计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权
二进制 2k，八进制 8k，十六进制 16k
转为十进制
Σ dk·bk
从十进制转换
除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制
一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码
按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数
2ⁿ
蕴涵
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

  1. 数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
  2. 给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
  3. 按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
  4. 判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
  5. 否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序
00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈
消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
触发器
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器
n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
行波计数器
fmax = 1/(n·tpd)
环形计数器与约翰逊计数器
n 个和 2n 个状态

方法

  1. 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
  2. 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
  3. 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
  4. 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

  1. 先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
  2. 求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
  3. 求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
  4. 解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
  5. 求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数
2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小
256 − (mask octet)
网络地址
IP AND 掩码
广播地址
IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数
2n

2练习题

1.数制中等
补码中的位权1−12816403211608040211

8 位模式 1101 0001 以补码形式存储一个有符号整数。它的十进制值 N 是多少？

1101 00018 bit
N =
2.数制困难
8 bit1 px1920 px1080 pxM = ? KiB

一幅未压缩图像为 1920 × 1080 像素，每像素 8 位。它占用多少内存 M（以 KiB 计，1 KiB = 1024 字节）？

1920 × 1080 px8 bit/px1 KiB = 1024 B
M = KiB
3.命题逻辑与证明中等
重言式矛盾式偶然式

(r → q) ↔ (q → r) 是重言式、矛盾式还是偶然式？点选你的答案。

(r → q) ↔ (q → r)
  1. 1重言式
  2. 2矛盾式
  3. 3偶然式
4.命题逻辑与证明困难
p ∧ qpq¬q

已知前提 p ∨ q; ¬p。由它们可以推出哪个结论？点选它。

p ∨ q¬p
  1. 1p ∧ q
  2. 2p
  3. 3q
  4. 4¬q
5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
ABCD000111100001111010110312041507061121130150140819011010

用卡诺图求 F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 5, 9, 12, 13) 的最简积之和 (SOP) 形式。它有多少个乘积项 N？

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 5, 9, 12, 13)
N =
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
ABCD00011110000111101001X31214150716112X131151140819111010

对于 F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 4, 5, 6, 9, 11, 12, 14, 15) + d(3, 13)（其中 d 表示无关项），求必要质蕴涵项的个数 N。

F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 4, 5, 6, 9, 11, 12, 14, 15) + d(3, 13)
N =
7.数论与模运算中等

求 4 模 43 的逆元：满足 0 < x < 43 且 4·x ≡ 1 (mod 43) 的数 x。

a = 4n = 43
4−1 mod 43 =
8.数论与模运算困难

89 是素数。用费马小定理求 330150 mod 89。

p = 89k = 30150
330150 mod 89 =
9.算法与复杂度中等

递推式 T(n) = 2T(n/2) + O(n) 的解是：

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
10.算法与复杂度困难

为什么在有序数组中任何基于比较的查找在最坏情况下都需要 Ω(log n) 次比较？

  1. A二分查找是唯一可能的算法，它需要 log₂ n 次比较
  2. B有 n 种可能结果的决策树，其深度至少为 log₂ n
  3. C每个元素都必须至少比较一次
  4. D每次比较都需要对数时间
11.数据结构中等

链表中哨兵（哑）节点的作用是什么？

  1. A存储元素的个数
  2. B防止链表增长超过固定的最大节点数
  3. C使链表有序
  4. D通过消除头部或尾部的特殊情况来简化代码
12.数据结构困难

对于数组中的每个元素，你想以总共 O(n) 的时间求出其右侧的下一个更大元素。哪种结构有帮助？

  1. A一棵为每个元素重建的二叉搜索树
  2. B一个保存尚在等待答案的元素的栈
  3. C一个包含所有元素的哈希表
  4. D一个保存每一对元素的队列
13.图论中等
ABCDEF欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 6|E| = 7
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
14.图论困难
3147612313103511ABCDEFG

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F
d(F) =
15.数据库与 SQL中等

为什么要在列上创建索引？

  1. A为了防止出现 NULL 值
  2. B为了加快这些列上的插入和更新
  3. C为了节省磁盘空间
  4. D为了加快这些列上的查找和连接
16.数据库与 SQL困难

哪个窗口函数在每个分区内为行分配 1、2、3……且不出现并列？

  1. ARANK()
  2. BROW_NUMBER()
  3. CCOUNT()
  4. DDENSE_RANK()
17.计算机网络中等

交换机通常工作在 OSI 的哪一层？

  1. A数据链路层（第 2 层）
  2. B传输层（第 4 层）
  3. C网络层（第 3 层）
  4. D物理层（第 1 层）
18.计算机网络困难

局域网上的攻击者发送伪造的 ARP 应答，声称自己拥有网关的 IP 地址。可能的结果是什么？

  1. A整个互联网上的所有 DNS 查询都失败
  2. B网关的 IP 地址在每台路由器上都被永久更改为攻击者的地址
  3. C受害者把发给网关的流量发给攻击者，使中间人攻击成为可能
  4. D交换机关闭其所有端口
19.IPv4 子网划分中等
/24 → /2611111111111111111111111111000000网络位主机位

网络 192.168.50.0/24 被划分为若干 /26 子网，从最低地址起编号为 1、2、3、…（子网 1 从 .0 开始）。子网 2 的网络地址的第四个八位组 x 是多少？

192.168.50.0/24/26子网 2 (子网 1 从 .0 开始)
x =
20.IPv4 子网划分困难

网络 192.168.231.0/24 用 VLSM 划分给以下局域网：A: 3 主机, B: 7 主机, C: 41 主机, D: 123 主机。子网从 .0 开始向上分配，主机最多的局域网先分配，每个局域网分配能容纳它的最小子网。局域网 C 的网络地址第四个八位组 x 是多少？

A: 3B: 7C: 41D: 123
x =

3溶液

1.数制

答案: N = −47

位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。

位权相加

其余各位保持正常的正权值。

−128 + 64 + 16 + 1 = −47

答案

N = −47
2.数制

答案: M = 2025 KiB

位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。

位和字节

1920·1080·8 = 16588800 bit = 2073600 B

换算为 KiB

2073600/1024 = 2025 KiB

答案

M = 2025 KiB
3.命题逻辑与证明

答案: 偶然式

逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

逐行写出真值表

q = 1, r = 1: r → q = 1, q → r = 1, (r → q) ↔ (q → r) = 1
q = 1, r = 0: r → q = 1, q → r = 0, (r → q) ↔ (q → r) = 0
q = 0, r = 1: r → q = 0, q → r = 1, (r → q) ↔ (q → r) = 0
q = 0, r = 0: r → q = 1, q → r = 1, (r → q) ↔ (q → r) = 1

分类

(r → q) ↔ (q → r): 1, 0, 0, 1
在 4 行中有 2 行为 1，其余为 0：偶然式。

答案

偶然式
4.命题逻辑与证明

答案: q

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

所有前提都为真的行

p = 0, q = 1: p ∧ q = 0, p = 0, q = 1, ¬q = 0

结论

q (析取三段论)

答案

q
5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 3

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

ABCD000111100001111010110312041507061121130150140819011010

圈 1

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

C′D
A′B′D′
ABC′

最简 SOP 形式

F = C′D + A′B′D′ + ABC′
N = 3

答案

N = 3
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 3

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

质蕴涵项

由 1 和 X 能够构成的最大的圈。

BD′, BC′, B′CD, A′D′, AD, AB, A′B′C
ABCD00011110000111101001X31214150716112X131151140819111010

必要质蕴涵项

BC′, A′D′, AD
N = 3

答案

N = 3
7.数论与模运算

答案: 4−1 mod 43 = 11

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

扩展欧几里得算法

每个余数 r 都写成 r ≡ t·4 (mod 43)。

r = 43, t = 0
r = 4, q = 10, t = 1
r = 3, q = 1, t = −10
r = 1, q = 3, t = 11

逆矩阵

1 ≡ 11·4 (mod 43)
x = 11
校核: 4·11 = 44 = 1·43 + 1

答案

4−1 mod 43 = 11
8.数论与模运算

答案: 330150 mod 89 = 47

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

化简指数

30150 mod 88 = 54
330150 ≡ 354 (mod 89)

