计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权
二进制 2k，八进制 8k，十六进制 16k
转为十进制
Σ dk·bk
从十进制转换
除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制
一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码
按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数
2ⁿ
蕴涵
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

  1. 数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
  2. 给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
  3. 按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
  4. 判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
  5. 否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序
00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈
消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
触发器
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器
n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
行波计数器
fmax = 1/(n·tpd)
环形计数器与约翰逊计数器
n 个和 2n 个状态

方法

  1. 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
  2. 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
  3. 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
  4. 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

  1. 先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
  2. 求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
  3. 求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
  4. 解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
  5. 求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数
2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小
256 − (mask octet)
网络地址
IP AND 掩码
广播地址
IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数
2n

2练习题

1.数制中等
8 位补码0−12806403201608040201

设置各位，使其以 8 位补码存储 −69。按无符号数读取，该位模式的值 U 是多少？

N = −698 bit
U =
2.数制困难
32 bit1 px1024 px768 pxM = ? KiB

一幅未压缩图像为 1024 × 768 像素，每像素 32 位。它占用多少内存 M（以 KiB 计，1 KiB = 1024 字节）？

1024 × 768 px32 bit/px1 KiB = 1024 B
M = KiB
3.命题逻辑与证明中等
r ∨ (q ∧ p)(r ∧ q) ∨ (r ∧ p)(r ∧ q) ∨ p(r ∨ q) ∧ (r ∨ p)

哪个公式与 r ∧ (q ∨ p) 在逻辑上等价？点选它。

r ∧ (q ∨ p)
  1. 1r ∨ (q ∧ p)
  2. 2(r ∧ q) ∨ (r ∧ p)
  3. 3(r ∧ q) ∨ p
  4. 4(r ∨ q) ∧ (r ∨ p)
4.命题逻辑与证明困难
∃x ¬A(x)∀x ¬A(x)∃x A(x)∀x A(x)

把否定完全移到内部之后，哪个命题与 ¬∃x A(x) 等价？点选它。

¬∃x A(x)
  1. 1∃x ¬A(x)
  2. 2∀x ¬A(x)
  3. 3∃x A(x)
  4. 4∀x A(x)
5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
ABC000111100101324576

把 F = A′C′ + A′B′C + AB 化简为最简积之和形式。化简后的表达式包含多少个文字 L？

F = A′C′ + A′B′C + AB
L =
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
ABCD0001111000011110101103X2041507160121131150140809X11010

求 F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 5, 6, 13, 15) + d(2, 11) 的最简 SOP 形式，其中 d 表示无关项。它包含多少个文字 L？

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 5, 6, 13, 15) + d(2, 11)
L =
7.数论与模运算中等

解 10x ≡ 36 (mod 43)。给出满足 0 < x < 43 的解 x。

10x ≡ 36 (mod 43)
x =
8.数论与模运算困难

在 {0, 1, …, 19} 中，18x ≡ 8 (mod 20) 有多少个解 N？

18x ≡ 8 (mod 20)
N =
9.算法与复杂度中等

下面代码的时间复杂度是多少：for i = 1 to n: (j = 1; while j < n: j = j × 2)？

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
10.算法与复杂度困难

下列哪个可满足性问题已知可以在多项式时间内求解？

  1. A合取范式公式上的一般 SAT
  2. B电路可满足性问题
  3. C2-SAT，每个子句至多有两个文字
  4. D3-SAT，每个子句恰好有三个文字
11.数据结构中等

为什么二叉堆可以不用任何指针而存储在数组中？

  1. A它是完全二叉树，因此位置遵循简单的下标公式
  2. B数组会自动使键保持有序，因此不需要指针
  3. C堆中所有的键都相等
  4. D堆中的元素从不超过 100 个
12.数据结构困难

布隆过滤器（Bloom filter）回答"该元素是否在集合中？"时：

  1. A可能出现假阳性，但不会出现假阴性
  2. B总是给出精确答案
  3. C可能出现假阴性，但不会出现假阳性
  4. D只能回答数字的情况
13.图论中等

完全图 K5 有多少条不同的哈密顿回路 H？只是起点或方向不同的回路算作同一条。

K5
H =
14.图论困难
1314665613411ABCDEF

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F
d(F) =
15.数据库与 SQL中等

哪个查询返回每个部门的最高工资？

  1. ASELECT MAX(dept), salary FROM emp GROUP BY salary
  2. BSELECT dept, MAX(salary) FROM emp ORDER BY dept
  3. CSELECT dept, MAX(salary) FROM emp GROUP BY dept
  4. DSELECT dept, salary FROM emp WHERE salary = MAX(salary)
16.数据库与 SQL困难

