数制
- 位权
- 二进制 2k，八进制 8k，十六进制 16k
- 转为十进制
- Σ dk·bk
- 从十进制转换
- 除以基数，余数从下往上读
- 十六进制 ↔ 二进制
- 一位十六进制数 = 4 位二进制
- 二进制补码
- 按位取反后加 1
计算机科学导论：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
命题逻辑与证明
- 真值表的行数
- 2ⁿ
- 蕴涵
- p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
- 蕴涵的否定
- ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
- 双条件
- p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
- 德摩根律
- ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
- 分配律
- p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
- 量词的否定
- ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
- 肯定前件，否定后件
- p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p
方法
- 数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
- 给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
- 按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
- 判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
- 否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。
数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
- 基本逻辑门
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- 布尔规则
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- 德摩根律
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- 卡诺图的顺序
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- 由 2ᵏ 个格子组成的圈
- 消去 k 个变量
- 4 选 1 多路选择器
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- 触发器
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- 计数器
- n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
- 行波计数器
- fmax = 1/(n·tpd)
- 环形计数器与约翰逊计数器
- n 个和 2n 个状态
方法
- 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
- 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
- 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
- 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。
数论与模运算
- 带余除法
- a = q·n + r, 0 ≤ r < n
- 欧几里得
- gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
- 最小公倍数
- lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
- 逆矩阵
- a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
- 线性同余方程
- a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
- 欧拉函数
- φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
- 费马
- aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
- RSA
- n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
方法
- 先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
- 求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
- 求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
- 解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
- 求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。
图论
- 握手引理
- Σ deg(v) = 2|E|
- 完全图
- |E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
- 正则图
- |E| = n·k/2
- 树与森林
- |E| = n − 1, |E| = n − c
- 树的叶子
- L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
- 欧拉
- 回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
- Kn 中的哈密顿回路
- (n − 1)!/2
- 迪杰斯特拉更新
- d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
- 长度为 L 的途径
- (Mᴸ)ij
方法
- 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
- 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
- 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
- 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
- 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。
IPv4 子网划分
- 每个子网的主机数
