计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权: 二进制 2^k，八进制 8^k，十六进制 16^k
转为十进制: Σ d_k·b^k
从十进制转换: 除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制: 一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码: 按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数: 2ⁿ
蕴涵: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小: 256 − (mask octet)
网络地址: IP AND 掩码
广播地址: IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数: 2ⁿ

2练习题

1.数制中等

8 位模式 1100 1101 以补码形式存储一个有符号整数。它的十进制值 N 是多少？

1100 11018 bit

N =

2.数制困难

把各位设置为 1000 0011 >> 1 的 8 位结果。该结果的十进制值 R 是多少？

1000 0011>> 1

R =

3.命题逻辑与证明中等

哪个公式与 q → p 在逻辑上等价？点选它。

q → p

1¬p ∧ ¬q
2¬p → ¬q
3p → q
4¬q → ¬p

4.命题逻辑与证明困难

把否定完全移到内部之后，哪个命题与 ¬∃x ∀y R(x, y) 等价？点选它。

¬∃x ∀y R(x, y)

1∀x ∃y ¬R(x, y)
2∃x ∀y ¬R(x, y)
3∃x ∃y ¬R(x, y)
4∀x ∀y ¬R(x, y)

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

一个 4 选 1 多路选择器的选择输入为 S₁ = A 和 S₀ = B，数据输入分别接 I₀ = C′，I₁ = C，I₂ = C，I₃ = 1。在 A、B、C 的 8 种组合中，有多少种使输出 F = 1？求 N。

I₀ = C′I₁ = CI₂ = CI₃ = 1

N =

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

求 F(A, B, C, D) = Σm(2, 4, 5, 11, 12, 13, 14, 15) + d(0, 1, 8, 10) 的最简 SOP 形式，其中 d 表示无关项。它有多少个乘积项 N？

F(A, B, C, D) = Σm(2, 4, 5, 11, 12, 13, 14, 15) + d(0, 1, 8, 10)

N =

7.数论与模运算中等

解 24x ≡ 6 (mod 37)。给出满足 0 < x < 37 的解 x。

24x ≡ 6 (mod 37)

x =

8.数论与模运算困难

用 RSA 公钥 (n, e) = (1247, 5) 加密消息 m = 519。求密文 c。

n = 1247e = 5m = 519

c =

9.算法与复杂度中等

在包含 1,000,000 个元素的有序数组上，二分查找在最坏情况下大约需要多少次比较？

A约 100 次
B约 1,000 次
C约 500,000 次
D约 20 次

10.算法与复杂度困难

为什么在单链表上二分查找不能达到 O(log n) 的时间？

A由于不能按下标直接访问，到达中间元素需要 O(n) 步
B链表无法排序
C二分查找至少需要两倍的内存
D链表节点上的比较更慢

11.数据结构中等

后缀表达式 3 4 + 2 * 的值是多少？

12.数据结构困难

线段树（segment tree）通常用于：

A通过把每个前缀存储在单独的树节点中，按字母顺序对字符串排序
B实现栈
C存储图的边
D在 O(log n) 时间内处理区间查询（如区间求和）和更新

13.图论中等

一棵树有 2 个度为 3 的顶点, 3 个度为 5 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？

2 × deg 33 × deg 5

L =

14.图论困难

求带权图的最小生成树的总权重 W。

|V| = 6|E| = 9

W =

15.数据库与 SQL中等

哪个查询列出从未下过订单的客户？

ASELECT c.name FROM customers c LEFT JOIN orders o ON o.customer_id = c.id WHERE o.id IS NULL
BSELECT c.name FROM customers c INNER JOIN orders o ON o.customer_id = c.id WHERE o.id IS NULL
CSELECT c.name FROM customers c LEFT JOIN orders o ON o.customer_id = c.id WHERE o.id = NULL
DSELECT c.name FROM customers c LEFT JOIN orders o ON o.customer_id = c.id WHERE o.id IS NOT NULL

16.数据库与 SQL困难

两个事务都读到 stock = 10，各自减 1 后写回结果，最终得到 9 而不是 8。这是哪种异常？

A幻读
B脏读
C丢失更新
D删除异常

17.计算机网络中等

哪个子网掩码对应 /20？

A255.255.255.240
B255.255.240.0
C255.255.224.0
D255.255.248.0

18.计算机网络困难

在多次冲突之后，传统以太网站点从一个每次加倍的范围中选择等待时间。为什么？

A让 MAC 地址最大的站点在共享线缆上获得优先权
B在许多站点竞争时降低再次冲突的概率
C使线缆能把信号传得更远
D使所有站点同步到一个时钟

19.IPv4 子网划分中等

网络 192.168.96.0/24 被划分为若干 /26 子网，从最低地址起编号为 1、2、3、…（子网 1 从 .0 开始）。子网 4 的广播地址的第四个八位组 x 是多少？

