计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权: 二进制 2^k，八进制 8^k，十六进制 16^k
转为十进制: Σ d_k·b^k
从十进制转换: 除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制: 一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码: 按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数: 2ⁿ
蕴涵: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小: 256 − (mask octet)
网络地址: IP AND 掩码
广播地址: IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数: 2ⁿ

2练习题

1.数制中等

设置各位，使其以 8 位补码存储 −83。按无符号数读取，该位模式的值 U 是多少？

N = −838 bit

U =

2.数制困难

把各位设置为 1111 0011 XOR 0100 1000 的 8 位结果。该结果的十进制值 R 是多少？

1111 0011XOR0100 1000

R =

3.命题逻辑与证明中等

哪个公式与 c ∨ (a ∧ b) 在逻辑上等价？点选它。

c ∨ (a ∧ b)

1(c ∧ a) ∨ (c ∧ b)
2(c ∨ a) ∧ (c ∨ b)
3(c ∨ a) ∧ b
4c ∧ (a ∨ b)

4.命题逻辑与证明困难

真值表的 16 行中，有多少行使 ¬((r ∨ (s ↔ q)) ↔ ¬((q → r) → (p → s))) 为真？把这个数记作 N。

¬((r ∨ (s ↔ q)) ↔ ¬((q → r) → (p → s)))

N =

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

一个 4 选 1 多路选择器的选择输入为 S₁ = A 和 S₀ = B，数据输入分别接 I₀ = C，I₁ = 0，I₂ = 0，I₃ = C′。在 A、B、C 的 8 种组合中，有多少种使输出 F = 1？求 N。

I₀ = CI₁ = 0I₂ = 0I₃ = C′

N =

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

求 F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 6, 7, 12, 13) + d(3, 4) 的最简 SOP 形式，其中 d 表示无关项。它有多少个乘积项 N？

F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 6, 7, 12, 13) + d(3, 4)

N =

7.数论与模运算中等

求 59 模 73 的逆元：满足 0 < x < 73 且 59·x ≡ 1 (mod 73) 的数 x。

a = 59n = 73

59⁻¹ mod 73 =

8.数论与模运算困难

某个 RSA 密钥使用素数 p = 11 和 q = 23，公钥指数 e = 13。求私钥指数 d（0 < d < φ(n)）。

p = 11q = 23e = 13

d =

9.算法与复杂度中等

一个函数先运行一个 n 次迭代的循环，然后再单独运行另一个 n 次迭代的循环。它的时间复杂度是多少？

AO(2ⁿ)
BO(n)
CO(n²)
DO(log n)

10.算法与复杂度困难

关于 log(n!)，哪个界是正确的？

AΘ(n²)
BΘ(n)
CΘ(log n)
DΘ(n log n)

11.数据结构中等

字典树（Trie，前缀树）特别适合用于：

A求最短路径
B对数字排序
C存储矩阵
D自动补全等前缀查找

12.数据结构困难

哪条性质使每棵 B 树都保持完全平衡？

A所有叶子都位于同一深度
B键只存储在根中
C每个节点恰好有两个子节点
D每个节点只存储一个键

13.图论中等

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 7|E| = 12

1欧拉回路
2有欧拉通路，无回路
3都不是

14.图论困难

求带权图的最小生成树的总权重 W。

|V| = 5|E| = 7

W =

15.数据库与 SQL中等

第三范式（3NF）消除了：

A复合键
B建立在不属于任何键的列上的冗余索引
C非键属性之间的传递依赖
D原子值

16.数据库与 SQL困难

EXPLAIN（或 PostgreSQL 中的 EXPLAIN ANALYZE）对一个查询显示什么？

A运行过该查询的用户列表
B查询中每个 SQL 关键字的含义
C优化器选择的执行计划，例如扫描方式和连接方法
D仅以关系代数表示法改写的查询

17.计算机网络中等

浏览器收到 HTTP 状态码 404。这是什么意思？

A服务器发生内部错误
B找不到所请求的资源
C请求成功
D客户端必须先登录

18.计算机网络困难

局域网上的攻击者发送伪造的 ARP 应答，声称自己拥有网关的 IP 地址。可能的结果是什么？

A整个互联网上的所有 DNS 查询都失败
B交换机关闭其所有端口
C受害者把发给网关的流量发给攻击者，使中间人攻击成为可能
D网关的 IP 地址在每台路由器上都被永久更改为攻击者的地址

19.IPv4 子网划分中等

网络 10.138.81.0/24 被划分为前缀为 /28 的等大子网。共有多少个子网 N？

10.138.81.0/24/28

N =

20.IPv4 子网划分困难

某主机地址为 10.20.244.147/29。其网络地址的第四个八位组 x 是多少？

10.20.244.147/29

x =

3溶液

1.数制

答案: U = 173

设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。

取反加一

83 = 0101 0011

取反后: 1010 1100

+1 → 1010 1101

按无符号数读取

1010 1101₂ = 256 − 83 = 173

答案

U = 173

2.数制

答案: R = 187

逐位计算

XOR 在两位不同时得 1。

1111 0011

XOR 0100 1000

= 1011 1011

结果的值

1011 1011₂ = 187

答案

R = 187

3.命题逻辑与证明

答案: (c ∨ a) ∧ (c ∨ b)

逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

定律

∨ 对 ∧ 有分配律：a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

c ∨ (a ∧ b) ≡ (c ∨ a) ∧ (c ∨ b)

用真值表检验

a = 1, b = 1, c = 1: 1 | 1 1 1 1

a = 1, b = 1, c = 0: 1 | 0 1 1 0

a = 1, b = 0, c = 1: 1 | 1 1 0 1

a = 1, b = 0, c = 0: 0 | 0 0 0 0

a = 0, b = 1, c = 1: 1 | 1 1 1 1

a = 0, b = 1, c = 0: 0 | 0 0 0 0

a = 0, b = 0, c = 1: 1 | 0 1 0 0

a = 0, b = 0, c = 0: 0 | 0 0 0 0

答案

(c ∨ a) ∧ (c ∨ b)

竖线之后的各列是按所示顺序排列的各个选项。

4.命题逻辑与证明

答案: N = 9

真值表：含 n 个不同变量的公式有 2ⁿ 行，每一行对应真值的一种组合（1 = 真，0 = 假）。由内向外进行，给每个子公式单独一列。¬a 把值取反；a ∧ b 只有在两者都为 1 时才为 1；a ∨ b 只有在两者都为 0 时才为 0；a → b 只有在 a = 1 且 b = 0 时才为 0；a ↔ b 在两边相等时为 1。

各列

s ↔ q; r ∨ (s ↔ q); q → r; p → s; (q → r) → (p → s); ¬((q → r) → (p → s)); (r ∨ (s ↔ q)) ↔ ¬((q → r) → (p → s)); ¬((r ∨ (s ↔ q)) ↔ ¬((q → r) → (p → s)))

按 p 拆分

p = 1: 3

p = 0: 6

N = 3 + 6 = 9

答案

N = 9

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 2

多路选择器：2ⁿ 选 1 多路选择器把其数据输入之一传到输出；选择线按二进制数读取，决定选哪一个。对于选择端 S₁S₀ = AB 的 4 选 1 MUX，F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃。把数据输入接到 0、1、C 或 C′，可使 MUX 产生 A、B、C 的任意函数，这是用一块芯片实现逻辑的常用方法。

输出表达式

F = A′B′C + ABC′

F = 1 的行

ABC = 001, 110

N = 2

答案

N = 2

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 3

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

质蕴涵项

由 1 和 X 能够构成的最大的圈。

BC′D′, A′D′, A′C, ABC′

最小覆盖

F = A′D′ + A′C + ABC′

N = 3

答案

N = 3

7.数论与模运算

答案: 59⁻¹ mod 73 = 26

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

扩展欧几里得算法

每个余数 r 都写成 r ≡ t·59 (mod 73)。

r = 73, t = 0

r = 59, q = 1, t = 1

r = 14, q = 4, t = −1

r = 3, q = 4, t = 5

r = 2, q = 1, t = −21

r = 1, q = 2, t = 26

逆矩阵

1 ≡ 26·59 (mod 73)

x = 26

校核: 59·26 = 1534 = 21·73 + 1

答案

59⁻¹ mod 73 = 26

8.数论与模运算

答案: d = 17

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

模数与欧拉函数值

n = 11·23 = 253

φ(n) = 10·22 = 220

扩展欧几里得算法

r = 220, t = 0

r = 13, q = 16, t = 1

r = 12, q = 1, t = −16

r = 1, q = 12, t = 17

私钥指数

d = 17

度

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

奇度顶点

欧拉回路

答案

欧拉回路

14.图论

答案: W = 42

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

CE (1): 取

BD (11): 取

BC (12): 取

C · 受害者把发给网关的流量发给攻击者，使中间人攻击成为可能

19.IPv4 子网划分

答案: N = 16

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

借用位

28 − 24 = 4

子网数

N = 2⁴ = 16

答案

N = 16

每个 /28 子网有 2⁴ − 2 = 14 个可用主机。

20.IPv4 子网划分

答案: x = 144

IPv4 子网划分：一个地址有 32 位。前缀 /p 表示前面多少位标识网络；其余 32 − p 位为主机编号。一个子网有 2³²⁻ᵖ 个地址，但第一个（网络地址）和最后一个（广播地址）不能分配给主机，所以可容纳 2³²⁻ᵖ − 2 台主机。例外：/31（点对点链路，RFC 3021）的 2 个地址都用于主机，/32 只有一个地址（单个主机或环回地址）。

块大小

2³ = 8

该主机所在子网

网络: ⌊147/8⌋·8 = 144

广播: 144 + 8 − 1 = 151

可用主机: 145 … 150

答案

x = 144

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