数制
- 位权
- 二进制 2k，八进制 8k，十六进制 16k
- 转为十进制
- Σ dk·bk
- 从十进制转换
- 除以基数，余数从下往上读
- 十六进制 ↔ 二进制
- 一位十六进制数 = 4 位二进制
- 二进制补码
- 按位取反后加 1
计算机科学导论：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
命题逻辑与证明
- 真值表的行数
- 2ⁿ
- 蕴涵
- p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
- 蕴涵的否定
- ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
- 双条件
- p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
- 德摩根律
- ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
- 分配律
- p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
- 量词的否定
- ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
- 肯定前件，否定后件
- p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p
方法
- 数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
- 给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
- 按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
- 判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
- 否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。
数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
- 基本逻辑门
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- 布尔规则
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- 德摩根律
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- 卡诺图的顺序
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- 由 2ᵏ 个格子组成的圈
- 消去 k 个变量
- 4 选 1 多路选择器
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- 触发器
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- 计数器
- n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
- 行波计数器
- fmax = 1/(n·tpd)
- 环形计数器与约翰逊计数器
- n 个和 2n 个状态
方法
- 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
- 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
- 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
- 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。
数论与模运算
- 带余除法
- a = q·n + r, 0 ≤ r < n
- 欧几里得
- gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
- 最小公倍数
- lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
- 逆矩阵
- a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
- 线性同余方程
- a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
- 欧拉函数
- φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
- 费马
- aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
- RSA
- n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
方法
- 先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
- 求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
- 求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
- 解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
- 求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。
图论
- 握手引理
- Σ deg(v) = 2|E|
- 完全图
- |E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
- 正则图
- |E| = n·k/2
- 树与森林
- |E| = n − 1, |E| = n − c
- 树的叶子
- L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
- 欧拉
- 回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
- Kn 中的哈密顿回路
- (n − 1)!/2
- 迪杰斯特拉更新
- d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
- 长度为 L 的途径
- (Mᴸ)ij
方法
- 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
- 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
