电路分析（二）：交流电路：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

复数

直角坐标形式
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
除法
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

  1. 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
  2. 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
  3. 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
  4. 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。

交流阻抗和相量

阻抗
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角频率
ω = 2πf
模和相角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
相量形式的欧姆定律
V = I·Z

方法

  1. 换算频率：ω = 2πf。
  2. 求各电抗：XL = ωL，XC = 1/(ωC)。
  3. 像电阻一样把阻抗相加，Z = R + jX。
  4. 求模 |Z| = √(R² + X²) 和相角 φ = atan(X/R)，再用相量形式的欧姆定律。

交流功率和功率因数

有功功率
P = V·I·cos φ
无功功率
Q = V·I·sin φ
视在功率
S = V·I = √(P² + Q²)
功率因数
pf = cos φ = P/S
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

LC 谐振、Q 因数与带宽

固有频率
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
能量
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
峰值电流
Imax = V0√(C/L)
品质因数
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
串联 RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
并联 RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
带宽
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
半功率频率
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
含线圈电阻 r 的谐振回路
RD = L/(C·r) = Q²·r
振幅的衰减
e−Rt/(2L)

方法

  1. 先求谐振频率：ω₀ = 1/√(LC)，f₀ = ω₀/(2π)。
  2. 判断电路是串联还是并联：串联 Q = (1/R)√(L/C)，并联 Q = R√(C/L)。
  3. 带宽用 BW = f₀/Q，或用简便公式 R/(2πL)（串联）和 1/(2πRC)（并联）。
  4. 能量类问题，利用理想 LC 电路的总能量 ½CV₀² 保持不变，并且每过四分之一周期就在 C 与 L 之间转移一次。

三相电

Y 联结
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 联结
VL = Vph, IL = √3·Iph
总有功功率
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
视在功率和无功功率
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
补偿电容
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
每个电容上的电压
Δ：VL Y：VL/√3
电动机输入
Pin = Pout/η

RC 和 RL 暂态

时间常数
τ = RC | τ = L/R
响应
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流下的电容
开路；vC 不能突变
直流下的电感
短路；iL 不能突变
稳态
t ≈ 5τ

方法

  1. 求换路后瞬间的初始值：电容电压和电感电流不能突变。
  2. 求换路后很长时间的终值：电容相当于开路，电感相当于短路。
  3. 求时间常数：τ = RC 或 τ = L/R，使用从电容或电感两端看进去的电阻。
  4. 使用 x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ。

戴维南和诺顿

戴维南电压
Vth = Vopen circuit
戴维南电阻
Rth：所有独立源置零，从 a–b 看进去
诺顿电流
IN = Vth/Rth
负载电流
IL = Vth/(Rth + RL)
最大功率传输
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

方法

  1. 移去负载，并标出两个端子 a 和 b。
  2. 求 a、b 之间的开路电压：这就是 Vth。
  3. 将所有独立电源置零，求从 a–b 看进去的电阻：这就是 Rth。
  4. 把负载接回等效电路：Vth 与 Rth 串联。
  5. 求诺顿等效电路时进行变换：IN = Vth/Rth，RN = Rth 并联。

2练习题

1.复数中等
ReIm0.50.5−0.5−0.511−1−1θz

求 z = 1 − j 的辐角 θ，以度为单位，取 −180° 到 180° 之间的主值。

z = 1 − j
θ = °
2.复数困难
ReIm0.50.5−0.5−0.511−1−1z₁z₂

解 z² + 2z + 2 = 0。根为 a ± jb；求实部 a。

p = 2q = 2
a =
3.交流阻抗和相量中等
10 V200 HzR = 100 ΩL = 20 mHC = 2.2 µFI

一个串联 RLC 电路接在 10 V（有效值）、200 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。

V = 10 V (rms)f = 200 HzR = 100 ΩL = 20 mHC = 2.2 µF
I = A
4.交流阻抗和相量困难
230 V500 HzR1​ = 20 ΩR2​ = 80 ΩC = 10 µFI

电阻 R1 与 R2 和电容 C 的并联组合串联，接在 230 V（有效值）、500 Hz 的电源上。 求电流有效值 I。

V = 230 V (rms)f = 500 HzR1 = 20 ΩR2 = 80 ΩC = 10 µF
I = A
5.交流功率和功率因数中等
P = 10 kWQSφ

一台单相电动机从 240 V 电源吸取 10 kW，功率因数为 0.7（滞后）。 求线路电流 I。

P = 10 kWpf = 0.7V = 240 V
I = A
6.交流功率和功率因数困难
230 V60 Hz负载5 kW, 0.65C47 µFI = ?

