数制
- 位权
- 二进制 2k，八进制 8k，十六进制 16k
- 转为十进制
- Σ dk·bk
- 从十进制转换
- 除以基数，余数从下往上读
- 十六进制 ↔ 二进制
- 一位十六进制数 = 4 位二进制
- 二进制补码
- 按位取反后加 1
计算机科学导论：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
命题逻辑与证明
- 真值表的行数
- 2ⁿ
- 蕴涵
- p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
- 蕴涵的否定
- ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
- 双条件
- p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
- 德摩根律
- ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
- 分配律
- p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
- 量词的否定
- ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
- 肯定前件，否定后件
- p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p
方法
- 数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
- 给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
- 按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
- 判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
- 否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。
数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
- 基本逻辑门
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- 布尔规则
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- 德摩根律
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- 卡诺图的顺序
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- 由 2ᵏ 个格子组成的圈
- 消去 k 个变量
- 4 选 1 多路选择器
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- 触发器
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- 计数器
- n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
- 行波计数器
- fmax = 1/(n·tpd)
- 环形计数器与约翰逊计数器
- n 个和 2n 个状态
方法
- 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
- 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
- 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
- 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。
数论与模运算
- 带余除法
- a = q·n + r, 0 ≤ r < n
- 欧几里得
- gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
- 最小公倍数
- lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
- 逆矩阵
- a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
- 线性同余方程
- a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
- 欧拉函数
- φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
- 费马
- aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
- RSA
- n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
方法
- 先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
- 求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
- 求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
- 解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
- 求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。
图论
- 握手引理
- Σ deg(v) = 2|E|
- 完全图
- |E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
- 正则图
- |E| = n·k/2
- 树与森林
- |E| = n − 1, |E| = n − c
- 树的叶子
- L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
- 欧拉
- 回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
- Kn 中的哈密顿回路
- (n − 1)!/2
- 迪杰斯特拉更新
- d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
- 长度为 L 的途径
- (Mᴸ)ij
方法
- 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
- 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
- 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
- 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
