计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权: 二进制 2^k，八进制 8^k，十六进制 16^k
转为十进制: Σ d_k·b^k
从十进制转换: 除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制: 一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码: 按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数: 2ⁿ
蕴涵: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小: 256 − (mask octet)
网络地址: IP AND 掩码
广播地址: IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数: 2ⁿ

2练习题

1.数制中等

8 位模式 0001 0010 以补码形式存储一个有符号整数。它的十进制值 N 是多少？

0001 00108 bit

N =

2.数制困难

把各位设置为 1010 1110 << 1 的 8 位结果。该结果的十进制值 R 是多少？

1010 1110<< 1

R =

3.命题逻辑与证明中等

(r ∧ p) → r 是重言式、矛盾式还是偶然式？点选你的答案。

(r ∧ p) → r

1重言式
2矛盾式
3偶然式

4.命题逻辑与证明困难

已知前提 r ∨ p; r → q; p → q。由它们可以推出哪个结论？点选它。

r ∨ pr → qp → q

1r
2¬q
3q
4r ∧ p

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

用卡诺图求 F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 3, 5, 6, 8, 13, 15) 的最简积之和 (SOP) 形式。它总共包含多少个文字 L（带撇的变量算一个文字）？

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 3, 5, 6, 8, 13, 15)

L =

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

同步模 9 计数器依次计 0, 1, …, 8，然后回到 0。它从 0 开始。经过 12 个时钟脉冲后，它显示的计数 Q（十进制）是多少？

Q₀ = 012N = 9

Q =

7.数论与模运算中等

求 17 模 37 的逆元：满足 0 < x < 37 且 17·x ≡ 1 (mod 37) 的数 x。

a = 17n = 37

17⁻¹ mod 37 =

8.数论与模运算困难

29 是素数。用费马小定理求 21¹⁵⁴⁴² mod 29。

p = 29k = 15442

21¹⁵⁴⁴² mod 29 =

9.算法与复杂度中等

在边权非负的图中，哪种算法用于求单源最短路径？

AKruskal 算法
B任何情况下都必须使用 Bellman–Ford
C深度优先搜索（DFS）
DDijkstra 算法

10.算法与复杂度困难

要证明一个新问题 X 是 NP 难（NP-hard）的，必须做什么？

A证明 X 对于小规模输入没有多项式算法
B把一个已知的 NP 难问题在多项式时间内归约到 X
C证明 X 能在多项式时间内被验证
D把 X 在多项式时间内归约到一个已知的 NP 难问题

11.数据结构中等

一个道路网络有 100,000 个路口，每个路口大约与另外 4 个路口相连。哪种表示方法最合适？

A一个有序的顶点数组
B邻接表
C邻接矩阵
D一个由边组成的二叉堆

12.数据结构困难

关于堆排序，下列哪个说法是正确的？

A它需要一棵二叉搜索树作为额外存储，因此使用 O(n) 的额外内存
B它是稳定的，并且需要 O(n) 的额外内存
C它在任何输入上都以 O(n) 时间运行
D它在最坏情况下以 O(n log n) 时间原地排序，但不稳定

13.图论中等

一个连通图有 11 个顶点和 13 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 11|E| = 13

k =

14.图论困难

从 B 到 F 的长度为 3 的途径有多少条？途径可以重复顶点和边。把这个数记作 N。

M = 邻接矩阵L = 3

N =

15.数据库与 SQL中等

一个外键声明了 ON DELETE CASCADE。删除父行时会发生什么？

A父行被复制到归档表中
B引用它的子行会被自动删除
C子行中的外键自动被设为 NULL
D删除总是被拒绝

16.数据库与 SQL困难

把 R 分解为 R1 和 R2 在什么情况下保证是无损的？

AR1 和 R2 的公共属性构成 R1 或 R2 的超键时
BR1 和 R2 的列数相同时
CR1 和 R2 没有公共属性时
DR 的每个属性都同时出现在 R1 和 R2 中时