- 2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
- 块大小
- 256 − (mask octet)
- 网络地址
- IP AND 掩码
- 广播地址
- IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
- 借用 n 位得到的子网数
- 2n
2练习题
1.数制中等
设置各位，使其以 8 位补码存储 −98。按无符号数读取，该位模式的值 U 是多少？
N = −988 bit
U =
2.数制困难
把各位设置为 1100 0010 XOR 1110 1001 的 8 位结果。该结果的十进制值 R 是多少？
1100 0010XOR1110 1001
R =
3.命题逻辑与证明中等
哪个公式与 (c ∨ a) → b 在逻辑上等价？点选它。
(c ∨ a) → b
- 1c ∨ (a → b)
- 2(c → b) ∧ (a → b)
- 3(c ∧ a) → b
- 4(c → b) ∨ (a → b)
4.命题逻辑与证明困难
把否定完全移到内部之后，哪个命题与 ¬∀x (P(x) → Q(x)) 等价？点选它。
¬∀x (P(x) → Q(x))
- 1∃x (P(x) → ¬Q(x))
- 2∀x (P(x) → ¬Q(x))
- 3∃x (¬P(x) ∧ Q(x))
- 4∃x (P(x) ∧ ¬Q(x))
5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
用卡诺图求 F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 4, 6, 10, 11) 的最简积之和 (SOP) 形式。它有多少个乘积项 N？
F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 4, 6, 10, 11)
N =
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
求 F(A, B, C, D) = Σm(2, 5, 10, 11, 12, 14) + d(7, 8, 13) 的最简 SOP 形式，其中 d 表示无关项。它包含多少个文字 L？
F(A, B, C, D) = Σm(2, 5, 10, 11, 12, 14) + d(7, 8, 13)
L =
7.数论与模运算中等
求 36 模 53 的逆元：满足 0 < x < 53 且 36·x ≡ 1 (mod 53) 的数 x。
a = 36n = 53
36−1 mod 53 =
8.数论与模运算困难
用 RSA 公钥 (n, e) = (205, 11) 加密消息 m = 29。求密文 c。
n = 205e = 11m = 29
c =
9.算法与复杂度中等
朴素递归斐波那契（fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)）的时间复杂度是：
- A对数级
- B指数级
- C线性
- D常数
10.算法与复杂度困难
下列哪个可满足性问题已知可以在多项式时间内求解？
- A电路可满足性问题
- B合取范式公式上的一般 SAT
- C2-SAT，每个子句至多有两个文字
- D3-SAT，每个子句恰好有三个文字
11.数据结构中等
一个大小为 7 的哈希表使用 h(k) = k mod 7 和线性探测。插入 10 之后，17 存放在哪里？
- A下标 6
- B下标 3
- C下标 4
- D下标 0
12.数据结构困难
为什么服务器可能会从一个通用哈希函数族中随机选择其哈希函数？
- A免去对表进行扩容的需要
- B使攻击者极难选出许多全部发生冲突的键
- C保证任何两个键永远不会发生冲突，无论攻击者发送什么键
- D使哈希表有序
13.图论中等
这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。
|V| = 6|E| = 8
- 1欧拉回路
- 2有欧拉通路，无回路
- 3都不是
14.图论困难
用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。
起点：A终点：F
d(F) =
15.数据库与 SQL中等
关于 HAVING，下列哪项说法正确？
- A它用于对结果排序
- B它不能与 GROUP BY 一起使用
- C它可以使用聚合函数来过滤分组
- D它在 SELECT 语句中必须写在 WHERE 之前
16.数据库与 SQL困难
一个报表数据库把客户姓名复制到 orders 表中以避免连接。这种反规范化的主要代价是什么？
- A数据库不能再使用索引
- B对 orders 表的查询变慢
- C每当客户数据变化时，都必须保持冗余副本的一致
- D不能再使用主键
17.计算机网络中等
传统的共享式（半双工）以太网使用哪种介质访问方法？
- ACSMA/CD
- BCSMA/CA
- CTDMA
- D令牌传递
18.计算机网络困难
一台 PC 能访问本子网中的打印机，但无法访问子网以外的任何地方。它的 IP 地址和掩码都正确。最可能的故障是什么？
- A默认网关缺失或错误
- B互联网上存在重复的 MAC 地址
- CDNS 服务器设置有误
- DTCP 窗口太小
19.IPv4 子网划分中等
网络 10.136.173.0/24 被划分为前缀为 /27 的等大子网。共有多少个子网 N？
10.136.173.0/24/27
N =
20.IPv4 子网划分困难
一台路由器有到以下网络的路由：10.83.218.0/24, 10.83.219.0/24, 10.83.220.0/24, 10.83.221.0/24, 10.83.222.0/24, 10.83.223.0/24, 10.83.224.0/24, 10.83.225.0/24。能覆盖所有这些网络的单条汇总路由，其最长前缀长度 p 是多少？
10.83.218.0/24 … 10.83.225.0/24
p =
3溶液
1.数制
答案: U = 158
设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。
取反加一
98 = 0110 0010
取反后: 1001 1101
+1 → 1001 1110
按无符号数读取
1001 1110₂ = 256 − 98 = 158
答案
U = 158
2.数制
答案: R = 43
设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。
逐位计算
XOR 在两位不同时得 1。
1100 0010
XOR 1110 1001
= 0010 1011
结果的值
0010 1011₂ = 43
答案
R = 43
3.命题逻辑与证明
答案: (c → b) ∧ (a → b)
逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。
定律
(a ∨ b) → c 要求只要 a 或 b 成立就必须有 c：(a → c) ∧ (b → c)。
(c ∨ a) → b ≡ (c → b) ∧ (a → b)
用真值表检验
a = 1, b = 1, c = 1: 1 | 1 1 1 1
a = 1, b = 1, c = 0: 1 | 1 1 1 1
a = 1, b = 0, c = 1: 0 | 1 0 0 0
