计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权: 二进制 2^k，八进制 8^k，十六进制 16^k
转为十进制: Σ d_k·b^k
从十进制转换: 除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制: 一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码: 按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数: 2ⁿ
蕴涵: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小: 256 − (mask octet)
网络地址: IP AND 掩码
广播地址: IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数: 2ⁿ

2练习题

1.数制中等

8 位模式 1110 1010 以补码形式存储一个有符号整数。它的十进制值 N 是多少？

1110 10108 bit

N =

2.数制困难

把各位设置为 1101 0011 << 2 的 8 位结果。该结果的十进制值 R 是多少？

1101 0011<< 2

R =

3.命题逻辑与证明中等

哪个公式与 p ∨ (q ∧ r) 在逻辑上等价？点选它。

p ∨ (q ∧ r)

1(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
2p ∧ (q ∨ r)
3(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
4(p ∨ q) ∧ r

4.命题逻辑与证明困难

把否定完全移到内部之后，哪个命题与 ¬∀x (F(x) ∨ G(x)) 等价？点选它。

¬∀x (F(x) ∨ G(x))

1∃x (¬F(x) ∧ ¬G(x))
2∀x (¬F(x) ∨ ¬G(x))
3∀x (¬F(x) ∧ ¬G(x))
4∃x (¬F(x) ∨ ¬G(x))

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

用卡诺图求 F(A, B, C) = Σm(0, 1, 2, 5, 6) 的最简和之积 (POS) 形式。它有多少个和项（因子）N？

F(A, B, C) = Σm(0, 1, 2, 5, 6)

N =

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

一个上升沿触发的 D 触发器从 Q = 0 开始，在 8 个时钟上升沿接收到所示的输入。Q 改变状态的次数 N 是多少？

Q₀ = 0D

N =

7.数论与模运算中等

求 16 模 89 的逆元：满足 0 < x < 89 且 16·x ≡ 1 (mod 89) 的数 x。

a = 16n = 89

16⁻¹ mod 89 =

8.数论与模运算困难

用反复平方法求 4¹⁴⁴ mod 33。

a = 4k = 144n = 33

4¹⁴⁴ mod 33 =

9.算法与复杂度中等

贪心算法（greedy algorithm）：

A在每一步都做出局部最优的选择
B尝试所有可能的解
C只使用递归
D总能给出最优解

10.算法与复杂度困难

为什么在单链表上二分查找不能达到 O(log n) 的时间？

A链表无法排序
B链表节点上的比较更慢
C二分查找至少需要两倍的内存
D由于不能按下标直接访问，到达中间元素需要 O(n) 步

11.数据结构中等

在平衡二叉搜索树中查找一个键的时间复杂度是多少？

AO(log n)
BO(n)
CO(n log n)
DO(1)

12.数据结构困难

在一棵根为 50、左子树为 30（子节点 20、40）、右子树为 70（子节点 60、80）的 BST 中，用中序后继删除根。哪个键成为新的根？

13.图论中等

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 7|E| = 12

1欧拉回路
2有欧拉通路，无回路
3都不是

14.图论困难

普里姆算法从顶点 A 出发构造最小生成树。点选它加入的第 4 条边。

起点：Ak = 4

1边 AB
2边 AC
3边 BC
4边 BD
5边 DE
6边 DF
7边 EF
8边 BE

15.数据库与 SQL中等

哪条语句删除表中的所有行、保留其结构，并且不能带 WHERE 子句？

ATRUNCATE TABLE
BDROP TABLE
C带 WHERE 子句的 DELETE FROM
DALTER TABLE

16.数据库与 SQL困难

两阶段锁（2PL）能保证：

A永远不会发生死锁
B不需要任何锁
C冲突可串行化的调度
D事务永远不需要等待

17.计算机网络中等

哪种 DNS 记录类型把主机名映射到 IPv6 地址？

AMX
BCNAME
CA
DAAAA

18.计算机网络困难

TCP 快速重传做什么？

A为保险起见把每个段都发送两次
B在重新连接已知主机时跳过三次握手，使数据更快重发
C每次丢包后把窗口加倍
D在收到三个重复 ACK 后重发一个段，而不等待超时

19.IPv4 子网划分中等

网络 172.28.0.0/16 被划分为前缀为 /24 的等大子网。共有多少个子网 N？

172.28.0.0/16/24

N =

20.IPv4 子网划分困难

某主机地址为 10.20.71.187/25。其子网广播地址的最后一个数（第四个八位组）x 是多少？

10.20.71.187/25

x =

3溶液

1.数制

答案: N = −22

位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。

位权相加

其余各位保持正常的正权值。

−128 + 64 + 32 + 8 + 2 = −22

答案

N = −22

2.数制

答案: R = 76

设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。

逐位计算

左移 2 位，把每一位向左移动 2 个位置；从左端移出的位丢失，右侧补入 0。

1101 0011 << 2

= 0100 1100

结果的值

0100 1100₂ = 76

答案

R = 76

3.命题逻辑与证明

答案: (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

定律

∨ 对 ∧ 有分配律：a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

用真值表检验

p = 1, q = 1, r = 1: 1 | 1 1 1 1

p = 1, q = 1, r = 0: 1 | 1 1 1 0

p = 1, q = 0, r = 1: 1 | 1 1 1 1

p = 1, q = 0, r = 0: 1 | 1 0 0 0

p = 0, q = 1, r = 1: 1 | 1 0 0 1

p = 0, q = 1, r = 0: 0 | 0 0 0 0

p = 0, q = 0, r = 1: 0 | 0 0 0 0

p = 0, q = 0, r = 0: 0 | 0 0 0 0

答案

(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

竖线之后的各列是按所示顺序排列的各个选项。

4.命题逻辑与证明

答案: ∃x (¬F(x) ∧ ¬G(x))

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

把否定移到内部

¬∀x (F(x) ∨ G(x)) ≡ ∃x (¬F(x) ∧ ¬G(x))

答案

∃x (¬F(x) ∧ ¬G(x))

其他选项要么保持某个量词不变，要么改变了量词的顺序，要么错误地否定了内部的公式。

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 2

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

圈 0

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

(B′ + C′)

(A′ + B + C)

最简 POS 形式

F = (B′ + C′)(A′ + B + C)

N = 2

答案

N = 2

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 4

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 f_clk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

每个边沿之后的 Q

D 触发器在每个上升沿复制 D：Q⁺ = D。

1: D = 1 → Q = 1

2: D = 1 → Q = 1

3: D = 0 → Q = 0

4: D = 0 → Q = 0

5: D = 0 → Q = 0

6: D = 1 → Q = 1

7: D = 0 → Q = 0

8: D = 0 → Q = 0

数出变化的次数

0 → 1 → 1 → 0 → 0 → 0 → 1 → 0 → 0

N = 4

答案

N = 4

7.数论与模运算

答案: 16⁻¹ mod 89 = 39

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

扩展欧几里得算法

每个余数 r 都写成 r ≡ t·16 (mod 89)。

r = 89, t = 0

r = 16, q = 5, t = 1

r = 9, q = 1, t = −5

r = 7, q = 1, t = 6

r = 2, q = 3, t = −11

r = 1, q = 2, t = 39

逆矩阵

1 ≡ 39·16 (mod 89)

x = 39

校核: 16·39 = 624 = 7·89 + 1

答案

16⁻¹ mod 89 = 39

8.数论与模运算

答案: 4¹⁴⁴ mod 33 = 25

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

二进制指数

144 = 10010000₂ = 128 + 16

反复平方

4¹ ≡ 4 (mod 33)

4² ≡ 16 (mod 33)

4⁴ ≡ 25 (mod 33)

4⁸ ≡ 31 (mod 33)

4¹⁶ ≡ 4 (mod 33)

B · 60

13.图论

答案: 欧拉回路

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；K_n 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

奇度顶点

欧拉回路

答案

欧拉回路

14.图论

答案: 边 DE

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

普里姆算法

1. AC (1)

2. AB (12)

3. BE (13)

4. DE (4)

5. DF (18)

三个重复 ACK 强烈表明有一个段丢失，因此 TCP 立即重传它。这比等待重传计时器恢复得快得多。

答案

D · 在收到三个重复 ACK 后重发一个段，而不等待超时

19.IPv4 子网划分

答案: N = 256

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

借用位

24 − 16 = 8

子网数

N = 2⁸ = 256

答案

N = 256

每个 /24 子网有 2⁸ − 2 = 254 个可用主机。

20.IPv4 子网划分

答案: x = 255

IPv4 子网划分：一个地址有 32 位。前缀 /p 表示前面多少位标识网络；其余 32 − p 位为主机编号。一个子网有 2³²⁻ᵖ 个地址，但第一个（网络地址）和最后一个（广播地址）不能分配给主机，所以可容纳 2³²⁻ᵖ − 2 台主机。例外：/31（点对点链路，RFC 3021）的 2 个地址都用于主机，/32 只有一个地址（单个主机或环回地址）。

块大小

2⁷ = 128

该主机所在子网

网络: ⌊187/128⌋·128 = 128

广播: 128 + 128 − 1 = 255

可用主机: 129 … 254

答案

x = 255

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