电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm22−2−244−4−4z₁z₂w

已知 z₁ = 2∠30° 和 z₂ = 0.5∠20°，求 w = z₁/z₂ 的辐角 θ，以度为单位，取 −180° 到 180° 之间。

z₁ = 2∠30°z₂ = 0.5∠20°
θ = °
2.复数困难
ReIm11−1−122−2−2z₁z₂

z³ − z² + 3z + 5 = 0 的一个根为 z₁ = 1 + j2。系数为实数。求实根 r。

z₁ = 1 + j2
r =
3.交流阻抗和相量中等
50 V100 HzR = 10 ΩL = 50 mHI

一个电阻和一个电感并联接在 50 V（有效值）、100 Hz 的电源上。 求阻抗的相角 φ，以度为单位（电流滞后电压时为正）。

V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 10 ΩL = 50 mH
φ = °
4.交流阻抗和相量困难
100 V500 HzR = 50 ΩL = 100 mHC = 22 µF+−VC​

一个串联 RLC 电路接在 100 V（有效值）、500 Hz 的电源上。 求电容两端电压的有效值 VC。

V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 50 ΩL = 100 mHC = 22 µF
VC = V
5.交流功率和功率因数中等
240 VZ12 + j9 ΩI

一个阻抗为 Z = 12 + j9 Ω 的负载接在 240 V（有效值）的单相电源上。 求视在功率 S。

V = 240 VZ = 12 + j9 Ω
S = VA
6.交流功率和功率因数困难
P = 5 kWQ1​S1​φ1​QC​

一个单相负载从 240 V、60 Hz 电源吸取 5 kW，功率因数为 0.8（滞后）。并联一个电容将功率因数提高到 0.98。 求电容需提供的无功功率 QC。

P = 5 kWpf1 = 0.8pf2 = 0.98V = 240 Vf = 60 Hz
QC = kvar
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
C = 470 pF+−1.8 VL = 470 µHiL​

一个充电到 9 V 的 470 pF 电容器与一个理想的 470 µH 电感振荡。求电容器电压为 1.8 V 的时刻电感中储存的能量 WL，单位 nJ。

C = 470 pFV0 = 9 VvC = 1.8 V
WL = nJ
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
C = 100 nFR = 1 ΩL = 220 µH

一个充电的 100 nF 电容器通过总串联电阻为 1 Ω 的 220 µH 线圈放电，因此振荡逐渐衰减。其振幅按 e−Rt/(2L) 衰减。振幅减半之前经过多少个振荡周期 n？（损耗很小，所以频率为 f₀。）

L = 220 µHC = 100 nFR = 1 Ω
n =
9.三相电中等
ABCVL​ = 480 VNZ = 3 + j4 Ω每相

一个每相阻抗为 3 + j4 Ω 的对称 Y 联结负载接在线电压为 480 V 的对称三相电源上。 求负载吸收的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 480 VZ = 3 + j4 Ω 每相
P = kW
10.三相电困难
P = 75 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

一个对称三相负载从 400 V（线电压）、60 Hz 的电源取用 75 kW，功率因数为 0.72（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.95（滞后）。有功功率保持不变。 求电容器组须提供的总无功功率 QC，以 kvar 计。

P = 75 kWpf1 = 0.72pf2 = 0.95VL = 400 Vf = 60 Hz
QC = kvar
11.RC 和 RL 暂态中等
R = 68 Ωt = 0L10 mHi(t)

电感中流过 1 A 的稳定电流。在 t = 0 开关使回路经 R 闭合并移除电源，于是电感电流经 R 衰减。 求 t = 1 ms 时的电流 i。

i(0) = 1 AR = 68 ΩL = 10 mHt = 1 ms
i = A
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​9 Vt = 0R = 4.7 kΩC22 µF+−vC​vC​(0) = 6 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 6 V，极性如图所示。 求 t = 100 ms 时的电容电压 vC。

Vs = 9 VR = 4.7 kΩC = 22 µFvC(0) = 6 Vt = 100 ms
vC = V
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 8 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​10 VR2​8 ΩAab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 10 VR1 = 8 ΩR2 = 8 ΩR3 = 6 Ω
Vth = V
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 3 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​12 VR2​25 ΩAIs​5 ABab

求从端口 a–b 看进去的戴维南电压 Vth。

V1 = 12 VIs = 5 AR1 = 3 ΩR2 = 25 ΩR3 = 10 Ω
Vth = V
15.伯德图与裕度中等
vin​L = 10 mHC = 0.47 µFR = 10 Ωvout​

在图中所示的串联 RLC 带通滤波器中，输出取自 R = 10 Ω 两端，其中 L = 10 mH，C = 0.47 µF。 求中心（谐振）频率 f0，单位为 Hz。

R = 10 ΩL = 10 mHC = 0.47 µF
f0 = Hz
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.10.1111010100100−80−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−180−135−90−450ωc​

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = 6.4/(s(s + 2))。 求相位裕度 PM，单位为度。

L(s) = 6.4/(s(s + 2))
PM = °

3溶液

1.复数

答案: θ = 10 °

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

w 的模和辐角

|w| = 2 / 0.5 = 4
θ = 30° − 20° = 10°

辐角

θ = 10°

答案

θ = 10°
2.复数

答案: r = −1

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

共轭对

z₂ = 1 − j2
(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·1·z + (1² + 2²) = z² − 2z + 5

提取二次因式

z³ − z² + 3z + 5 = (z² − 2z + 5)(z + 1)

