计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

数制

位权: 二进制 2^k，八进制 8^k，十六进制 16^k
转为十进制: Σ d_k·b^k
从十进制转换: 除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制: 一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码: 按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数: 2ⁿ
蕴涵: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小: 256 − (mask octet)
网络地址: IP AND 掩码
广播地址: IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数: 2ⁿ

2练习题

1.数制中等

把 −59 写成 8 位补码模式。再把该模式当作无符号二进制数读出：它的十进制值 U 是多少？

N = −598 bit

U =

2.数制困难

把各位设置为 1011 0000 >> 1 的 8 位结果。该结果的十进制值 R 是多少？

1011 0000>> 1

R =

3.命题逻辑与证明中等

哪个公式与 q → p 在逻辑上等价？点选它。

q → p

1¬p ∧ ¬q
2¬q → ¬p
3p → q
4¬p → ¬q

4.命题逻辑与证明困难

把否定完全移到内部之后，哪个命题与 ¬∃x (F(x) → G(x)) 等价？点选它。

¬∃x (F(x) → G(x))

1∃x (F(x) ∧ ¬G(x))
2∀x (F(x) ∧ ¬G(x))
3∀x (¬F(x) → ¬G(x))
4∀x (F(x) → ¬G(x))

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

用卡诺图求 F(A, B, C, D) = Σm(0, 3, 5, 7, 8, 10, 13) 的最简和之积 (POS) 形式。它有多少个和项（因子）N？

F(A, B, C, D) = Σm(0, 3, 5, 7, 8, 10, 13)

N =

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

求 F(A, B, C, D) = Σm(3, 6, 7, 9, 11, 12, 15) + d(4, 8) 的最简 SOP 形式，其中 d 表示无关项。它包含多少个文字 L？

F(A, B, C, D) = Σm(3, 6, 7, 9, 11, 12, 15) + d(4, 8)

L =

7.数论与模运算中等

求 56 模 61 的逆元：满足 0 < x < 61 且 56·x ≡ 1 (mod 61) 的数 x。

a = 56n = 61

56⁻¹ mod 61 =

8.数论与模运算困难

某个 RSA 密钥使用 p = 19，q = 47，e = 19。解密密文 c = 876：求消息 m。

p = 19q = 47e = 19c = 876

m =

9.算法与复杂度中等

当问题具有以下特征时，动态规划（dynamic programming）很有用：

A只有随机输入
B完全没有子问题，因此一步就能解决
C只有一个循环
D重叠子问题和最优子结构

10.算法与复杂度困难

关于 little-o 记号，下列哪个说法是正确的？

A2n = o(n)，因为 2n 增长得慢
Bn = o(n)，因为每个函数都是自身的 little-o
Cn = o(n²)，但 n 不是 o(n)
Dn² = o(n)

11.数据结构中等

把键 50、30、70、20、40 按此顺序插入一棵空的二叉搜索树。30 的左子节点是什么？

12.数据结构困难

在含 n 个元素的二叉最小堆中查找任意一个键需要多长时间？

AO(n)
BO(log n)
CO(1)
DO(log log n)

13.图论中等

一个连通图有 14 个顶点和 24 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 14|E| = 24

k =

14.图论困难

求带权图的最小生成树的总权重 W。

|V| = 6|E| = 8

W =

15.数据库与 SQL中等

对于一行，WHERE EXISTS (subquery) 在什么情况下为真？

A子查询至少返回一行时
B子查询恰好返回一行时
C子查询返回一个大于零的数时
D子查询不返回 NULL 值时

16.数据库与 SQL困难

表 enrolment(student_id, course_id, student_name, grade) 的键是 (student_id, course_id)。它违反了哪个范式？

A第一范式，因为 grade 列的值不是原子的
B只违反第三范式，因为 grade 依赖于 student_name
C第二范式，因为 student_name 只依赖于 student_id
D都不违反，它满足 BCNF

