 45.65 kvar

答案

QC = 45.65 kvar
11.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 4.085 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

电容看到的戴维南等效电路

把电源短路求 Rth；把电容断开，求它最终稳定的电压。

Rth = R1 ∥ R2 = 6.8·2.2/(6.8 + 2.2) = 1.662 kΩ
vC(∞) = 20·2.2/(6.8 + 2.2) = 4.889 V

时间常数

τ = Rth·C = 1.662·100 = 166.2 ms

充电曲线

vC(t) = 4.889·(1 − e−300/166.2) = 4.085 V

答案

vC = 4.085 V
12.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 7.927 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 3 V, vC(∞) = Vs = 24 V
τ = R·C = 2.2 kΩ · 68 µF = 149.6 ms
vC(t) = 24 + (3 − 24)·e−t/τ

给定时刻的电压

vC(40) = 24 + (−21)·e−40/149.6 = 7.927 V

答案

vC = 7.927 V
13.戴维南和诺顿

答案: IL = 0.1815 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 8 ΩR3​ = 20 Ω短路R2​6 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 8·6/(8+6) = 3.429 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.429 + 20 = 23.43 Ω
R1​ = 8 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​15 VR2​6 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 15·6/(8+6) = 6.429 V
Rth​ = 23.43 Ω+−Vth​6.429 VRL​12 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 6.429/(23.43 + 12) = 0.1815 A
14.戴维南和诺顿

答案: IL = 4.144 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 10 ΩR3​ = 5 Ω短路R2​4 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 10·4/(10+4) = 2.857 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.857 + 5 = 7.857 Ω
R1​ = 10 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​36 VR2​4 ΩAIs​6 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 10.29 + 6·2.857 = 27.43 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 27.43 + 6·5 = 57.43 V
Rth​ = 7.857 Ω+−Vth​57.43 VRL​6 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 57.43/(7.857 + 6) = 4.144 A
15.伯德图与裕度

答案: ∠G(jω) = −72.5 °

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

把各角度相加

∠G = atan(20/4) − 90° − atan(20/11) = 78.69° − 90° − 61.19°

结果

∠G(j20) = −72.5°

答案

∠G(jω) = −72.5°
16.伯德图与裕度

答案: PM = 45.19 °

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

增益穿越

ω⁴ + 25ω² − 1225 = 0
ω² = (−25 + √(625 + 4·1225))/2 = 24.67
ωc = 4.966 rad/s

相位裕度

∠L(jωc) = −90° − atan(4.966/5) = −134.8°
PM = 180° + ∠L = 45.19°

答案

PM = 45.19°

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