- 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。
IPv4 子网划分
- 每个子网的主机数
- 2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
- 块大小
- 256 − (mask octet)
- 网络地址
- IP AND 掩码
- 广播地址
- IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
- 借用 n 位得到的子网数
- 2n
2练习题
1.数制中等
设置各位，使其以 8 位补码存储 −81。按无符号数读取，该位模式的值 U 是多少？
N = −818 bit
U =
2.数制困难
一幅未压缩图像为 1920 × 1080 像素，每像素 8 位。它占用多少内存 M（以 KiB 计，1 KiB = 1024 字节）？
1920 × 1080 px8 bit/px1 KiB = 1024 B
M = KiB
3.命题逻辑与证明中等
¬(r ∧ q) ↔ (¬r ∨ ¬q) 是重言式、矛盾式还是偶然式？点选你的答案。
¬(r ∧ q) ↔ (¬r ∨ ¬q)
- 1重言式
- 2矛盾式
- 3偶然式
4.命题逻辑与证明困难
真值表的 16 行中，有多少行使 (r ∧ q) → ((p ∧ s) ∨ (s → ¬q)) 为真？把这个数记作 N。
(r ∧ q) → ((p ∧ s) ∨ (s → ¬q))
N =
5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
用卡诺图求 F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12) 的最简和之积 (POS) 形式。它有多少个和项（因子）N？
F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12)
N =
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
同步模 6 计数器依次计 0, 1, …, 5，然后回到 0。它从 0 开始。经过 7 个时钟脉冲后，它显示的计数 Q（十进制）是多少？
Q0 = 07N = 6
Q =
7.数论与模运算中等
求欧拉函数 φ(847)，即 1 到 847 中与 847 互素的整数个数。
n = 847 = 7·112
φ(847) =
8.数论与模运算困难
在 {0, 1, …, 39} 中，22x ≡ 32 (mod 40) 有多少个解 N？
22x ≡ 32 (mod 40)
N =
9.算法与复杂度中等
用自底向上的表格计算第 n 个斐波那契数，时间复杂度是多少？
- AO(n)
- BO(log n)
- CO(2ⁿ)
- DO(n²)
10.算法与复杂度困难
递推式 T(n) = 2T(n/2) + n log n 的解是什么？
- AΘ(n)
- BΘ(n log² n)
- CΘ(n²)
- DΘ(n log n)
11.数据结构中等
含 V 个顶点的图的邻接矩阵占用多少内存？
- AO(E)
- BO(V + E)
- CO(V²)
- DO(log V)
12.数据结构困难
用于拓扑排序的 Kahn 算法反复删除入度为 0 的顶点。哪种结构保存这些顶点？
- A由入度为 0 的顶点组成的队列（或任何集合）
- B由所有访问过的边组成的栈
- C记录哪些顶点已被删除的邻接矩阵
- D按出度排序的最大堆
13.图论中等
一棵树有 3 个度为 4 的顶点, 2 个度为 5 的顶点, 4 个度为 2 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？
3 × deg 42 × deg 54 × deg 2
L =
14.图论困难
用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。
起点：A终点：F
d(F) =
15.数据库与 SQL中等
公用表表达式（WITH name AS (...)）提供什么？
- A一个永久表，在被删除之前一直存储在磁盘上
- B一个新的数据库用户
- C某列上的索引
- D一个可在一条语句中使用的命名临时结果
16.数据库与 SQL困难
SELECT day, SUM(amount) OVER (ORDER BY day) FROM sales 计算的是什么？
- A按 day 排序的 amount 累计总和
- B每天一行，只有当天的总额
- C每一行上所有金额的总和
- D每天的平均金额
17.计算机网络中等
IPv6 的环回地址是什么？
- Aff02::1
- B::1
- Cfe80::1
- D::
18.计算机网络困难
为什么 TCP 为每个连接选择一个不可预测的初始序列号？
- A更有效地压缩数据
- B为该连接的各个报文段选择到达目的地的最佳路由
- C加密每个段的净荷
- D避免与旧的段混淆，并使伪造的段更难被注入
19.IPv4 子网划分中等
网络 192.168.10.0/24 需要划分为至少 6 个相等的子网。若借用尽可能少的位，每个子网有多少可用主机 H？
192.168.10.0/246 subnets
H =
20.IPv4 子网划分困难
一台主机的地址为 172.20.186.183/18。其网络地址的第三个八位组 x 是多少？
172.20.186.183/18
x =
3溶液
1.数制
答案: U = 175
设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。
取反加一
81 = 0101 0001
取反后: 1010 1110
+1 → 1010 1111
按无符号数读取
1010 1111₂ = 256 − 81 = 175
答案
U = 175
2.数制
答案: M = 2025 KiB
位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。
位和字节
1920·1080·8 = 16588800 bit = 2073600 B
换算为 KiB
2073600/1024 = 2025 KiB
答案
M = 2025 KiB
3.命题逻辑与证明
答案: 重言式
逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。
逐行写出真值表
q = 1, r = 1: r ∧ q = 1, ¬(r ∧ q) = 0, ¬r = 0, ¬q = 0, ¬r ∨ ¬q = 0, ¬(r ∧ q) ↔ (¬r ∨ ¬q) = 1
q = 1, r = 0: r ∧ q = 0, ¬(r ∧ q) = 1, ¬r = 1, ¬q = 0, ¬r ∨ ¬q = 1, ¬(r ∧ q) ↔ (¬r ∨ ¬q) = 1
q = 0, r = 1: r ∧ q = 0, ¬(r ∧ q) = 1, ¬r = 0, ¬q = 1, ¬r ∨ ¬q = 1, ¬(r ∧ q) ↔ (¬r ∨ ¬q) = 1
q = 0, r = 0: r ∧ q = 0, ¬(r ∧ q) = 1, ¬r = 1, ¬q = 1, ¬r ∨ ¬q = 1, ¬(r ∧ q) ↔ (¬r ∨ ¬q) = 1
分类