a = 1, b = 0, c = 0: 0 | 0 0 1 1
a = 0, b = 1, c = 1: 1 | 1 1 1 1
a = 0, b = 1, c = 0: 1 | 1 1 1 1
a = 0, b = 0, c = 1: 0 | 1 0 1 1
a = 0, b = 0, c = 0: 1 | 1 1 1 1
答案
(c → b) ∧ (a → b)
竖线之后的各列是按所示顺序排列的各个选项。
4.命题逻辑与证明
答案: ∃x (P(x) ∧ ¬Q(x))
量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。
把否定移到内部
¬∀x (P(x) → Q(x)) ≡ ∃x (P(x) ∧ ¬Q(x))
答案
∃x (P(x) ∧ ¬Q(x))
其他选项要么保持某个量词不变，要么改变了量词的顺序，要么错误地否定了内部的公式。
5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
答案: N = 2
卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。
圈 1
每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。
A′D′
AB′C
最简 SOP 形式
F = A′D′ + AB′C
N = 2
答案
N = 2
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
答案: L = 11
卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。
质蕴涵项
由 1 和 X 能够构成的最大的圈。
B′CD′, BC′D, AD′, A′BD, AB′C, ABC′
最小覆盖
F = B′CD′ + BC′D + AD′ + AB′C
L = 11
答案
L = 11
还存在另一种大小相同的圈法；它的项数和文字数相同。
7.数论与模运算
答案: 36−1 mod 53 = 28
逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。
扩展欧几里得算法
每个余数 r 都写成 r ≡ t·36 (mod 53)。
r = 53, t = 0
r = 36, q = 1, t = 1
r = 17, q = 2, t = −1
r = 2, q = 8, t = 3
r = 1, q = 2, t = −25
逆矩阵
1 ≡ −25·36 (mod 53)
x = 28
校核: 36·28 = 1008 = 19·53 + 1
答案
36−1 mod 53 = 28
8.数论与模运算
答案: c = 179
模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。
反复平方
11 = 8 + 2 + 1
291 ≡ 29 (mod 205)
292 ≡ 21 (mod 205)
294 ≡ 31 (mod 205)
298 ≡ 141 (mod 205)
2911 ≡ 29·21·141 ≡ 179 (mod 205)
密文
c = 179
答案
c = 179
9.算法与复杂度
答案: B · 指数级
为什么是这个答案
调用树大约按 φⁿ（约 1.618ⁿ）增长。记忆化可将其降为 O(n)。
答案
B · 指数级
10.算法与复杂度
答案: C · 2-SAT，每个子句至多有两个文字
为什么是这个答案
2-SAT 属于 P（通过强连通分量可在线性时间内求解），而 3-SAT 是 NP 完全的。
答案
C · 2-SAT，每个子句至多有两个文字
11.数据结构
答案: C · 下标 4
为什么是这个答案
10 mod 7 = 3，17 mod 7 = 3；下标 3 已被占用，因此线性探测尝试下一个槽位，即下标 4。
答案
C · 下标 4
12.数据结构
答案: B · 使攻击者极难选出许多全部发生冲突的键
为什么是这个答案
使用通用哈希时，对于任何键集合，冲突的期望次数都很小，因为攻击者不知道选择的是哪个函数。
答案
B · 使攻击者极难选出许多全部发生冲突的键
13.图论
答案: 有欧拉通路，无回路
欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。
度
deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 2
奇度顶点
B, D → 2
有欧拉通路，无回路
答案
有欧拉通路，无回路
欧拉通路从一个奇度顶点出发，在另一个奇度顶点结束。
14.图论
答案: d(F) = 17
最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。
迪杰斯特拉算法逐轮过程
每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。
A (0): B: 3, C: 7
B (3): D: 17, G: 11
C (7): E: 21
G (11): E: 14
E (14): F: 17
D (17)
F (17)
最短路径
A → B → G → E → F
d(F) = 17
答案
d(F) = 17
15.数据库与 SQL
答案: C · 它可以使用聚合函数来过滤分组
为什么是这个答案
HAVING 在聚合之后过滤分组，并且可以引用聚合函数；WHERE 则不能。
答案
C · 它可以使用聚合函数来过滤分组
16.数据库与 SQL
答案: C · 每当客户数据变化时，都必须保持冗余副本的一致
为什么是这个答案
反规范化加快了读取，但重新带来了冗余，因此更新时必须修改每一个副本，否则就会出现异常。
答案
C · 每当客户数据变化时，都必须保持冗余副本的一致
17.计算机网络
答案: A · CSMA/CD
为什么是这个答案
载波侦听多路访问/冲突检测：站点检测到冲突时停止发送，并在随机退避后重试。全双工交换式以太网没有冲突。
答案
A · CSMA/CD
18.计算机网络
答案: A · 默认网关缺失或错误
为什么是这个答案
主机把发往子网外的数据包发给默认网关。如果网关错误或缺失，本地流量仍然正常，但外部什么都访问不到，即使使用 IP 地址也一样。
答案
A · 默认网关缺失或错误
19.IPv4 子网划分
答案: N = 8
IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).
借用位
27 − 24 = 3
子网数
N = 23 = 8
答案
N = 8
每个 /27 子网有 25 − 2 = 30 个可用主机。
20.IPv4 子网划分
答案: p = 18
路由汇总：汇总路由 a.b.c.0/p 覆盖前 p 位相同的所有网络。把第一个和最后一个网络中不同的那个八位组写成二进制；相同的前导位数加上它前面各八位组的位数，就是最长的汇总前缀。
比较各位
218 = 11011010
225 = 11100001
相同的前导位：2
前缀长度
p = 16 + 2 = 18
答案
p = /18
汇总路由：10.83.192.0/18 （它还覆盖了列表中没有的 56 个网络）。
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