实根

r = −1

答案

r = −1

用根之和检验：z₁ + z₂ + r = 2 + (−1) = 1 = −(−1)。

3.交流阻抗和相量

答案: φ = 17.66 °

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XL = ωL = 2π·100·0.05 = 31.42 Ω

支路电流

两条支路都直接接在电源两端，所以每条支路都承受全部电压 V。

IR = V/R = 50/10 = 5 A
IX = V/XL = 50/31.42 = 1.592 A

总电流

电阻电流与 V 同相，电抗电流与 V 相差 90°，所以它们按直角三角形的两边合成。

I = √(IR² + IX²) = √(5² + 1.592²) = 5.247 A

相角

电感电流滞后于 V，所以总电流滞后，角度为正。

φ = arctan(IX/IR) = arctan(1.592/5) = 17.66°

答案

φ = 17.66°
4.交流阻抗和相量

答案: VC = 4.762 V

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0.1 = 314.2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·22·10⁻⁶) = 14.47 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(50² + (299.7)²) = 303.8 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 100/303.8 = 0.3291 A

电容电压

VC = I·XC = 0.3291·14.47 = 4.762 V

答案

VC = 4.762 V
5.交流功率和功率因数

答案: S = 3840 VA

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

电流

|Z| = √(12² + 9²) = 15 Ω
I = V/|Z| = 240/15 = 16 A

视在功率

S = V·I = 240·16 = 3840 VA

答案

S = 3840 VA
6.交流功率和功率因数

答案: QC = 2.735 kvar

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = P·tan φ1 = 5·tan(36.87°) = 3.75 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 5·tan(11.48°) = 1.015 kvar
QC = Q1 − Q2 = 2.735 kvar

答案

QC = 2.735 kvar
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: WL = 18.27 nJ

LC 谐振：充电的电容器连接到电感后，驱动电流使它反向充电：能量在 C 的电场（½Cv²）与 L 的磁场（½Li²）之间以固有频率 f0 = 1/(2π√(LC)) 来回转移。没有电阻时，总能量 ½CV0² 保持不变，所以峰值电流为 Imax = V0√(C/L)。一个周期为 T = 1/f0；能量在其四分之一周期内从 C 转移到 L。

总能量

½·4.7 × 10⁻¹⁰·9² = 1.904 × 10⁻⁸ J

电容器中剩余的能量

½·4.7 × 10⁻¹⁰·1.8² = 7.614 × 10⁻¹⁰ J

电感中的能量

WL = 1.827 × 10⁻⁸ J = 18.27 nJ

答案

WL = 18.27 nJ
8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: n = 10.35

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

振幅的半衰期

t = 2·0.00022·ln 2/1 = 0.000305 s

周期数

n = t·f0 = 0.000305·33932 = 10.35

答案

n = 10.35

简便算法：n = Q·ln 2/π，其中 Q = 46.9。

9.三相电

答案: P = 27.65 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

相电压

Vph = 480/√3 = 277.1 V

相电流

|Z| = √(3² + 4²) = 5 Ω
Iph = 277.1/5 = 55.43 A

总有功功率

只有每个阻抗的电阻部分吸收有功功率。

P = 3·Iph²·R = 3·55.43²·3 = 27.65 kW

答案

P = 27.65 kW

验算：cos φ = R/|Z| = 0.6，用 √3·VL·IL·cos φ 得到相同的功率。

10.三相电

答案: QC = 47.64 kvar

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 75·tan(acos 0.72) = 75·0.9639 = 72.29 kvar
Q2 = 75·tan(acos 0.95) = 75·0.3287 = 24.65 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 47.64 kvar

答案

QC = 47.64 kvar
11.RC 和 RL 暂态

答案: i = 0.001114 A

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数

τ = L/R = 10 mH / 68 Ω = 0.1471 ms

电流的衰减

i(t) = 1·e−1/0.1471 = 0.001114 A

答案

i = 0.001114 A
12.RC 和 RL 暂态

答案: vC = 7.859 V

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 6 V, vC(∞) = Vs = 9 V
τ = R·C = 4.7 kΩ · 22 µF = 103.4 ms
vC(t) = 9 + (6 − 9)·e−t/τ

给定时刻的电压

vC(100) = 9 + (−3)·e−100/103.4 = 7.859 V

答案

vC = 7.859 V
13.戴维南和诺顿

答案: Vth = 5 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 8 ΩR3​ = 6 Ω短路R2​8 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 8·8/(8+8) = 4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 4 + 6 = 10 Ω
R1​ = 8 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​10 VR2​8 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 10·8/(8+8) = 5 V
14.戴维南和诺顿

答案: Vth = 74.11 V

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 3 ΩR3​ = 10 Ω短路R2​25 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 3·25/(3+25) = 2.679 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2.679 + 10 = 12.68 Ω
R1​ = 3 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​12 VR2​25 ΩAIs​5 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 10.71 + 5·2.679 = 24.11 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 24.11 + 5·10 = 74.11 V
15.伯德图与裕度

答案: f0 = 2322 Hz

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

谐振频率

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.01·4.7 × 10⁻⁷) = 14586 rad/s
f₀ = ω₀/(2π) = 2322 Hz

答案

f0 = 2322 Hz
16.伯德图与裕度

答案: PM = 42.68 °

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

增益穿越

ω⁴ + 4ω² − 40.96 = 0
ω² = (−4 + √(16 + 4·40.96))/2 = 4.705
ωc = 2.169 rad/s

相位裕度

∠L(jωc) = −90° − atan(2.169/2) = −137.3°
PM = 180° + ∠L = 42.68°

答案

PM = 42.68°

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