计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权
二进制 2k，八进制 8k，十六进制 16k
转为十进制
Σ dk·bk
从十进制转换
除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制
一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码
按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数
2ⁿ
蕴涵
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

  1. 数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
  2. 给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
  3. 按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
  4. 判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
  5. 否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序
00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈
消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
触发器
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器
n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
行波计数器
fmax = 1/(n·tpd)
环形计数器与约翰逊计数器
n 个和 2n 个状态

方法

  1. 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
  2. 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
  3. 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
  4. 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

  1. 先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
  2. 求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
  3. 求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
  4. 解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
  5. 求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数
2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小
256 − (mask octet)
网络地址
IP AND 掩码
广播地址
IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数
2n

2练习题

1.数制中等
8 位补码0−12806403201608040201

设置各位，使其以 8 位补码存储 −83。按无符号数读取，该位模式的值 U 是多少？

N = −838 bit
U =
2.数制困难
点击各位来设置012806403201608040201

把各位设置为 0010 1001 << 2 的 8 位结果。该结果的十进制值 R 是多少？

0010 1001<< 2
R =
3.命题逻辑与证明中等
q ∧ (r ∨ p)(q ∨ r) ∧ (q ∨ p)(q ∧ r) ∨ (q ∧ p)(q ∨ r) ∧ p

哪个公式与 q ∨ (r ∧ p) 在逻辑上等价？点选它。

q ∨ (r ∧ p)
  1. 1q ∧ (r ∨ p)
  2. 2(q ∨ r) ∧ (q ∨ p)
  3. 3(q ∧ r) ∨ (q ∧ p)
  4. 4(q ∨ r) ∧ p
4.命题逻辑与证明困难
∀x P(x)∃x ¬P(x)∀x ¬P(x)∃x P(x)

把否定完全移到内部之后，哪个命题与 ¬∀x P(x) 等价？点选它。

¬∀x P(x)
  1. 1∀x P(x)
  2. 2∃x ¬P(x)
  3. 3∀x ¬P(x)
  4. 4∃x P(x)
5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
ABCD000111100001111000110312041507160120131150141819011110

用卡诺图求 F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 5, 6, 8, 9, 10, 15) 的最简和之积 (POS) 形式。它有多少个和项（因子）N？

F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 5, 6, 8, 9, 10, 15)
N =
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
ABCD00011110000111101011X312X4150706X120130150141809011010

求 F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 5, 8) + d(3, 4, 12) 的最简 SOP 形式，其中 d 表示无关项。它有多少个乘积项 N？

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 5, 8) + d(3, 4, 12)
N =
7.数论与模运算中等

求欧拉函数 φ(507)，即 1 到 507 中与 507 互素的整数个数。

n = 507 = 3·132
φ(507) =
8.数论与模运算困难
12c = me​ mod n?m = cd​ mod nm(n, e) = (391, 17)d

用 RSA 公钥 (n, e) = (391, 17) 加密消息 m = 12。求密文 c。

n = 391e = 17m = 12
c =
9.算法与复杂度中等

对 n 个 k 进制、d 位的整数进行 LSD 基数排序（radix sort），运行时间是多少？

  1. AO(n²)
  2. BO(d(n + k))
  3. CO(dn log k)
  4. DO(n log n)
10.算法与复杂度困难

停机问题（halting problem）表明：

  1. A应当避免使用循环
  2. B不存在一种算法能对所有程序和输入判定其是否会停机
  3. C每个程序最终都会停机
  4. D有些程序在更快的计算机上运行得更快，所以是否停机取决于硬件
11.数据结构中等

在字母表固定的字典树中查找一个长度为 L 的单词需要多长时间？

  1. AO(L × n)
  2. BO(n)，其中 n 是单词个数
  3. CO(L)，与存储了多少个单词无关
  4. DO(log n)，其中 n 是单词个数
12.数据结构困难

一个 AVL 节点失衡，原因是其左子节点的右子树变得过高（左右情况）。应采用哪种修正？

  1. A先在左子节点处左旋，再在该节点处右旋
  2. B在该节点处进行一次右旋
  3. C先在左子节点处右旋，再在该节点处左旋
  4. D在该节点处进行一次左旋
13.图论中等

完全图 K5 有多少条不同的哈密顿回路 H？只是起点或方向不同的回路算作同一条。

K5
H =
14.图论困难
151221511041ABCDEF

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F
d(F) =
15.数据库与 SQL中等

学生可以选修多门课程，课程也有多名学生。在表中如何对此建模？

  1. A把课程 id 列表存储在一列中
  2. B用一个联结表，其中保存指向 students 和 courses 的外键
  3. C把 students 和 courses 合并成一个表
  4. D在 students 表中加一个指向 courses 的外键列 course_id
16.数据库与 SQL困难

