计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权: 二进制 2^k，八进制 8^k，十六进制 16^k
转为十进制: Σ d_k·b^k
从十进制转换: 除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制: 一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码: 按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数: 2ⁿ
蕴涵: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小: 256 − (mask octet)
网络地址: IP AND 掩码
广播地址: IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数: 2ⁿ

2练习题

1.数制中等

8 位模式 0011 0111 以补码形式存储一个有符号整数。它的十进制值 N 是多少？

0011 01118 bit

N =

2.数制困难

某系统要为 3728 个项目中的每一个分配一个长度相同的独立二进制编码。最少需要多少位 b？

3728

b = bit

3.命题逻辑与证明中等

((q → r) ∧ r) → q 是重言式、矛盾式还是偶然式？点选你的答案。

((q → r) ∧ r) → q

1重言式
2矛盾式
3偶然式

4.命题逻辑与证明困难

把否定完全移到内部之后，哪个命题与 ¬∀x F(x) 等价？点选它。

¬∀x F(x)

1∃x F(x)
2∃x ¬F(x)
3∀x ¬F(x)
4∀x F(x)

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

用卡诺图求 F(A, B, C, D) = Σm(4, 7, 9, 10, 11, 14) 的最简积之和 (SOP) 形式。它总共包含多少个文字 L（带撇的变量算一个文字）？

F(A, B, C, D) = Σm(4, 7, 9, 10, 11, 14)

L =

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

对于 F(A, B, C, D) = Σm(0, 3, 4, 5, 8, 9, 10) + d(2, 6)（其中 d 表示无关项），求必要质蕴涵项的个数 N。

F(A, B, C, D) = Σm(0, 3, 4, 5, 8, 9, 10) + d(2, 6)

N =

7.数论与模运算中等

求满足 x ≡ 3 (mod 5) 和 x ≡ 1 (mod 7) 的最小正整数 x。

x ≡ 3 (mod 5)x ≡ 1 (mod 7)

x =

8.数论与模运算困难

用 RSA 公钥 (n, e) = (217, 17) 加密消息 m = 127。求密文 c。

n = 217e = 17m = 127

c =

9.算法与复杂度中等

在活动选择问题中，哪条贪心规则总能得到数量最多的互不重叠的活动？

A选择最早结束的活动，然后在与之相容的活动中重复这一步
B选择最早开始的活动
C先选择最短的活动
D先选择与其他活动重叠最少的活动，然后在与之相容的活动中重复这一步

10.算法与复杂度困难

下列哪个可满足性问题已知可以在多项式时间内求解？

A电路可满足性问题
B合取范式公式上的一般 SAT
C3-SAT，每个子句恰好有三个文字
D2-SAT，每个子句至多有两个文字

11.数据结构中等

链表中哨兵（哑）节点的作用是什么？

A防止链表增长超过固定的最大节点数
B存储元素的个数
C使链表有序
D通过消除头部或尾部的特殊情况来简化代码

12.数据结构困难

一个对象作为键存储在哈希映射中，之后其哈希函数所用的一个字段被修改了。可能的结果是什么？

A映射会自动把该键移到新的桶中
B查找该对象可能失败，因为它位于按旧哈希值确定的桶中
C什么都不会改变，因为键的哈希只在程序启动时计算一次
D字段改变的那一刻映射就会抛出错误

13.图论中等

完全图 K₆ 有多少条不同的哈密顿回路 H？只是起点或方向不同的回路算作同一条。

K₆

H =

14.图论困难

迪杰斯特拉算法从 A 开始运行。点选在第 5 轮被确定（成为永久标号）的顶点；A 本身是第 1 轮。

起点：A轮 5

15.数据库与 SQL中等

ACID 中的 "A" 代表什么？

A聚合性（Aggregation）
B可用性（Availability）
C准确性（Accuracy）
D原子性（Atomicity）

16.数据库与 SQL困难

为什么带有 WHERE YEAR(order_date) = 2025 的查询可能不会使用 order_date 上的索引？

A对列应用函数会妨碍简单的索引范围查找
Border_date 上的索引只用于 ORDER BY 子句，绝不用于 WHERE
CYEAR 不是合法的 SQL
D索引永远不能用于日期

17.计算机网络中等

传统的共享式（半双工）以太网使用哪种介质访问方法？

ACSMA/CA
BCSMA/CD
CTDMA
D令牌传递

18.计算机网络困难

为什么要引入 TCP 窗口扩大选项？

A32 位的窗口字段太大，浪费了每个已发送 TCP 报文段中的首部空间
B没有它，TCP 就无法检测长距离链路上丢失的段
C16 位的窗口字段把窗口限制在 65,535 字节，对于高速长距离路径来说太小
DUDP 需要一种在拥塞路径上控制发送速率的方法

