计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权: 二进制 2^k，八进制 8^k，十六进制 16^k
转为十进制: Σ d_k·b^k
从十进制转换: 除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制: 一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码: 按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数: 2ⁿ
蕴涵: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小: 256 − (mask octet)
网络地址: IP AND 掩码
广播地址: IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数: 2ⁿ

2练习题

1.数制中等

设置各位，使其以 8 位补码存储 −80。按无符号数读取，该位模式的值 U 是多少？

N = −808 bit

U =

2.数制困难

把各位设置为 1101 1110 AND 0100 1000 的 8 位结果。该结果的十进制值 R 是多少？

1101 1110AND0100 1000

R =

3.命题逻辑与证明中等

在其真值表的 8 行中，((c ∨ b) ∨ a) → ¬((a → c) ∨ ¬b) 在多少行为真？把这个数记作 N。

((c ∨ b) ∨ a) → ¬((a → c) ∨ ¬b)

N =

4.命题逻辑与证明困难

把否定完全移到内部之后，哪个命题与 ¬∀x (F(x) → G(x)) 等价？点选它。

¬∀x (F(x) → G(x))

1∃x (¬F(x) ∧ G(x))
2∀x (F(x) ∧ ¬G(x))
3∀x (F(x) → ¬G(x))
4∃x (F(x) ∧ ¬G(x))

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

在这个卡诺图中，恰有一个 1 没有相邻的 1，所以它在最简 SOP 形式中仍是单个格子的圈（含四个文字的完整最小项）。跨越卡诺图边界的相邻关系也要计入。点选该格子。

F = Σm(0, 1, 2, 4, 6, 7, 8, 11)

1AB = 00, CD = 00
2AB = 00, CD = 01
3AB = 00, CD = 11
4AB = 00, CD = 10
5AB = 01, CD = 00
6AB = 01, CD = 01
7AB = 01, CD = 11
8AB = 01, CD = 10
9AB = 11, CD = 00
10AB = 11, CD = 01
11AB = 11, CD = 11
12AB = 11, CD = 10
13AB = 10, CD = 00
14AB = 10, CD = 01
15AB = 10, CD = 11
16AB = 10, CD = 10

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

一个 4 位环形计数器 Q₃Q₂Q₁Q₀ 从 1010 开始。每个时钟边沿，各位向右移动一位（Q₃ → Q₂ → Q₁ → Q₀），Q₃ 接收 Q₀。给出 5 个时钟边沿之后的状态 Q = Q₃Q₂Q₁Q₀，用十进制数表示。

Q₃Q₂Q₁Q₀ = 10105

Q =

7.数论与模运算中等

求 7 模 90 的逆元：满足 0 < x < 90 且 7·x ≡ 1 (mod 90) 的数 x。

a = 7n = 90

7⁻¹ mod 90 =

8.数论与模运算困难

在 {0, 1, …, 15} 中，6x ≡ 12 (mod 16) 有多少个解 N？

6x ≡ 12 (mod 16)

N =

9.算法与复杂度中等

说一个 O(n²) 算法也是 O(n³)，这正确吗？

A不正确，因为当 n 很大时 n³ 小于 n²
B不正确，因为 Big O 必须始终给出函数的确切增长率
C正确，因为 Big O 是上界，而 n² 的增长不比 n³ 快
D正确，但仅当 n 小于 100 时

10.算法与复杂度困难

为什么在单链表上二分查找不能达到 O(log n) 的时间？

A链表无法排序
B二分查找至少需要两倍的内存
C链表节点上的比较更慢
D由于不能按下标直接访问，到达中间元素需要 O(n) 步

11.数据结构中等

你持有一个位于链表中间的节点的引用。在哪种链表中可以在 O(1) 内删除它？

A有序数组
B单链表
C动态数组
D双向链表

12.数据结构困难

在 Kruskal 最小生成树算法中，并查集结构用来做什么？

A选择起始顶点
B按权重对边排序
C在搜索过程中存储每个顶点到源点的当前距离
D检查一条边的两个端点是否已经连通

13.图论中等

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 5|E| = 6

1欧拉回路
2有欧拉通路，无回路
3都不是

14.图论困难

求带权图的最小生成树的总权重 W。

|V| = 7|E| = 10

W =

15.数据库与 SQL中等

为什么 SELECT price * 2 AS double_price FROM t WHERE double_price > 10 在大多数数据库中会失败？

AWHERE 只能比较文本列
B别名中不能包含下划线
CSELECT 列表中不允许进行算术运算
DWHERE 在 SELECT 列表之前计算，此时别名还不存在

16.数据库与 SQL困难

哪种隔离级别可以防止脏读，但仍允许不可重复读？

A读已提交（Read committed）
B可重复读（Repeatable read）
C可串行化（Serializable）
D读未提交（Read uncommitted）