给定 R(A, B, C, D) 上的函数依赖 A → B、B → C 和 C → D，闭包 A+ 是什么？

  1. A{A, B, C}
  2. B{A}
  3. C{A, B, C, D}
  4. D{A, B}
17.计算机网络中等

TLS 通常如何使用非对称加密和对称加密？

  1. A全程只使用非对称加密
  2. B非对称方法用于协商密钥和认证；对称密码用于加密数据
  3. C只使用对称加密，配合一个固定的共享密码
  4. D对称方法用于协商密钥和认证；非对称密码用于加密全部数据
18.计算机网络困难

根据奈奎斯特公式，使用 4 个信号电平的无噪声 3 kHz 信道的最大比特率是多少？

  1. A24 kbit/s
  2. B6 kbit/s
  3. C3 kbit/s
  4. D12 kbit/s
19.IPv4 子网划分中等
/16 → /2411111111111111111111111100000000网络位主机位

网络 172.19.0.0/16 被划分为前缀为 /24 的等大子网。共有多少个子网 N？

172.19.0.0/16/24
N =
20.IPv4 子网划分困难
第三个八位组 209 … 210112816403211608040211相同不同

一台路由器有到以下网络的路由：10.41.209.0/24, 10.41.210.0/24。能覆盖所有这些网络的单条汇总路由，其最长前缀长度 p 是多少？

10.41.209.0/24 … 10.41.210.0/24
p =

3溶液

1.数制

答案: U = 173

设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。

取反加一

83 = 0101 0011
取反后: 1010 1100
+1 → 1010 1101

按无符号数读取

1010 1101₂ = 256 − 83 = 173

答案

U = 173
2.数制

答案: R = 164

设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。

逐位计算

左移 2 位，把每一位向左移动 2 个位置；从左端移出的位丢失，右侧补入 0。

0010 1001 << 2
= 1010 0100

结果的值

1010 0100₂ = 164

答案

R = 164
3.命题逻辑与证明

答案: (q ∨ r) ∧ (q ∨ p)

逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

定律

∨ 对 ∧ 有分配律：a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。
q ∨ (r ∧ p) ≡ (q ∨ r) ∧ (q ∨ p)

用真值表检验

p = 1, q = 1, r = 1: 1 | 1 1 1 1
p = 1, q = 1, r = 0: 1 | 1 1 1 1
p = 1, q = 0, r = 1: 1 | 0 1 0 1
p = 1, q = 0, r = 0: 0 | 0 0 0 0
p = 0, q = 1, r = 1: 1 | 1 1 1 0
p = 0, q = 1, r = 0: 1 | 0 1 0 0
p = 0, q = 0, r = 1: 0 | 0 0 0 0
p = 0, q = 0, r = 0: 0 | 0 0 0 0

答案

(q ∨ r) ∧ (q ∨ p)

竖线之后的各列是按所示顺序排列的各个选项。

4.命题逻辑与证明

答案: ∃x ¬P(x)

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

把否定移到内部

¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)

答案

∃x ¬P(x)

其他选项要么保持某个量词不变，要么改变了量词的顺序，要么错误地否定了内部的公式。

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 5

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

ABCD000111100001111000110312041507160120131150141819011110

圈 0

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

(B + C′ + D′)
(A + C + D)
(A + C′ + D′)
(A′ + B′ + D)
(A′ + B′ + C)