192.168.96.0/24/26子网 4 (子网 1 从 .0 开始)

x =

20.IPv4 子网划分困难

某主机地址为 10.20.38.185/29。其子网广播地址的最后一个数（第四个八位组）x 是多少？

10.20.38.185/29

x =

3溶液

1.数制

答案: N = −51

位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。

位权相加

其余各位保持正常的正权值。

−128 + 64 + 8 + 4 + 1 = −51

答案

N = −51

2.数制

答案: R = 65

设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。

逐位计算

右移 1 位，把每一位向右移动 1 个位置；从右端移出的位丢失，左侧补入 0。

1000 0011 >> 1

= 0100 0001

结果的值

0100 0001₂ = 65

答案

R = 65

3.命题逻辑与证明

答案: ¬p → ¬q

逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

定律

蕴涵与它的逆否命题 ¬b → ¬a 等价，而与它的逆命题 b → a 或否命题 ¬a → ¬b 不等价。

q → p ≡ ¬p → ¬q

用真值表检验

p = 1, q = 1: 1 | 0 1 1 1

p = 1, q = 0: 1 | 0 1 0 0

p = 0, q = 1: 0 | 0 0 1 1

p = 0, q = 0: 1 | 1 1 1 1

答案

¬p → ¬q

竖线之后的各列是按所示顺序排列的各个选项。

4.命题逻辑与证明

答案: ∀x ∃y ¬R(x, y)

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

把否定移到内部

¬∃x ∀y R(x, y) ≡ ∀x ∃y ¬R(x, y)

答案

∀x ∃y ¬R(x, y)

其他选项要么保持某个量词不变，要么改变了量词的顺序，要么错误地否定了内部的公式。

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 5

多路选择器：2ⁿ 选 1 多路选择器把其数据输入之一传到输出；选择线按二进制数读取，决定选哪一个。对于选择端 S₁S₀ = AB 的 4 选 1 MUX，F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃。把数据输入接到 0、1、C 或 C′，可使 MUX 产生 A、B、C 的任意函数，这是用一块芯片实现逻辑的常用方法。

输出表达式

F = A′B′C′ + A′BC + AB′C + AB

F = 1 的行

ABC = 000, 011, 101, 110, 111

N = 5

答案

N = 5

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 3

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

质蕴涵项

由 1 和 X 能够构成的最大的圈。

C′D′, B′D′, BC′, AD′, A′C′, AC, AB

最小覆盖

F = B′D′ + BC′ + AC

N = 3

答案

N = 3

7.数论与模运算

答案: x = 28

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

24 的逆元

r = 37, t = 0

r = 24, q = 1, t = 1

r = 13, q = 1, t = −1

r = 11, q = 1, t = 2

r = 2, q = 5, t = −3

r = 1, q = 2, t = 17

24⁻¹ ≡ 17 (mod 37)

求解

x ≡ 17·6 = 102 ≡ 28 (mod 37)

校核: 24·28 = 672 ≡ 6 (mod 37)

答案

x = 28

8.数论与模运算

答案: c = 888

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

反复平方

5 = 4 + 1

519¹ ≡ 519 (mod 1247)

D · 在 O(log n) 时间内处理区间查询（如区间求和）和更新

13.图论

答案: L = 13

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；K_n 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

树的握手引理

L + 21 = 2(L + 5) − 2

L = 13

答案

L = 13

捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。

14.图论

答案: W = 36

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

BE (1): 取

AB (5): 取

CE (6): 取

BC (7): 跳过，会形成圈

B · 在许多站点竞争时降低再次冲突的概率

19.IPv4 子网划分

答案: x = 255

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

块大小

2⁶ = 64

第 4 个子网

网络: (4 − 1)·64 = 192

广播: 192 + 64 − 1 = 255

答案

x = 255

20.IPv4 子网划分

答案: x = 191

IPv4 子网划分：一个地址有 32 位。前缀 /p 表示前面多少位标识网络；其余 32 − p 位为主机编号。一个子网有 2³²⁻ᵖ 个地址，但第一个（网络地址）和最后一个（广播地址）不能分配给主机，所以可容纳 2³²⁻ᵖ − 2 台主机。例外：/31（点对点链路，RFC 3021）的 2 个地址都用于主机，/32 只有一个地址（单个主机或环回地址）。

块大小

2³ = 8

该主机所在子网

网络: ⌊185/8⌋·8 = 184

广播: 184 + 8 − 1 = 191

可用主机: 185 … 190

答案

x = 191

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