17.计算机网络中等

哪种 DNS 记录类型把主机名映射到 IPv6 地址？

AAAAA
BA
CMX
DCNAME

18.计算机网络困难

基于 TCP 的 HTTP/2 出现队头阻塞（head-of-line blocking）的原因是：

AHTTP/2 使用 UDP
B服务器无法处理并行请求
C一个丢失的 TCP 报文段会使所有多路复用的流延迟，直到该报文段被重传
D每个请求都需要自己新的 TCP 连接，因此后面的请求要排队等待

19.IPv4 子网划分中等

网络 10.70.144.0/20 被划分为前缀为 /26 的等大子网。共有多少个子网 N？

10.70.144.0/20/26

N =

20.IPv4 子网划分困难

某主机地址为 10.20.5.246/28。其子网广播地址的最后一个数（第四个八位组）x 是多少？

10.20.5.246/28

x =

3溶液

1.数制

答案: U = 176

设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。

取反加一

80 = 0101 0000

取反后: 1010 1111

+1 → 1011 0000

按无符号数读取

1011 0000₂ = 256 − 80 = 176

答案

U = 176

2.数制

答案: R = 72

逐位计算

AND 只有在两位都为 1 时才得 1。

1101 1110

AND 0100 1000

= 0100 1000

结果的值

0100 1000₂ = 72

答案

R = 72

3.命题逻辑与证明

答案: N = 2

真值表：含 n 个不同变量的公式有 2ⁿ 行，每一行对应真值的一种组合（1 = 真，0 = 假）。由内向外进行，给每个子公式单独一列。¬a 把值取反；a ∧ b 只有在两者都为 1 时才为 1；a ∨ b 只有在两者都为 0 时才为 0；a → b 只有在 a = 1 且 b = 0 时才为 0；a ↔ b 在两边相等时为 1。

逐行写出真值表

a = 1, b = 1, c = 1: c ∨ b = 1, (c ∨ b) ∨ a = 1, a → c = 1, ¬b = 0, (a → c) ∨ ¬b = 1, ¬((a → c) ∨ ¬b) = 0, ((c ∨ b) ∨ a) → ¬((a → c) ∨ ¬b) = 0

a = 1, b = 1, c = 0: c ∨ b = 1, (c ∨ b) ∨ a = 1, a → c = 0, ¬b = 0, (a → c) ∨ ¬b = 0, ¬((a → c) ∨ ¬b) = 1, ((c ∨ b) ∨ a) → ¬((a → c) ∨ ¬b) = 1

a = 1, b = 0, c = 1: c ∨ b = 1, (c ∨ b) ∨ a = 1, a → c = 1, ¬b = 1, (a → c) ∨ ¬b = 1, ¬((a → c) ∨ ¬b) = 0, ((c ∨ b) ∨ a) → ¬((a → c) ∨ ¬b) = 0

a = 1, b = 0, c = 0: c ∨ b = 0, (c ∨ b) ∨ a = 1, a → c = 0, ¬b = 1, (a → c) ∨ ¬b = 1, ¬((a → c) ∨ ¬b) = 0, ((c ∨ b) ∨ a) → ¬((a → c) ∨ ¬b) = 0

a = 0, b = 1, c = 1: c ∨ b = 1, (c ∨ b) ∨ a = 1, a → c = 1, ¬b = 0, (a → c) ∨ ¬b = 1, ¬((a → c) ∨ ¬b) = 0, ((c ∨ b) ∨ a) → ¬((a → c) ∨ ¬b) = 0

a = 0, b = 1, c = 0: c ∨ b = 1, (c ∨ b) ∨ a = 1, a → c = 1, ¬b = 0, (a → c) ∨ ¬b = 1, ¬((a → c) ∨ ¬b) = 0, ((c ∨ b) ∨ a) → ¬((a → c) ∨ ¬b) = 0

a = 0, b = 0, c = 1: c ∨ b = 1, (c ∨ b) ∨ a = 1, a → c = 1, ¬b = 1, (a → c) ∨ ¬b = 1, ¬((a → c) ∨ ¬b) = 0, ((c ∨ b) ∨ a) → ¬((a → c) ∨ ¬b) = 0

a = 0, b = 0, c = 0: c ∨ b = 0, (c ∨ b) ∨ a = 0, a → c = 1, ¬b = 1, (a → c) ∨ ¬b = 1, ¬((a → c) ∨ ¬b) = 0, ((c ∨ b) ∨ a) → ¬((a → c) ∨ ¬b) = 1

数出值为 1 的行数

((c ∨ b) ∨ a) → ¬((a → c) ∨ ¬b): 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1

N = 2

答案

N = 2

4.命题逻辑与证明

答案: ∃x (F(x) ∧ ¬G(x))

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

把否定移到内部

¬∀x (F(x) → G(x)) ≡ ∃x (F(x) ∧ ¬G(x))

答案

∃x (F(x) ∧ ¬G(x))

其他选项要么保持某个量词不变，要么改变了量词的顺序，要么错误地否定了内部的公式。

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: AB = 10, CD = 11

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

每个 1 的邻格

有相邻 1 的 1 可以加入由两个或更多格子组成的圈。

m11: m10, m9, m15, m3 → 0

孤立的 1

m11 = AB′CD → AB = 10, CD = 11

答案

AB = 10, CD = 11

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: Q = 5

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 f_clk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

每个边沿之后的状态

1010 → 0101 → 1010 → 0101 → 1010 → 0101

十进制值

0101₂ = 5

答案

Q = 5

7.数论与模运算

答案: 7⁻¹ mod 90 = 13

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

扩展欧几里得算法

每个余数 r 都写成 r ≡ t·7 (mod 90)。

r = 90, t = 0

r = 7, q = 12, t = 1

r = 6, q = 1, t = −12

r = 1, q = 6, t = 13

逆矩阵

1 ≡ 13·7 (mod 90)

x = 13

校核: 7·13 = 91 = 1·90 + 1

答案

7⁻¹ mod 90 = 13

8.数论与模运算

答案: N = 2

除以最大公约数

gcd(6, 16) = 2

3x ≡ 6 (mod 8)

解化简后的同余式

3⁻¹ ≡ 3 (mod 8) → x ≡ 2 (mod 8)

模 16 下的解

x ∈ {2, 10}

度

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 3

奇度顶点

B, E → 2

有欧拉通路，无回路

答案

有欧拉通路，无回路

欧拉通路从一个奇度顶点出发，在另一个奇度顶点结束。

14.图论

答案: W = 38

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

GD (1): 取

BC (3): 取

GB (4): 取

BD (5): 跳过，会形成圈

CE (6): 取

DE (9): 跳过，会形成圈

C · 一个丢失的 TCP 报文段会使所有多路复用的流延迟，直到该报文段被重传

19.IPv4 子网划分

答案: N = 64

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

借用位

26 − 20 = 6

子网数

N = 2⁶ = 64

答案

N = 64

每个 /26 子网有 2⁶ − 2 = 62 个可用主机。

20.IPv4 子网划分

答案: x = 255

IPv4 子网划分：一个地址有 32 位。前缀 /p 表示前面多少位标识网络；其余 32 − p 位为主机编号。一个子网有 2³²⁻ᵖ 个地址，但第一个（网络地址）和最后一个（广播地址）不能分配给主机，所以可容纳 2³²⁻ᵖ − 2 台主机。例外：/31（点对点链路，RFC 3021）的 2 个地址都用于主机，/32 只有一个地址（单个主机或环回地址）。

块大小

2⁴ = 16

该主机所在子网

网络: ⌊246/16⌋·16 = 240

广播: 240 + 16 − 1 = 255

可用主机: 241 … 254

答案

x = 255

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