17.计算机网络中等

哪个子网掩码对应 /20？

A255.255.240.0
B255.255.248.0
C255.255.255.240
D255.255.224.0

18.计算机网络困难

根据奈奎斯特公式，使用 4 个信号电平的无噪声 3 kHz 信道的最大比特率是多少？

A12 kbit/s
B24 kbit/s
C3 kbit/s
D6 kbit/s

19.IPv4 子网划分中等

一个子网使用掩码 255.255.248.0。它有多少个可用主机地址 H？

255.255.248.0

H =

20.IPv4 子网划分困难

一台路由器有到以下网络的路由：10.43.197.0/24, 10.43.198.0/24。能覆盖所有这些网络的单条汇总路由，其最长前缀长度 p 是多少？

10.43.197.0/24 … 10.43.198.0/24

p =

3溶液

1.数制

答案: U = 197

位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。

取反加一

59 = 0011 1011

取反后: 1100 0100

+1 → 1100 0101

按无符号数读取

1100 0101₂ = 256 − 59 = 197

答案

U = 197

2.数制

答案: R = 88

设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。

逐位计算

右移 1 位，把每一位向右移动 1 个位置；从右端移出的位丢失，左侧补入 0。

1011 0000 >> 1

= 0101 1000

结果的值

0101 1000₂ = 88

答案

R = 88

3.命题逻辑与证明

答案: ¬p → ¬q

逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

定律

蕴涵与它的逆否命题 ¬b → ¬a 等价，而与它的逆命题 b → a 或否命题 ¬a → ¬b 不等价。

q → p ≡ ¬p → ¬q

用真值表检验

p = 1, q = 1: 1 | 0 1 1 1

p = 1, q = 0: 1 | 0 0 0 1

p = 0, q = 1: 0 | 0 1 1 0

p = 0, q = 0: 1 | 1 1 1 1

答案

¬p → ¬q

竖线之后的各列是按所示顺序排列的各个选项。

4.命题逻辑与证明

答案: ∀x (F(x) ∧ ¬G(x))

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

把否定移到内部

¬∃x (F(x) → G(x)) ≡ ∀x (F(x) ∧ ¬G(x))

答案

∀x (F(x) ∧ ¬G(x))

其他选项要么保持某个量词不变，要么改变了量词的顺序，要么错误地否定了内部的公式。

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 4

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

圈 0

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

(B′ + D)

(B + C + D′)

(A + C′ + D)

(A′ + C′ + D′)

最简 POS 形式

F = (B′ + D)(B + C + D′)(A + C′ + D)(A′ + C′ + D′)

N = 4

答案

N = 4

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: L = 11

质蕴涵项

由 1 和 X 能够构成的最大的圈。

CD, BC′D′, AC′D′, A′BD′, AB′D, A′BC, AB′C′

最小覆盖

F = CD + BC′D′ + A′BD′ + AB′D

L = 11

答案

L = 11

还存在另一种大小相同的圈法；它的项数和文字数相同。

7.数论与模运算

答案: 56⁻¹ mod 61 = 12

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

扩展欧几里得算法

每个余数 r 都写成 r ≡ t·56 (mod 61)。

r = 61, t = 0

r = 56, q = 1, t = 1

r = 5, q = 11, t = −1

r = 1, q = 5, t = 12

逆矩阵

1 ≡ 12·56 (mod 61)

x = 12

校核: 56·12 = 672 = 11·61 + 1

答案

56⁻¹ mod 61 = 12

8.数论与模运算

答案: m = 762

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

私钥指数

n = 893, φ(n) = 828

d = 19⁻¹ mod 828 = 523

用反复平方法解密

523 = 512 + 8 + 2 + 1

876¹ ≡ 876 (mod 893)

876² ≡ 289 (mod 893)

876⁴ ≡ 472 (mod 893)

876⁸ ≡ 427 (mod 893)

876¹⁶ ≡ 157 (mod 893)

876³² ≡ 538 (mod 893)

876⁶⁴ ≡ 112 (mod 893)

876¹²⁸ ≡ 42 (mod 893)

876²⁵⁶ ≡ 871 (mod 893)

876⁵¹² ≡ 484 (mod 893)

876⁵²³ ≡ 876·289·427·484 ≡ 762 (mod 893)

消息

m = 762

生成树的边数

14 − 1 = 13

要去掉的边数

k = 24 − 13 = 11

答案

k = 11

14.图论

答案: W = 33

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

AC (2): 取

AB (4): 取

DF (6): 取

A · 12 kbit/s

19.IPv4 子网划分

答案: H = 2046

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

前缀长度

255.255.248.0 = /21

可用主机数

2¹¹ − 2 = 2046

答案

H = 2046

20.IPv4 子网划分

答案: p = 22

路由汇总：汇总路由 a.b.c.0/p 覆盖前 p 位相同的所有网络。把第一个和最后一个网络中不同的那个八位组写成二进制；相同的前导位数加上它前面各八位组的位数，就是最长的汇总前缀。

比较各位

197 = 11000101

198 = 11000110

相同的前导位：6

前缀长度

p = 16 + 6 = 22

答案

p = /22

汇总路由：10.43.196.0/22 （它还覆盖了列表中没有的 2 个网络）。

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals