计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权: 二进制 2^k，八进制 8^k，十六进制 16^k
转为十进制: Σ d_k·b^k
从十进制转换: 除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制: 一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码: 按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数: 2ⁿ
蕴涵: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小: 256 − (mask octet)
网络地址: IP AND 掩码
广播地址: IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数: 2ⁿ

2练习题

1.数制中等

把 −50 写成 8 位补码模式。再把该模式当作无符号二进制数读出：它的十进制值 U 是多少？

N = −508 bit

U =

2.数制困难

某系统要为 2129 个项目中的每一个分配一个长度相同的独立二进制编码。最少需要多少位 b？

2129

b = bit

3.命题逻辑与证明中等

(b ↔ a) ∧ (b ↔ ¬a) 是重言式、矛盾式还是偶然式？点选你的答案。

(b ↔ a) ∧ (b ↔ ¬a)

1重言式
2矛盾式
3偶然式

4.命题逻辑与证明困难

真值表的 16 行中，有多少行使 (s ∧ r) ∨ (¬(q ∨ p) → p) 为真？把这个数记作 N。

(s ∧ r) ∨ (¬(q ∨ p) → p)

N =

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

把 F = AB′C′ + ABC′ + AC + A′B 化简为最简积之和形式。化简后的表达式包含多少个文字 L？

F = AB′C′ + ABC′ + AC + A′B

L =

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

一个上升沿触发的 JK 触发器从 Q = 0 开始，在 6 个时钟上升沿接收到所示的输入。Q 改变状态的次数 N 是多少？

Q₀ = 0JK

N =

7.数论与模运算中等

求 35 模 97 的逆元：满足 0 < x < 97 且 35·x ≡ 1 (mod 97) 的数 x。

a = 35n = 97

35⁻¹ mod 97 =

8.数论与模运算困难

用 RSA 公钥 (n, e) = (209, 17) 加密消息 m = 169。求密文 c。

n = 209e = 17m = 169

c =

9.算法与复杂度中等

关于一个没有可达基本情况的递归函数，下列哪个说法是正确的？

A它会不断调用自身，直到调用栈溢出
B它的运行时间为 O(1)
C编译器总会把它变成能安全结束的循环
D它会自动返回 0

10.算法与复杂度困难

关于 little-o 记号，下列哪个说法是正确的？

An² = o(n)
Bn = o(n²)，但 n 不是 o(n)
C2n = o(n)，因为 2n 增长得慢
Dn = o(n)，因为每个函数都是自身的 little-o

11.数据结构中等

你持有一个位于链表中间的节点的引用。在哪种链表中可以在 O(1) 内删除它？

A有序数组
B双向链表
C动态数组
D单链表

12.数据结构困难

从二叉搜索树中删除一个有两个子节点的节点，通常的做法是：

A将它与根节点交换
B删除整棵子树
C从头重建它下面的整棵子树，并重新插入其中包含的每个键
D用它的中序后继（或前驱）替换它，然后删除那个节点

13.图论中等

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 5|E| = 5

1欧拉回路
2有欧拉通路，无回路
3都不是

14.图论困难

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 E 的最短路径的长度 d(E)。

起点：A终点：E

d(E) =

15.数据库与 SQL中等

哪个查询返回每个客户的订单数量？

ASELECT customer_id FROM orders WHERE COUNT(*) > 0
BSELECT customer_id, COUNT(*) FROM orders ORDER BY customer_id
CSELECT customer_id, COUNT(*) FROM orders GROUP BY customer_id
DSELECT DISTINCT COUNT(*) FROM orders

16.数据库与 SQL困难

给定 R(A, B, C, D) 上的函数依赖 A → B、B → C 和 C → D，闭包 A⁺ 是什么？

A{A}
B{A, B, C}
C{A, B}
D{A, B, C, D}

17.计算机网络中等

客户端从 DHCP 获取地址时，报文的通常顺序是什么？

ARequest、Offer、Discover、Acknowledge
BDiscover、Request、Offer、Acknowledge
COffer、Discover、Acknowledge、Request
DDiscover、Offer、Request、Acknowledge

18.计算机网络困难

HTTP/1.1 中持久连接（keep-alive）的主要好处是什么？

A多个请求复用一个 TCP 连接，避免重复握手
B服务器可以通过 UDP 推送更新
C连接无需 TLS 也能保持加密
D响应可以在一个流上以任意顺序到达，因此慢的回复不会阻塞其他回复

19.IPv4 子网划分中等

网络 192.168.39.0/24 被划分为若干 /28 子网，从最低地址起编号为 1、2、3、…（子网 1 从 .0 开始）。子网 8 的广播地址的第四个八位组 x 是多少？

192.168.39.0/24/28子网 8 (子网 1 从 .0 开始)

x =

20.IPv4 子网划分困难

某主机地址为 10.20.133.206/29。其子网中最后一个可用主机地址的第四个八位组 x 是多少？

10.20.133.206/29

x =

3溶液

1.数制

答案: U = 206

位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。

取反加一

50 = 0011 0010

取反后: 1100 1101

+1 → 1100 1110

按无符号数读取

1100 1110₂ = 256 − 50 = 206

答案

U = 206

2.数制

答案: b = 12 bit

2 的幂

2¹¹ = 2048 < 2129

2¹² = 4096 ≥ 2129

答案

b = 12

3.命题逻辑与证明

答案: 矛盾式

逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

逐行写出真值表

a = 1, b = 1: b ↔ a = 1, ¬a = 0, b ↔ ¬a = 0, (b ↔ a) ∧ (b ↔ ¬a) = 0

a = 1, b = 0: b ↔ a = 0, ¬a = 0, b ↔ ¬a = 1, (b ↔ a) ∧ (b ↔ ¬a) = 0

a = 0, b = 1: b ↔ a = 0, ¬a = 1, b ↔ ¬a = 1, (b ↔ a) ∧ (b ↔ ¬a) = 0

a = 0, b = 0: b ↔ a = 1, ¬a = 1, b ↔ ¬a = 0, (b ↔ a) ∧ (b ↔ ¬a) = 0

分类

(b ↔ a) ∧ (b ↔ ¬a): 0, 0, 0, 0

每一行都是 0：矛盾式。

答案

矛盾式

4.命题逻辑与证明

答案: N = 13

真值表：含 n 个不同变量的公式有 2ⁿ 行，每一行对应真值的一种组合（1 = 真，0 = 假）。由内向外进行，给每个子公式单独一列。¬a 把值取反；a ∧ b 只有在两者都为 1 时才为 1；a ∨ b 只有在两者都为 0 时才为 0；a → b 只有在 a = 1 且 b = 0 时才为 0；a ↔ b 在两边相等时为 1。

各列

s ∧ r; q ∨ p; ¬(q ∨ p); ¬(q ∨ p) → p; (s ∧ r) ∨ (¬(q ∨ p) → p)

按 p 拆分

p = 1: 8

p = 0: 5

N = 8 + 5 = 13

答案

N = 13

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: L = 2

布尔代数：化简表达式的规则有 X + X′ = 1 和 X·X′ = 0、X + X = X、吸收律 X + X·Y = X、合并律 X·Y + X·Y′ = X、X + X′Y = X + Y，以及一致性定理 XY + X′Z + YZ = XY + X′Z。德摩根律把 (X·Y)′ 变成 X′ + Y′，把 (X + Y)′ 变成 X′·Y′。卡诺图以图形方式应用这些规则：每个由两个相邻格子组成的圈，就是一次使用 XY + XY′ = X。

表达式的最小项

AB′C′ → m(4)

ABC′ → m(6)

AC → m(5, 7)

A′B → m(2, 3)

圈组并读出结果

F = B + A

数出文字个数

L = 2

答案

L = 2

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 3

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 f_clk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

每个边沿之后的 Q

JK 触发器：00 保持，01 复位 (Q = 0)，10 置位 (Q = 1)，11 翻转。

1: J = 0, K = 1 → Q = 0

2: J = 1, K = 1 → Q = 1

3: J = 0, K = 0 → Q = 1

4: J = 0, K = 1 → Q = 0

5: J = 0, K = 1 → Q = 0

6: J = 1, K = 1 → Q = 1

数出变化的次数

0 → 0 → 1 → 1 → 0 → 0 → 1

N = 3

答案

N = 3

7.数论与模运算

答案: 35⁻¹ mod 97 = 61

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

扩展欧几里得算法

每个余数 r 都写成 r ≡ t·35 (mod 97)。

r = 97, t = 0

r = 35, q = 2, t = 1

r = 27, q = 1, t = −2

r = 8, q = 3, t = 3

r = 3, q = 2, t = −11

r = 2, q = 1, t = 25

r = 1, q = 2, t = −36

逆矩阵

1 ≡ −36·35 (mod 97)

x = 61

校核: 35·61 = 2135 = 22·97 + 1

答案

35⁻¹ mod 97 = 61

8.数论与模运算

答案: c = 104

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

反复平方

17 = 16 + 1

169¹ ≡ 169 (mod 209)

169² ≡ 137 (mod 209)

169⁴ ≡ 168 (mod 209)

D · 用它的中序后继（或前驱）替换它，然后删除那个节点

13.图论

答案: 欧拉回路

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；K_n 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

奇度顶点

欧拉回路

答案

欧拉回路

14.图论

答案: d(E) = 17

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 6, C: 15

B (6): D: 16, G: 8

G (8): E: 19

C (15)

D (16): E: 17, F: 30

E (17)

F (30)

最短路径

A → B → D → E

块大小

2⁴ = 16

第 8 个子网

网络: (8 − 1)·16 = 112

广播: 112 + 16 − 1 = 127

答案

x = 127

20.IPv4 子网划分

答案: x = 206

IPv4 子网划分：一个地址有 32 位。前缀 /p 表示前面多少位标识网络；其余 32 − p 位为主机编号。一个子网有 2³²⁻ᵖ 个地址，但第一个（网络地址）和最后一个（广播地址）不能分配给主机，所以可容纳 2³²⁻ᵖ − 2 台主机。例外：/31（点对点链路，RFC 3021）的 2 个地址都用于主机，/32 只有一个地址（单个主机或环回地址）。

块大小

2³ = 8

该主机所在子网

网络: ⌊206/8⌋·8 = 200

广播: 200 + 8 − 1 = 207

可用主机: 201 … 206

答案

x = 206

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