如果 col 中所有值都是 NULL 且表有 10 行，SELECT COUNT(col) FROM t 的结果是什么？

  1. A0
  2. B10
  3. C报错
  4. DNULL
17.计算机网络中等

使用偶校验时，给数据位 1011001 添加的校验位是什么？

  1. A0
  2. B1
  3. C2
  4. D4
18.计算机网络困难

DNS 查询通常使用 UDP。DNS 在什么情况下通常改用 TCP？

  1. A用于 UDP 装不下的过大响应以及区域传送
  2. B用于 Web 浏览器发出的每一个查询
  3. C只用于 IP 地址的反向查找
  4. D只在域名长于十个字符时
19.IPv4 子网划分中等
/20 → /2611111111111111111111111111000000网络位主机位

网络 10.155.16.0/20 被划分为前缀为 /26 的等大子网。共有多少个子网 N？

10.155.16.0/20/26
N =
20.IPv4 子网划分困难
最后一个八位组 = 94012816403211618141201网络主机

某主机地址为 10.20.206.94/27。其网络地址的第四个八位组 x 是多少？

10.20.206.94/27
x =

3溶液

1.数制

答案: U = 187

设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。

取反加一

69 = 0100 0101
取反后: 1011 1010
+1 → 1011 1011

按无符号数读取

1011 1011₂ = 256 − 69 = 187

答案

U = 187
2.数制

答案: M = 3072 KiB

位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。

位和字节

1024·768·32 = 25165824 bit = 3145728 B

换算为 KiB

3145728/1024 = 3072 KiB

答案

M = 3072 KiB
3.命题逻辑与证明

答案: (r ∧ q) ∨ (r ∧ p)

逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

定律

∧ 对 ∨ 有分配律：a ∧ (b ∨ c) ≡ (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)。
r ∧ (q ∨ p) ≡ (r ∧ q) ∨ (r ∧ p)

用真值表检验

p = 1, q = 1, r = 1: 1 | 1 1 1 1
p = 1, q = 1, r = 0: 0 | 1 0 1 1
p = 1, q = 0, r = 1: 1 | 1 1 1 1
p = 1, q = 0, r = 0: 0 | 0 0 1 0
p = 0, q = 1, r = 1: 1 | 1 1 1 1
p = 0, q = 1, r = 0: 0 | 0 0 0 0
p = 0, q = 0, r = 1: 0 | 1 0 0 1
p = 0, q = 0, r = 0: 0 | 0 0 0 0

答案

(r ∧ q) ∨ (r ∧ p)

竖线之后的各列是按所示顺序排列的各个选项。

4.命题逻辑与证明

答案: ∀x ¬A(x)

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

把否定移到内部

¬∃x A(x) ≡ ∀x ¬A(x)

答案

∀x ¬A(x)

其他选项要么保持某个量词不变，要么改变了量词的顺序，要么错误地否定了内部的公式。

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: L = 6

布尔代数：化简表达式的规则有 X + X′ = 1 和 X·X′ = 0、X + X = X、吸收律 X + X·Y = X、合并律 X·Y + X·Y′ = X、X + X′Y = X + Y，以及一致性定理 XY + X′Z + YZ = XY + X′Z。德摩根律把 (X·Y)′ 变成 X′ + Y′，把 (X + Y)′ 变成 X′·Y′。卡诺图以图形方式应用这些规则：每个由两个相邻格子组成的圈，就是一次使用 XY + XY′ = X。

表达式的最小项

A′C′ → m(0, 2)
A′B′C → m(1)
AB → m(6, 7)
ABC00011110011011031204051716

圈组并读出结果

F = BC′ + A′B′ + AB

数出文字个数

L = 6

答案

L = 6

还存在另一种大小相同的圈法；它的文字数相同。

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: L = 12

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

质蕴涵项

由 1 和 X 能够构成的最大的圈。

BC′D, A′C′D, A′CD′, ACD, A′B′D′, ABD, A′B′C′
ABCD0001111000011110101103X2041507160121131150140809X11010

最小覆盖

F = A′C′D + A′CD′ + A′B′D′ + ABD
L = 12

答案

L = 12

还存在另一种大小相同的圈法；它的项数和文字数相同。

7.数论与模运算

答案: x = 38

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

10 的逆元

r = 43, t = 0
r = 10, q = 4, t = 1
r = 3, q = 3, t = −4
r = 1, q = 3, t = 13
10−1 ≡ 13 (mod 43)