¬(r ∧ q) ↔ (¬r ∨ ¬q): 1, 1, 1, 1
每一行都是 1：重言式。
答案
重言式
4.命题逻辑与证明
答案: N = 15
真值表：含 n 个不同变量的公式有 2ⁿ 行，每一行对应真值的一种组合（1 = 真，0 = 假）。由内向外进行，给每个子公式单独一列。¬a 把值取反；a ∧ b 只有在两者都为 1 时才为 1；a ∨ b 只有在两者都为 0 时才为 0；a → b 只有在 a = 1 且 b = 0 时才为 0；a ↔ b 在两边相等时为 1。
各列
r ∧ q; p ∧ s; ¬q; s → ¬q; (p ∧ s) ∨ (s → ¬q); (r ∧ q) → ((p ∧ s) ∨ (s → ¬q))
按 p 拆分
p = 1: 8
p = 0: 7
N = 8 + 7 = 15
答案
N = 15
5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
答案: N = 4
卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。
圈 0
每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。
(A′ + C + D′)
(A + B + C′)
(A′ + B + C)
(A′ + B′ + C′)
最简 POS 形式
F = (A′ + C + D′)(A + B + C′)(A′ + B + C)(A′ + B′ + C′)
N = 4
答案
N = 4
还存在另一种大小相同的圈法；它的项数和文字数相同。
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
答案: Q = 1
触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 fclk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。
完整循环
每 6 个脉冲使计数器回到相同的状态。
7 = 1·6 + 1
剩余脉冲之后的计数
Q = (0 + 1) mod 6 = 1
Q = 001₂
答案
Q = 1
7.数论与模运算
答案: φ(847) = 660
逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。
素因数
847 = 7·112
欧拉函数值
φ(847) = φ(7)·φ(121) = 6·110 = 660
答案
φ(847) = 660
8.数论与模运算
答案: N = 2
逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。
除以最大公约数
gcd(22, 40) = 2
11x ≡ 16 (mod 20)
解化简后的同余式
11−1 ≡ 11 (mod 20) → x ≡ 16 (mod 20)
模 40 下的解
x ∈ {16, 36}
N = 2
答案
N = 2
9.算法与复杂度
答案: A · O(n)
为什么是这个答案
从 0 到 n 填表时每项只需一次加法，因此工作量是线性的，而不是指数级的。
答案
A · O(n)
10.算法与复杂度
答案: B · Θ(n log² n)
为什么是这个答案
第 k 层的工作量约为 n log(n / 2ᵏ)，对 log n 层求和得到 Θ(n log² n)，这是主定理第二种情况的推广形式。
答案
B · Θ(n log² n)
11.数据结构
答案: C · O(V²)
为什么是这个答案
邻接矩阵存储 V × V 个元素，适合稠密图；邻接表占用 O(V + E)，更适合稀疏图。
答案
C · O(V²)
12.数据结构
答案: A · 由入度为 0 的顶点组成的队列（或任何集合）
为什么是这个答案
准备好的顶点保存在队列中；删除一个顶点会降低其邻居的入度，入度降为 0 的邻居被加入队列，总时间为 O(V + E)。
答案
A · 由入度为 0 的顶点组成的队列（或任何集合）
13.图论
答案: L = 14
欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。
树的握手引理
L + 30 = 2(L + 9) − 2
L = 14
答案
L = 14
捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。
14.图论
答案: d(F) = 32
最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。
迪杰斯特拉算法逐轮过程
每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。
A (0): B: 15, C: 7
C (7): B: 13, E: 20
B (13): D: 17, E: 17
D (17): F: 32
E (17)
F (32)
最短路径
A → C → B → D → F
d(F) = 32
答案
d(F) = 32
15.数据库与 SQL
答案: D · 一个可在一条语句中使用的命名临时结果
为什么是这个答案
CTE 给子查询起一个名字，使复杂查询更易读，并且可以在同一条语句中被多次引用。
答案
D · 一个可在一条语句中使用的命名临时结果
16.数据库与 SQL
答案: A · 按 day 排序的 amount 累计总和
为什么是这个答案
有 ORDER BY 而没有显式窗口框架时，窗口从第一行一直延伸到当前行（及其并列行），因此得到累计和。
答案
A · 按 day 排序的 amount 累计总和
17.计算机网络
答案: B · ::1
为什么是这个答案
::1 是环回地址。:: 是未指定地址，fe80::/10 是链路本地地址，ff02::1 是所有节点组播组。
答案
B · ::1
18.计算机网络
答案: D · 避免与旧的段混淆，并使伪造的段更难被注入
为什么是这个答案
随机的初始序列号能防止旧连接中延迟到达的段被接受，并使不在路径上的攻击者难以伪造有效的段。
答案
D · 避免与旧的段混淆，并使伪造的段更难被注入
19.IPv4 子网划分
答案: H = 30
IPv4 子网划分：一个地址有 32 位。前缀 /p 表示前面多少位标识网络；其余 32 − p 位为主机编号。一个子网有 2³²⁻ᵖ 个地址，但第一个（网络地址）和最后一个（广播地址）不能分配给主机，所以可容纳 2³²⁻ᵖ − 2 台主机。 例外：/31（点对点链路，RFC 3021）的 2 个地址都用于主机，/32 只有一个地址（单个主机或环回地址）。
借用的位数
23 = 8 ≥ 6 → b = 3, /27
每个子网的主机数
25 − 2 = 30
答案
H = 30
20.IPv4 子网划分
答案: x = 128
IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).
第三个八位组中的块大小
26 = 64
该主机所在子网
网络: 172.20.128.0
广播: 172.20.191.255
答案
x = 128
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