- 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
- 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
- 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。
IPv4 子网划分
- 每个子网的主机数
- 2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
- 块大小
- 256 − (mask octet)
- 网络地址
- IP AND 掩码
- 广播地址
- IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
- 借用 n 位得到的子网数
- 2n
2练习题
1.数制中等
把 −103 写成 8 位补码模式。再把该模式当作无符号二进制数读出：它的十进制值 U 是多少？
N = −1038 bit
U =
2.数制困难
把各位设置为 1001 0101 AND 1100 0011 的 8 位结果。该结果的十进制值 R 是多少？
1001 0101AND1100 0011
R =
3.命题逻辑与证明中等
哪个公式与 q → p 在逻辑上等价？点选它。
q → p
- 1¬q → ¬p
- 2¬q ∨ p
- 3p → q
- 4¬q ∧ p
4.命题逻辑与证明困难
已知前提 q → r; q。由它们可以推出哪个结论？点选它。
q → rq
- 1r
- 2q ∧ ¬r
- 3¬r
- 4¬q
5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
把 F = A′B + BC′ + A′B′C 化简为最简积之和形式。化简后的表达式包含多少个文字 L？
F = A′B + BC′ + A′B′C
L =
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
模 13 计数器由最少个数的触发器构成。可能的状态中有多少个 U 从未被用到？
N = 13
U =
7.数论与模运算中等
求满足 x ≡ 4 (mod 6) 和 x ≡ 5 (mod 11) 的最小正整数 x。
x ≡ 4 (mod 6)x ≡ 5 (mod 11)
x =
8.数论与模运算困难
在 {0, 1, …, 81} 中，34x ≡ 30 (mod 82) 有多少个解 N？
34x ≡ 30 (mod 82)
N =
9.算法与复杂度中等
在边权非负的图中，哪种算法用于求单源最短路径？
- AKruskal 算法
- BDijkstra 算法
- C深度优先搜索（DFS）
- D任何情况下都必须使用 Bellman–Ford
10.算法与复杂度困难
Bellman–Ford 算法如何检测从源点可达的负权环？
- A它运行两次 Dijkstra 算法，并比较两次的距离结果
- B检查是否有边的权重为负
- C在 V − 1 轮之后，检查是否还有边可以被松弛
- D用深度优先搜索统计环的数量
11.数据结构中等
一棵二叉树的根为 1，左子节点为 2，右子节点为 3；节点 2 的子节点为 4（左）和 5（右）。后序遍历的结果是什么？
- A4 5 2 3 1
- B5 4 3 2 1
- C4 2 5 1 3
- D1 2 4 5 3
12.数据结构困难
建立在 n 个数的数组上的树状数组（Fenwick tree，binary indexed tree）以 O(log n) 支持哪些操作？
- A前缀和查询和单个元素更新
- B对数组排序和二分查找
- C在任意位置插入元素
- D以 O(1) 求中位数
13.图论中等
这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。
|V| = 6|E| = 6
- 1欧拉回路
- 2有欧拉通路，无回路
- 3都不是
14.图论困难
用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。
起点：A终点：F
d(F) =
15.数据库与 SQL中等
在两个 SELECT 查询之间使用 INTERSECT 时返回什么？
- A同时出现在两个结果中的行
- B在第一个结果中但不在第二个中的行
- C两个结果的笛卡尔积
- D两个结果中的所有行
16.数据库与 SQL困难
EXPLAIN（或 PostgreSQL 中的 EXPLAIN ANALYZE）对一个查询显示什么？
- A优化器选择的执行计划，例如扫描方式和连接方法
- B运行过该查询的用户列表
- C仅以关系代数表示法改写的查询
- D查询中每个 SQL 关键字的含义
17.计算机网络中等
传统的共享式（半双工）以太网使用哪种介质访问方法？
- ACSMA/CD
- BTDMA
- C令牌传递
- DCSMA/CA
18.计算机网络困难
HTTP/1.1 中持久连接（keep-alive）的主要好处是什么？
- A响应可以在一个流上以任意顺序到达，因此慢的回复不会阻塞其他回复
- B服务器可以通过 UDP 推送更新
- C连接无需 TLS 也能保持加密
- D多个请求复用一个 TCP 连接，避免重复握手
19.IPv4 子网划分中等
一个子网使用掩码 255.255.255.192。它有多少个可用主机地址 H？
255.255.255.192
H =
20.IPv4 子网划分困难
某主机地址为 10.20.47.40/29。其子网广播地址的最后一个数（第四个八位组）x 是多少？
10.20.47.40/29
x =
3溶液
1.数制
答案: U = 153
位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。
取反加一
103 = 0110 0111
取反后: 1001 1000
+1 → 1001 1001
按无符号数读取
1001 1001₂ = 256 − 103 = 153
答案
U = 153
2.数制
答案: R = 129
设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。
逐位计算
AND 只有在两位都为 1 时才得 1。
1001 0101
AND 1100 0011
= 1000 0001
结果的值
1000 0001₂ = 129
答案
R = 129
3.命题逻辑与证明
答案: ¬q ∨ p
逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。
定律
a → b 只有在 a = 1 且 b = 0 时才为 0，所以它与 ¬a ∨ b 相同。
q → p ≡ ¬q ∨ p
用真值表检验
p = 1, q = 1: 1 | 1 1 1 0
p = 1, q = 0: 1 | 0 1 0 1
p = 0, q = 1: 0 | 1 0 1 0
p = 0, q = 0: 1 | 1 1 1 0
答案
¬q ∨ p