小的幂

354 mod 89 = 47

答案

330150 mod 89 = 47
9.算法与复杂度

答案: A · O(n log n)

为什么是这个答案

根据主定理（master theorem）（a = 2, b = 2, f(n) = n），T(n) = Θ(n log n)。

答案

A · O(n log n)
10.算法与复杂度

答案: B · 有 n 种可能结果的决策树，其深度至少为 log₂ n

为什么是这个答案

每次比较至多把剩余的可能性减半，因此要区分 n 个位置至少需要 log₂ n 次比较。

答案

B · 有 n 种可能结果的决策树，其深度至少为 log₂ n
11.数据结构

答案: D · 通过消除头部或尾部的特殊情况来简化代码

为什么是这个答案

有了哨兵节点，每个真实节点都有前驱，因此在头部插入或删除无需特殊处理。

答案

D · 通过消除头部或尾部的特殊情况来简化代码
12.数据结构

答案: B · 一个保存尚在等待答案的元素的栈

为什么是这个答案

从左向右扫描，弹出栈中所有比当前元素小的元素（当前元素就是它们的答案），然后把当前元素压入；每个元素最多移动两次。

答案

B · 一个保存尚在等待答案的元素的栈
13.图论

答案: 有欧拉通路，无回路

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 2

奇度顶点

A, C → 2
有欧拉通路，无回路

答案

有欧拉通路，无回路

欧拉通路从一个奇度顶点出发，在另一个奇度顶点结束。

14.图论

答案: d(F) = 13

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 3
B (3): C: 17, D: 10, G: 13
D (10): E: 22, F: 13
F (13)
G (13): C: 16
C (16)
E (22)

最短路径

A → B → D → F
d(F) = 13

答案

d(F) = 13
15.数据库与 SQL

答案: D · 为了加快这些列上的查找和连接

为什么是这个答案

索引（通常是 B-tree）可以加快查找，但会占用空间，并会减慢需要维护索引的插入和更新操作。

答案

D · 为了加快这些列上的查找和连接
16.数据库与 SQL

答案: B · ROW_NUMBER()

为什么是这个答案

ROW_NUMBER 生成唯一的连续编号；RANK 在并列之后会留下间隔；DENSE_RANK 则不会。

答案

B · ROW_NUMBER()
17.计算机网络

答案: A · 数据链路层（第 2 层）

为什么是这个答案

标准交换机学习 MAC 地址并在第 2 层转发帧。三层交换机还具备路由功能。

答案

A · 数据链路层（第 2 层）
18.计算机网络

答案: C · 受害者把发给网关的流量发给攻击者，使中间人攻击成为可能

为什么是这个答案

ARP 欺骗用攻击者的 MAC 污染主机 ARP 缓存中网关 IP 的条目。攻击者随后可以读取、篡改或丢弃流量；动态 ARP 检测有助于防范这种攻击。

答案

C · 受害者把发给网关的流量发给攻击者，使中间人攻击成为可能
19.IPv4 子网划分

答案: x = 64

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

块大小

26 = 64

第 2 个子网

网络: (2 − 1)·64 = 64
广播: 64 + 64 − 1 = 127

答案

x = 64
20.IPv4 子网划分

答案: x = 128

VLSM：每个局域网分配满足 2ʰ − 2 ≥ 其主机数的最小子网，即前缀 32 − h。先分配最大的子网，可使每个块都对齐在其自身大小的倍数上，因此网络地址就是各块大小依次相加的结果。

每个局域网的块大小

D: 123 主机 → 27 = 128 (/25)
C: 41 主机 → 26 = 64 (/26)
B: 7 主机 → 24 = 16 (/28)
A: 3 主机 → 23 = 8 (/29)

分配顺序，从大到小

D: .0 – .127
C: .128 – .191
B: .192 – .207
A: .208 – .215

答案

x = 128

局域网 C：192.168.231.128/26。

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