一个单相负载从 230 V、60 Hz 的电源吸取 5 kW，功率因数为 0.65（滞后）。一个 47 µF 的电容与负载并联。 求新的线路电流 I。

P = 5 kWpf1 = 0.65V = 230 Vf = 60 HzC = 47 µF
I = A
7.LC 谐振、Q 因数与带宽中等
V2 Ω470 µH10 µF

一个串联 RLC 电路的 R = 2 Ω，L = 470 µH，C = 10 µF。求它的品质因数 Q。

R = 2 ΩL = 470 µHC = 10 µF
Q =
8.LC 谐振、Q 因数与带宽困难
V5 ΩLC = ?

设计一个串联 RLC 滤波器，总电阻为 5 Ω，谐振频率为 455 kHz，带宽为 22.75 kHz。求电容 C，单位 nF。

R = 5 Ωf0 = 455 kHzBW = 22.75 kHz
C = nF
9.三相电中等
ABCVL​ = 415 VNZ = 5 + j12 Ω每相

一个每相阻抗为 5 + j12 Ω 的对称 Y 联结负载接在线电压为 415 V 的对称三相电源上。 求负载吸收的总有功功率 P，以 kW 计。

VL = 415 VZ = 5 + j12 Ω 每相
P = kW
10.三相电困难
P = 80 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

一个对称三相负载从 480 V（线电压）、50 Hz 的电源取用 80 kW，功率因数为 0.7（滞后）。与负载并联的三相电容器组须把总功率因数提高到 0.95（滞后）。有功功率保持不变。 求电容器组须提供的总无功功率 QC，以 kvar 计。

P = 80 kWpf1 = 0.7pf2 = 0.95VL = 480 Vf = 50 Hz
QC = kvar
11.RC 和 RL 暂态中等
+−Vs​12 Vt = 0R = 47 ΩL68 mHi(t)

开关在 t = 0 闭合前，电感中没有电流。 开关闭合后多长时间电流达到终值的 99%？求 t。

Vs = 12 VR = 47 ΩL = 68 mH
t = ms
12.RC 和 RL 暂态困难
+−Vs​6 Vt = 0R = 6.8 kΩC47 µF+−vC​vC​(0) = 24 V

开关在 t = 0 闭合前的一瞬间，电容电压为 24 V，极性如图所示。 vC 需要多长时间达到 13.2 V？求 t。

Vs = 6 VR = 6.8 kΩC = 47 µFvC(0) = 24 V
t = ms
13.戴维南和诺顿中等
R1​ = 20 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​6 VR2​4 ΩARL​3 ΩIL​B

在 a–b 之间接入负载 RL = 3 Ω。将电路其余部分替换为戴维南等效电路，求负载电流 IL。

V1 = 6 VR1 = 20 ΩR2 = 4 ΩR3 = 3 ΩRL = 3 Ω
IL = A
14.戴维南和诺顿困难
R1​ = 2 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​9 VR2​12 ΩAIs​2.5 ABab

求诺顿电流 IN：端口短路时从 a 流向 b 的电流。

V1 = 9 VIs = 2.5 AR1 = 2 ΩR2 = 12 ΩR3 = 3 Ω
IN = A
15.伯德图与裕度中等
|H| (dB)0.11101001000−80−60−40−20020ω (rad/s)ω = 30

求 G(s) = 270/((s + 3)(s + 18)) 在 ω = 30 rad/s 时的精确幅值 |G(jω)|，单位为 dB。

G(s) = 270/((s + 3)(s + 18))ω = 30 rad/s
|G(jω)| = dB
16.伯德图与裕度困难
|H| (dB)0.010.010.10.1111010−60−40−2002040ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−180−135−90−450ωc​ = ?

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = 0.4/(s(s + 1))。 求增益穿越频率 ωc，即 |L(jω)| = 1 处。

L(s) = 0.4/(s(s + 1))
ωc = rad/s

3溶液

1.复数

答案: θ = −45 °

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

象限

a = 1, b = −1 → IV

参考角

α = atan(1/1) = 45°

辐角

θ = −α = −45°

答案

θ = −45°

极坐标形式为 z = 1.414∠−45°。

2.复数

答案: a = −1

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

判别式

p² − 4q = 4 − 8 = −4 < 0

求根公式

z = (−2 ± j√4)/2 = −1 + j, −1 − j

答案

a = −1

答案

a = −1
3.交流阻抗和相量

答案: I = 0.02848 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0.02 = 25.13 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·2.2·10⁻⁶) = 361.7 Ω

