计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权: 二进制 2^k，八进制 8^k，十六进制 16^k
转为十进制: Σ d_k·b^k
从十进制转换: 除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制: 一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码: 按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数: 2ⁿ
蕴涵: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小: 256 − (mask octet)
网络地址: IP AND 掩码
广播地址: IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数: 2ⁿ

2练习题

1.数制中等

设置各位，使其以 8 位补码存储 −6。按无符号数读取，该位模式的值 U 是多少？

N = −68 bit

U =

2.数制困难

12 位补码能存储的最小（最负）整数 N 是多少？

12 bit

N =

3.命题逻辑与证明中等

哪个公式与 a → b 在逻辑上等价？点选它。

a → b

1¬b ∧ ¬a
2b → a
3¬b → ¬a
4¬a → ¬b

4.命题逻辑与证明困难

把否定完全移到内部之后，哪个命题与 ¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x)) 等价？点选它。

¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x))

1∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
2∃x ∃y (¬R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
3∃x ∃y (R(x, y) → ¬R(y, x))
4∀x ∀y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

用卡诺图求 F(A, B, C) = Σm(0, 2, 4, 5, 6, 7) 的最简积之和 (SOP) 形式。它总共包含多少个文字 L（带撇的变量算一个文字）？

F(A, B, C) = Σm(0, 2, 4, 5, 6, 7)

L =

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

一个上升沿触发的 T 触发器从 Q = 0 开始，在 8 个时钟上升沿接收到所示的输入。Q 改变状态的次数 N 是多少？

Q₀ = 0T

N =

7.数论与模运算中等

求欧拉函数 φ(289)，即 1 到 289 中与 289 互素的整数个数。

n = 289 = 17²

φ(289) =

8.数论与模运算困难

用反复平方法求 37¹⁴⁹ mod 61。

a = 37k = 149n = 61

37¹⁴⁹ mod 61 =

9.算法与复杂度中等

一个问题具有最优子结构是什么意思？

A该问题恰好有一个最优解，所有子问题共享这个解
B每个子问题的规模都相同
C该问题可以在常数时间内求解
D最优解可以由其子问题的最优解构造出来

10.算法与复杂度困难

为什么哈希表的平均查找时间是 O(1)，而最坏情况是 O(n)？

A许多键可能冲突（collision）到同一个桶中
B数组的访问时间是 O(n)
C哈希函数运行很慢
D键必须先排序

11.数据结构中等

在二叉最小堆中，extract-min 是如何工作的？

A把最后一个元素移到根上，再将其下沉
B删除根，并把所有元素左移一位
C删除数组的最后一个元素
D在所有叶子中查找新的最小值

12.数据结构困难

红黑树的规则对含 n 个键的树的高度给出了什么保证？

A高度恰好为 log₂ n
B高度至多为 n / 2
C高度至多为 log₂ n + 1
D高度至多为 2 log₂(n + 1)

13.图论中等

完全图 K₄ 有多少条不同的哈密顿回路 H？只是起点或方向不同的回路算作同一条。

K₄

H =

14.图论困难

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F

d(F) =

15.数据库与 SQL中等

哪个 ACID 特性意味着并发事务看不到彼此尚未完成的更改？

A原子性
B可用性
C隔离性
D持久性

16.数据库与 SQL困难

两个事务都读到 stock = 10，各自减 1 后写回结果，最终得到 9 而不是 8。这是哪种异常？

A幻读
B脏读
C丢失更新
D删除异常

17.计算机网络中等

ARP 的作用是什么？

A在互联网上路由数据包
B当主机加入本地网络时自动为其分配 IP 地址
C在本地网络中查找某个 IP 地址对应的 MAC 地址
D解析域名

18.计算机网络困难

基于 TCP 的 HTTP/2 出现队头阻塞（head-of-line blocking）的原因是：

A每个请求都需要自己新的 TCP 连接，因此后面的请求要排队等待
B服务器无法处理并行请求
CHTTP/2 使用 UDP
D一个丢失的 TCP 报文段会使所有多路复用的流延迟，直到该报文段被重传

19.IPv4 子网划分中等

网络 192.168.10.0/24 需要划分为至少 12 个相等的子网。若借用尽可能少的位，每个子网有多少可用主机 H？

192.168.10.0/2412 subnets

H =

20.IPv4 子网划分困难

某主机地址为 10.20.200.86/30。其子网中最后一个可用主机地址的第四个八位组 x 是多少？

10.20.200.86/30

x =

3溶液

1.数制

答案: U = 250

设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。

取反加一

6 = 0000 0110

取反后: 1111 1001

+1 → 1111 1010

按无符号数读取

1111 1010₂ = 256 − 6 = 250

答案

U = 250

2.数制

答案: N = −2048

位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。

最负值

−2¹¹ = −2048

答案

N = −2048

3.命题逻辑与证明

答案: ¬b → ¬a

逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

定律

蕴涵与它的逆否命题 ¬b → ¬a 等价，而与它的逆命题 b → a 或否命题 ¬a → ¬b 不等价。

a → b ≡ ¬b → ¬a

用真值表检验

a = 1, b = 1: 1 | 0 1 1 1

a = 1, b = 0: 0 | 0 1 0 1

a = 0, b = 1: 1 | 0 0 1 0

a = 0, b = 0: 1 | 1 1 1 1

答案

¬b → ¬a

竖线之后的各列是按所示顺序排列的各个选项。

4.命题逻辑与证明

答案: ∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

把否定移到内部

¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x)) ≡ ∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

答案

∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

其他选项要么保持某个量词不变，要么改变了量词的顺序，要么错误地否定了内部的公式。

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: L = 2

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

圈 1

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

C′

最简 SOP 形式

F = C′ + A

L = 2

答案

L = 2

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 5

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 f_clk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

每个边沿之后的 Q

T 触发器在 T = 1 时每个上升沿翻转，在 T = 0 时保持。

1: T = 1 → Q = 1

2: T = 0 → Q = 1

3: T = 1 → Q = 0

4: T = 0 → Q = 0

5: T = 1 → Q = 1

6: T = 1 → Q = 0

7: T = 0 → Q = 0

8: T = 1 → Q = 1

数出变化的次数

0 → 1 → 1 → 0 → 0 → 1 → 0 → 0 → 1

N = 5

答案

N = 5

7.数论与模运算

答案: φ(289) = 272

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

素因数

289 = 17²

欧拉函数值

φ(289) = 289 − 17 = 272

答案

φ(289) = 272

8.数论与模运算

答案: 37¹⁴⁹ mod 61 = 28

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

二进制指数

149 = 10010101₂ = 128 + 16 + 4 + 1

反复平方

37¹ ≡ 37 (mod 61)

37² ≡ 27 (mod 61)

37⁴ ≡ 58 (mod 61)

37⁸ ≡ 9 (mod 61)

37¹⁶ ≡ 20 (mod 61)

D · 高度至多为 2 log₂(n + 1)

13.图论

答案: H = 3

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；K_n 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

计数

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

答案

H = 3

14.图论

答案: d(F) = 17

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 1, C: 9

B (1): D: 16, E: 16

C (9)

D (16)

E (16): F: 17

F (17)

最短路径

A → B → E → F

借用的位数

2⁴ = 16 ≥ 12 → b = 4, /28

每个子网的主机数

2⁴ − 2 = 14

答案

H = 14

20.IPv4 子网划分

答案: x = 86

块大小

2² = 4

该主机所在子网

网络: ⌊86/4⌋·4 = 84

广播: 84 + 4 − 1 = 87

可用主机: 85 … 86

答案

x = 86

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