求解

x ≡ 13·36 = 468 ≡ 38 (mod 43)
校核: 10·38 = 380 ≡ 36 (mod 43)

答案

x = 38
8.数论与模运算

答案: N = 2

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

除以最大公约数

gcd(18, 20) = 2
9x ≡ 4 (mod 10)

解化简后的同余式

9−1 ≡ 9 (mod 10) → x ≡ 6 (mod 10)

模 20 下的解

x ∈ {6, 16}
N = 2

答案

N = 2
9.算法与复杂度

答案: B · O(n log n)

为什么是这个答案

对外层 n 次迭代中的每一次，内层循环约运行 log₂ n 次，因此总复杂度为 O(n log n)。

答案

B · O(n log n)
10.算法与复杂度

答案: C · 2-SAT，每个子句至多有两个文字

为什么是这个答案

2-SAT 属于 P（通过强连通分量可在线性时间内求解），而 3-SAT 是 NP 完全的。

答案

C · 2-SAT，每个子句至多有两个文字
11.数据结构

答案: A · 它是完全二叉树，因此位置遵循简单的下标公式

为什么是这个答案

完全性意味着没有空缺，因此下标 i 的子节点总是位于 2i + 1 和 2i + 2。

答案

A · 它是完全二叉树，因此位置遵循简单的下标公式
12.数据结构

答案: A · 可能出现假阳性，但不会出现假阴性

为什么是这个答案

如果某元素对应的任一位为 0，则它一定不存在；如果全部为 1，则它很可能存在。布隆过滤器以牺牲准确性换取极少的内存占用。

答案

A · 可能出现假阳性，但不会出现假阴性
13.图论

答案: H = 12

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

计数

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

答案

H = 12
14.图论

答案: d(F) = 23

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 13, C: 14
B (13): D: 19, E: 24
C (14): E: 19
D (19): F: 32
E (19): F: 23
F (23)

最短路径

A → C → E → F
d(F) = 23

答案

d(F) = 23
15.数据库与 SQL

答案: C · SELECT dept, MAX(salary) FROM emp GROUP BY dept

为什么是这个答案

GROUP BY dept 为每个部门创建一个组，MAX(salary) 选出每组中的最大值。

答案

C · SELECT dept, MAX(salary) FROM emp GROUP BY dept
16.数据库与 SQL

答案: A · 0

为什么是这个答案

COUNT(col) 统计非 NULL 值，因此返回 0；COUNT(*) 则会返回 10。

答案

A · 0
17.计算机网络

答案: A · 0

为什么是这个答案

1011001 中有四个 1，已经是偶数，所以校验位是 0。若使用奇校验，则校验位为 1。

答案

A · 0
18.计算机网络

答案: A · 用于 UDP 装不下的过大响应以及区域传送

为什么是这个答案

如果 UDP 响应被截断，解析器会通过 TCP 重试。域名服务器之间的区域传送也使用 TCP，因为它们承载大量数据。

答案

A · 用于 UDP 装不下的过大响应以及区域传送
19.IPv4 子网划分

答案: N = 64

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

借用位

26 − 20 = 6

子网数

N = 26 = 64

答案

N = 64

每个 /26 子网有 26 − 2 = 62 个可用主机。

20.IPv4 子网划分

答案: x = 64

IPv4 子网划分：一个地址有 32 位。前缀 /p 表示前面多少位标识网络；其余 32 − p 位为主机编号。一个子网有 2³²⁻ᵖ 个地址，但第一个（网络地址）和最后一个（广播地址）不能分配给主机，所以可容纳 2³²⁻ᵖ − 2 台主机。 例外：/31（点对点链路，RFC 3021）的 2 个地址都用于主机，/32 只有一个地址（单个主机或环回地址）。

块大小

25 = 32

该主机所在子网

网络: ⌊94/32⌋·32 = 64
广播: 64 + 32 − 1 = 95
可用主机: 65 … 94

答案

x = 64

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