阻抗

串联时阻抗按复数相加：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (−336.6)²) = 351.1 Ω

电流

串联电路中每个元件流过相同电流。

I = V/|Z| = 10/351.1 = 0.02848 A

答案

I = 0.02848 A
4.交流阻抗和相量

答案: I = 5.559 A

相量法分析交流电路：电阻、电感和电容的阻抗分别为 R、jωL 和 1/(jωC)，其中 ω = 2πf。串联时阻抗像电阻一样相加，但按复数计算。电流和电压的有效值满足以 |Z| 表示的欧姆定律。

电抗

XC = 1/(2π·500·10·10⁻⁶) = 31.83 Ω

并联组合

分子分母同乘以共轭复数，把 Zp 分成实部和虚部。

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 10.93 − j27.48 Ω

总阻抗

Z = 20 + 10.93 − j27.48 = 30.93 − j27.48 Ω
|Z| = √(30.93² + 27.48²) = 41.38 Ω

电流

I = V/|Z| = 230/41.38 = 5.559 A

答案

I = 5.559 A
5.交流功率和功率因数

答案: I = 59.52 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

线路电流

只有有功部分做功，所以要除以功率因数。

I = P/(V·cos φ) = 10000/(240·0.7) = 59.52 A

答案

I = 59.52 A
6.交流功率和功率因数

答案: I = 30.46 A

交流功率：视在功率 S = V·I (VA) 分为做有用功的有功功率 P = S·cos φ (W)，以及在电源和负载之间来回交换的无功功率 Q = S·sin φ (var)。功率因数为 cos φ。并联电容就地提供无功功率，因此在有功功率不变时线路电流减小。

补偿前后的无功功率

有功功率 P 不变；改变的只是从电源吸取的无功功率。

Q1 = 5·tan(arccos 0.65) = 5.846 kvar
QC = V²·2πf·C = 230²·2π·60·47·10⁻⁶ = 937.3 var = 0.9373 kvar
Q2 = 5.846 − 0.9373 = 4.908 kvar

新的视在功率

S2 = √(5² + 4.908²) = 7.007 kVA

新的线路电流

I = S2/V = 7007/230 = 30.46 A

答案

I = 30.46 A
7.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: Q = 3.428

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

特性阻抗

√(L/C) = √(0.00047/1 × 10⁻⁵) = 6.856 Ω

品质因数

Q = 6.856/2 = 3.428

答案

Q = 3.428

谐振频率为 2.322 kHz，所以 BW = f₀/Q = 677.3 Hz。

8.LC 谐振、Q 因数与带宽

答案: C = 3.498 nF

Q 因数与带宽：在谐振电路中，Q = 2π·（储存的能量）/（每周期损失的能量）。对串联 RLC，Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)；对并联 RLC，Q = R/(ω0L) = R√(C/L)。半功率频率 f1 与 f2（功率减半，电流或电压为峰值的 1/√2）之间的带宽为 BW = f2 − f1 = f0/Q，串联时是 R/(2πL)，并联时是 1/(2πRC)。谐振频率是几何平均值 f0 = √(f1f2)，且 f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))。损耗还会使振荡衰减：在串联 RLC 中，振幅按 e−Rt/(2L) 下降。

由带宽求电感

L = R/(2π·BW) = 5/(2π·22750) = 3.498 × 10⁻⁵ H

由谐振频率求电容

C = 1/((2π·455000)²·3.498 × 10⁻⁵) = 3.498 × 10⁻⁹ F = 3.498 nF

答案

C = 3.498 nF

Q = f₀/BW = 20。

9.三相电

答案: P = 5.095 kW

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。

相电压

Vph = 415/√3 = 239.6 V

相电流

|Z| = √(5² + 12²) = 13 Ω
Iph = 239.6/13 = 18.43 A

总有功功率

只有每个阻抗的电阻部分吸收有功功率。

P = 3·Iph²·R = 3·18.43²·5 = 5.095 kW

答案

P = 5.095 kW

验算：cos φ = R/|Z| = 0.3846，用 √3·VL·IL·cos φ 得到相同的功率。

10.三相电

答案: QC = 55.32 kvar

对称三相系统：在 Y（星形）联结中，线电压是相电压的 √3 倍，VL = √3·Vph，线电流等于相电流。在 Δ（三角形）联结中，线电压等于相电压，线电流是相电流的 √3 倍，IL = √3·Iph。总功率是一相功率的三倍：P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ。 功率因数校正：电容就地提供无功功率，QC = P·(tan φ1 − tan φ2)。三个电容各提供 QC/3 = V²·ω·C，其中 V 是该电容两端的电压：Δ 联结电容器组为 VL，Y 联结电容器组为 VL/√3。