19.IPv4 子网划分中等

网络 192.168.234.0/24 被划分为若干 /28 子网，从最低地址起编号为 1、2、3、…（子网 1 从 .0 开始）。子网 11 的网络地址的第四个八位组 x 是多少？

192.168.234.0/24/28子网 11 (子网 1 从 .0 开始)

x =

20.IPv4 子网划分困难

某主机地址为 10.20.12.173/27。其子网中最后一个可用主机地址的第四个八位组 x 是多少？

10.20.12.173/27

x =

3溶液

1.数制

答案: N = 55

位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。

位权相加

其余各位保持正常的正权值。

32 + 16 + 4 + 2 + 1 = 55

答案

N = 55

2.数制

答案: b = 12 bit

2 的幂

2¹¹ = 2048 < 3728

2¹² = 4096 ≥ 3728

答案

b = 12

3.命题逻辑与证明

答案: 偶然式

逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

逐行写出真值表

q = 1, r = 1: q → r = 1, (q → r) ∧ r = 1, ((q → r) ∧ r) → q = 1

q = 1, r = 0: q → r = 0, (q → r) ∧ r = 0, ((q → r) ∧ r) → q = 1

q = 0, r = 1: q → r = 1, (q → r) ∧ r = 1, ((q → r) ∧ r) → q = 0

q = 0, r = 0: q → r = 1, (q → r) ∧ r = 0, ((q → r) ∧ r) → q = 1

分类

((q → r) ∧ r) → q: 1, 1, 0, 1

在 4 行中有 3 行为 1，其余为 0：偶然式。

答案

偶然式

4.命题逻辑与证明

答案: ∃x ¬F(x)

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

把否定移到内部

¬∀x F(x) ≡ ∃x ¬F(x)

答案

∃x ¬F(x)

其他选项要么保持某个量词不变，要么改变了量词的顺序，要么错误地否定了内部的公式。

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: L = 14

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

圈 1

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

ACD′

AB′D

A′BC′D′

A′BCD

最简 SOP 形式

F = ACD′ + AB′D + A′BC′D′ + A′BCD

L = 14

答案

L = 14

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 4

质蕴涵项

由 1 和 X 能够构成的最大的圈。

B′D′, A′D′, A′B′C, A′BC′, AB′C′

必要质蕴涵项

B′D′, A′B′C, A′BC′, AB′C′

N = 4

答案

N = 4

7.数论与模运算

答案: x = 8

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

第一个同余式

x = 3 + 5k

第二个同余式

3 + 5k ≡ 1 (mod 7) → 5k ≡ 5 (mod 7)

k ≡ 3·5 ≡ 1 (mod 7)

结果

x = 3 + 5·1 = 8

x = 8

校核: 8 mod 5 = 3, 8 mod 7 = 1

答案

x = 8

8.数论与模运算

答案: c = 22

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

反复平方

17 = 16 + 1

127¹ ≡ 127 (mod 217)

127² ≡ 71 (mod 217)

127⁴ ≡ 50 (mod 217)

B · 查找该对象可能失败，因为它位于按旧哈希值确定的桶中

13.图论

答案: H = 60

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；K_n 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

计数

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

答案

H = 60

14.图论

答案: G

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

1. A (0): B: 1, C: 7

2. B (1): D: 4

3. D (4): E: 16, G: 8

4. C (7)

5. G (8)

6. E (16): F: 30

原始首部最多允许 65,535 字节的未确认数据。窗口扩大把它乘以 2 的幂，使高带宽时延积的路径能够被填满。

答案

C · 16 位的窗口字段把窗口限制在 65,535 字节，对于高速长距离路径来说太小

19.IPv4 子网划分

答案: x = 160

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

块大小

2⁴ = 16

第 11 个子网

网络: (11 − 1)·16 = 160

广播: 160 + 16 − 1 = 175

答案

x = 160

20.IPv4 子网划分

答案: x = 190

IPv4 子网划分：一个地址有 32 位。前缀 /p 表示前面多少位标识网络；其余 32 − p 位为主机编号。一个子网有 2³²⁻ᵖ 个地址，但第一个（网络地址）和最后一个（广播地址）不能分配给主机，所以可容纳 2³²⁻ᵖ − 2 台主机。例外：/31（点对点链路，RFC 3021）的 2 个地址都用于主机，/32 只有一个地址（单个主机或环回地址）。

块大小

2⁵ = 32

该主机所在子网

网络: ⌊173/32⌋·32 = 160

广播: 160 + 32 − 1 = 191

可用主机: 161 … 190

答案

x = 190

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