竖线之后的各列是按所示顺序排列的各个选项。
4.命题逻辑与证明
答案: r
量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。
所有前提都为真的行
q = 1, r = 1: r = 1, q ∧ ¬r = 0, ¬r = 0, ¬q = 0
结论
r (肯定前件式)
答案
r
5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
答案: L = 4
布尔代数：化简表达式的规则有 X + X′ = 1 和 X·X′ = 0、X + X = X、吸收律 X + X·Y = X、合并律 X·Y + X·Y′ = X、X + X′Y = X + Y，以及一致性定理 XY + X′Z + YZ = XY + X′Z。德摩根律把 (X·Y)′ 变成 X′ + Y′，把 (X + Y)′ 变成 X′·Y′。卡诺图以图形方式应用这些规则：每个由两个相邻格子组成的圈，就是一次使用 XY + XY′ = X。
表达式的最小项
A′B → m(2, 3)
BC′ → m(2, 6)
A′B′C → m(1)
圈组并读出结果
F = BC′ + A′C
数出文字个数
L = 4
答案
L = 4
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
答案: U = 3
触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 fclk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。
触发器的个数
2ⁿ ≥ 13 → n = 4 (2⁴ = 16)
未使用的状态
U = 16 − 13 = 3
答案
U = 3
7.数论与模运算
答案: x = 16
逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。
第一个同余式
x = 4 + 6k
第二个同余式
4 + 6k ≡ 5 (mod 11) → 6k ≡ 1 (mod 11)
k ≡ 2·1 ≡ 2 (mod 11)
结果
x = 4 + 6·2 = 16
x = 16
校核: 16 mod 6 = 4, 16 mod 11 = 5
答案
x = 16
8.数论与模运算
答案: N = 2
逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。
除以最大公约数
gcd(34, 82) = 2
17x ≡ 15 (mod 41)
解化简后的同余式
17−1 ≡ 29 (mod 41) → x ≡ 25 (mod 41)
模 82 下的解
x ∈ {25, 66}
N = 2
答案
N = 2
9.算法与复杂度
答案: B · Dijkstra 算法
为什么是这个答案
Dijkstra 算法适用于非负权重；Bellman–Ford 能处理负权重；Kruskal 用于构建最小生成树。
答案
B · Dijkstra 算法
10.算法与复杂度
答案: C · 在 V − 1 轮之后，检查是否还有边可以被松弛
为什么是这个答案
所有真正的最短距离都会在 V − 1 轮内求出；如果某条边仍能改进，就必然存在负权环。
答案
C · 在 V − 1 轮之后，检查是否还有边可以被松弛
11.数据结构
答案: A · 4 5 2 3 1
为什么是这个答案
后序遍历先处理 4 和 5，再处理 2，然后是 3，最后是根 1。
答案
A · 4 5 2 3 1
12.数据结构
答案: A · 前缀和查询和单个元素更新
为什么是这个答案
树状数组存储由每个下标的低位所确定区间上的部分和，因此前缀和与单点更新都只需 O(log n)。
答案
A · 前缀和查询和单个元素更新
13.图论
答案: 都不是
欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。
度
deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 1
奇度顶点
A, C, E, F → 4
都不是
答案
都不是
14.图论
答案: d(F) = 13
最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。
迪杰斯特拉算法逐轮过程
每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。
A (0): B: 9, C: 5
C (5): E: 8
E (8): F: 16
B (9): D: 12
D (12): F: 13
F (13)
最短路径
A → B → D → F
d(F) = 13
答案
d(F) = 13
15.数据库与 SQL
答案: A · 同时出现在两个结果中的行
为什么是这个答案
INTERSECT 只保留两个查询中都存在的行，并且与 UNION 一样，默认会去除重复。
答案
A · 同时出现在两个结果中的行
16.数据库与 SQL
答案: A · 优化器选择的执行计划，例如扫描方式和连接方法
为什么是这个答案
EXPLAIN 显示执行计划（索引扫描或顺序扫描、连接算法、估计代价）；EXPLAIN ANALYZE 还会实际运行查询并报告实际耗时。
答案
A · 优化器选择的执行计划，例如扫描方式和连接方法
17.计算机网络
答案: A · CSMA/CD
为什么是这个答案
载波侦听多路访问/冲突检测：站点检测到冲突时停止发送，并在随机退避后重试。全双工交换式以太网没有冲突。
答案
A · CSMA/CD
18.计算机网络
答案: D · 多个请求复用一个 TCP 连接，避免重复握手
为什么是这个答案
复用连接避免了为每个对象进行新的握手和慢启动，因此包含许多资源的页面加载得更快。
答案
D · 多个请求复用一个 TCP 连接，避免重复握手
19.IPv4 子网划分
答案: H = 62
IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).
前缀长度
255.255.255.192 = /26
可用主机数
26 − 2 = 62
答案
H = 62
20.IPv4 子网划分
答案: x = 47
IPv4 子网划分：一个地址有 32 位。前缀 /p 表示前面多少位标识网络；其余 32 − p 位为主机编号。一个子网有 2³²⁻ᵖ 个地址，但第一个（网络地址）和最后一个（广播地址）不能分配给主机，所以可容纳 2³²⁻ᵖ − 2 台主机。 例外：/31（点对点链路，RFC 3021）的 2 个地址都用于主机，/32 只有一个地址（单个主机或环回地址）。
块大小
23 = 8
该主机所在子网
网络: ⌊40/8⌋·8 = 40
广播: 40 + 8 − 1 = 47
可用主机: 41 … 46
答案
x = 47
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