最简 POS 形式

F = (B + C′ + D′)(A + C + D)(A + C′ + D′)(A′ + B′ + D)(A′ + B′ + C)
N = 5

答案

N = 5
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 3

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

质蕴涵项

由 1 和 X 能够构成的最大的圈。

C′D′, A′C′, A′B′
ABCD00011110000111101011X312X4150706X120130150141809011010

最小覆盖

F = C′D′ + A′C′ + A′B′
N = 3

答案

N = 3
7.数论与模运算

答案: φ(507) = 312

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

素因数

507 = 3·132

欧拉函数值

φ(507) = φ(169)·φ(3) = 156·2 = 312

答案

φ(507) = 312
8.数论与模运算

答案: c = 216

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

反复平方

17 = 16 + 1
121 ≡ 12 (mod 391)
122 ≡ 144 (mod 391)
124 ≡ 13 (mod 391)
128 ≡ 169 (mod 391)
1216 ≡ 18 (mod 391)
1217 ≡ 12·18 ≡ 216 (mod 391)

密文

c = 216

答案

c = 216
9.算法与复杂度

答案: B · O(d(n + k))

为什么是这个答案

d 趟中的每一趟都是代价为 O(n + k) 的计数排序，因此当 d 和 k 固定时，总时间关于 n 是线性的。

答案

B · O(d(n + k))
10.算法与复杂度

答案: B · 不存在一种算法能对所有程序和输入判定其是否会停机

为什么是这个答案

Turing 证明了停机问题是不可判定的（undecidable）：假设存在判定器，就会与一个做相反行为的程序产生矛盾。

答案

B · 不存在一种算法能对所有程序和输入判定其是否会停机
11.数据结构

答案: C · O(L)，与存储了多少个单词无关

为什么是这个答案

每个字符选择一个子节点，因此无论字典树中有多少单词，一次查找都只需 L 步。

答案

C · O(L)，与存储了多少个单词无关
12.数据结构

答案: A · 先在左子节点处左旋，再在该节点处右旋

为什么是这个答案

第一次旋转把左右情况转换为左左情况，然后在失衡节点处右旋即可修正。

答案

A · 先在左子节点处左旋，再在该节点处右旋
13.图论

答案: H = 12

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

计数

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

答案

H = 12
14.图论

答案: d(F) = 20

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 15
B (15): C: 27, D: 17, E: 16
E (16): F: 20
D (17)
F (20)
C (27)

最短路径

A → B → E → F
d(F) = 20

答案

d(F) = 20
15.数据库与 SQL

答案: B · 用一个联结表，其中保存指向 students 和 courses 的外键

为什么是这个答案

多对多联系需要一个关联（联结）表，例如 enrolment(student_id, course_id)，通常使用复合主键。

答案

B · 用一个联结表，其中保存指向 students 和 courses 的外键
16.数据库与 SQL

答案: C · {A, B, C, D}

为什么是这个答案

从 A 开始，加入 B（A → B），再加入 C（B → C），然后加入 D（C → D）；由于 A+ 包含所有属性，A 是一个键。

答案

C · {A, B, C, D}
17.计算机网络

答案: B · 非对称方法用于协商密钥和认证；对称密码用于加密数据

为什么是这个答案

公钥方法和证书用于建立共享密钥并证明身份。随后由 AES 等快速对称密码保护大量数据。

答案

B · 非对称方法用于协商密钥和认证；对称密码用于加密数据
18.计算机网络

答案: D · 12 kbit/s

为什么是这个答案

2 × 3000 × log₂ 4 = 2 × 3000 × 2 = 12,000 bit/s。更多的电平能提高速率，但噪声限制了可以区分的电平数。

答案

D · 12 kbit/s
19.IPv4 子网划分

答案: N = 256

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

借用位

24 − 16 = 8

子网数

N = 28 = 256

答案

N = 256

每个 /24 子网有 28 − 2 = 254 个可用主机。

20.IPv4 子网划分

答案: p = 22

路由汇总：汇总路由 a.b.c.0/p 覆盖前 p 位相同的所有网络。把第一个和最后一个网络中不同的那个八位组写成二进制；相同的前导位数加上它前面各八位组的位数，就是最长的汇总前缀。

比较各位

209 = 11010001
210 = 11010010
相同的前导位：6

前缀长度

p = 16 + 6 = 22

答案

p = /22

汇总路由：10.41.208.0/22 （它还覆盖了列表中没有的 2 个网络）。

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