补偿前后的无功功率

有功功率不变，因此每个功率因数对应确定的无功功率：Q = P·tan φ。

Q1 = 80·tan(acos 0.7) = 80·1.02 = 81.62 kvar
Q2 = 80·tan(acos 0.95) = 80·0.3287 = 26.29 kvar

电容提供的无功功率

QC = Q1 − Q2 = 55.32 kvar

答案

QC = 55.32 kvar
11.RC 和 RL 暂态

答案: t = 6.663 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

时间常数和终值电流

开关闭合很久后，电感相当于短路，因此终值电流只由 R 决定。

τ = L/R = 68 mH / 47 Ω = 1.447 ms
i(∞) = Vs/R = 12/47 = 0.2553 A

求解时间

0.99 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.99)
t = −1.447·ln(0.01) = 6.663 ms

答案

t = 6.663 ms
12.RC 和 RL 暂态

答案: t = 292.8 ms

一阶暂态：在只含一个电容或一个电感的电路中，每个电压和电流都从初始值按指数规律变化到终值：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ，其中 τ = RC 或 τ = L/R。约 5τ 后电路进入稳态。

初始值、终值、时间常数

电容电压不能突变，所以它从储存值开始，趋向电源电压。

vC(0) = 24 V, vC(∞) = Vs = 6 V
τ = R·C = 6.8 kΩ · 47 µF = 319.6 ms
vC(t) = 6 + (24 − 6)·e−t/τ

求解时间

13.2 = 6 + (18)·e−t/τ → e−t/τ = (13.2 − 6)/(24 − 6) = 0.4
t = τ·ln((24 − 6)/(13.2 − 6)) = 319.6·ln(2.5) = 292.8 ms

答案

t = 292.8 ms
13.戴维南和诺顿

答案: IL = 0.1071 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 20 ΩR3​ = 3 Ω短路R2​4 ΩAabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 20·4/(20+4) = 3.333 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3.333 + 3 = 6.333 Ω
R1​ = 20 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​6 VR2​4 ΩAab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时 R₃ 中没有电流，因此其上无压降，V_b = V_A。R₁ 和 R₂ 构成分压电路。

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 6·4/(20+4) = 1 V
Rth​ = 6.333 Ω+−Vth​1 VRL​3 ΩIL​

将负载接到戴维南等效电路上

戴维南电源与串联的 R_th 在 a–b 处的表现与原电路完全相同，因此负载看到的是一个简单串联回路。

IL = Vth/(Rth + RL) = 1/(6.333 + 3) = 0.1071 A
14.戴维南和诺顿

答案: IN = 4.136 A

戴维南定理：任何线性二端网络都等效为一个电压源 Vth 串联一个电阻 Rth。诺顿定理则把同一网络等效为电流源 IN = Vth/Rth 与 Rth 并联。

R1​ = 2 ΩR3​ = 3 Ω短路R2​12 ΩA开路BabRth​

将所有电源置零，求 Rth

电压源换成短路，电流源换成开路，然后从 a–b 看进电路。

R1 ∥ R2 = 2·12/(2+12) = 1.714 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1.714 + 3 = 4.714 Ω
R1​ = 2 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​9 VR2​12 ΩAIs​2.5 ABab+−Vth​

求开路电压 Vth

a–b 开路时，Iₛ 只能经 R₃ 流入节点 A。用 V₁ 和 Iₛ 叠加求 V_A，再加上 R₃ 上的压降。

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 7.714 + 2.5·1.714 = 12 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 12 + 2.5·3 = 19.5 V
IN​4.136 ARth​4.714 Ωab

诺顿等效

诺顿电源是同一电路看作与 R_th 并联的电流源。其电流就是 a–b 的短路电流。

IN = Vth/Rth = 19.5/4.714 = 4.136 A
15.伯德图与裕度

答案: |G(jω)| = −11.84 dB

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

把各模相乘

|G(j30)| = 270/(√(30² + 3²)·√(30² + 18²)) = 270/(30.15·34.99) = 0.256

结果

20·log₁₀(0.256) = −11.84 dB

答案

|G(jω)| = −11.84 dB
16.伯德图与裕度

答案: ωc = 0.3746 rad/s

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

增益穿越

ω⁴ + 1ω² − 0.16 = 0
ω² = (−1 + √(1 + 4·0.16))/2 = 0.1403
ωc = 0.3746 rad/s

答案

ωc = 0.3746 rad/s

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