17.计算机网络中等

把一个 1500 字节的数据包发送到 12 Mbit/s 的链路上需要多长时间（发送时延）？

A8 ms
B1 ms
C12 ms
D0.125 ms

18.计算机网络困难

在 SYN 泛洪攻击中，攻击者试图耗尽什么资源？

A交换机的 MAC 地址表
B客户端的 DNS 缓存
C服务器的半开连接表
D服务器的磁盘空间

19.IPv4 子网划分中等

一个子网使用掩码 255.255.255.252。它有多少个可用主机地址 H？

255.255.255.252

H =

20.IPv4 子网划分困难

某主机地址为 10.20.41.111/25。其子网中最后一个可用主机地址的第四个八位组 x 是多少？

10.20.41.111/25

x =

3溶液

1.数制

答案: N = 18

位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。

位权相加

其余各位保持正常的正权值。

16 + 2 = 18

答案

N = 18

2.数制

答案: R = 92

设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。

逐位计算

左移 1 位，把每一位向左移动 1 个位置；从左端移出的位丢失，右侧补入 0。

1010 1110 << 1

= 0101 1100

结果的值

0101 1100₂ = 92

答案

R = 92

3.命题逻辑与证明

答案: 重言式

逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

逐行写出真值表

p = 1, r = 1: r ∧ p = 1, (r ∧ p) → r = 1

p = 1, r = 0: r ∧ p = 0, (r ∧ p) → r = 1

p = 0, r = 1: r ∧ p = 0, (r ∧ p) → r = 1

p = 0, r = 0: r ∧ p = 0, (r ∧ p) → r = 1

分类

(r ∧ p) → r: 1, 1, 1, 1

每一行都是 1：重言式。

答案

重言式

4.命题逻辑与证明

答案: q

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

所有前提都为真的行

p = 1, q = 1, r = 1: r = 1, ¬q = 0, q = 1, r ∧ p = 1

p = 1, q = 1, r = 0: r = 0, ¬q = 0, q = 1, r ∧ p = 0

p = 0, q = 1, r = 1: r = 1, ¬q = 0, q = 1, r ∧ p = 0

结论

q (分情形证明)

答案

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: L = 14

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

圈 1

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

B′C′D′

BC′D

A′CD′

A′B′

ABD

最简 SOP 形式

F = B′C′D′ + BC′D + A′CD′ + A′B′ + ABD

L = 14

答案

L = 14

还存在另一种大小相同的圈法；它的项数和文字数相同。

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: Q = 3

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 f_clk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

完整循环

每 9 个脉冲使计数器回到相同的状态。

12 = 1·9 + 3

剩余脉冲之后的计数

Q = (0 + 3) mod 9 = 3

Q = 0011₂

答案

Q = 3

7.数论与模运算

答案: 17⁻¹ mod 37 = 24

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

扩展欧几里得算法

每个余数 r 都写成 r ≡ t·17 (mod 37)。

r = 37, t = 0

r = 17, q = 2, t = 1

r = 3, q = 5, t = −2

r = 2, q = 1, t = 11

r = 1, q = 2, t = −13

逆矩阵

1 ≡ −13·17 (mod 37)

x = 24

校核: 17·24 = 408 = 11·37 + 1

答案

17⁻¹ mod 37 = 24

8.数论与模运算

答案: 21¹⁵⁴⁴² mod 29 = 28

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

D · 它在最坏情况下以 O(n log n) 时间原地排序，但不稳定

13.图论

答案: k = 3

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；K_n 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

生成树的边数

11 − 1 = 10

要去掉的边数

k = 13 − 10 = 3

答案

k = 3

14.图论

答案: N = 3

度：顶点的度是与它相连的边的条数。每条边有两个端点，所以度数之和等于边数的两倍：Σ deg(v) = 2|E|（握手引理）。因此奇度顶点的个数是偶数。K_n 有 n(n − 1)/2 条边，n 个顶点的 k-正则图有 nk/2 条边，n 个顶点的树有 n − 1 条边。

邻接矩阵

A: 0 1 1 0 0 0

B: 1 0 1 1 1 0

C: 1 1 0 0 1 0

C · 服务器的半开连接表

19.IPv4 子网划分

答案: H = 2

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

前缀长度

255.255.255.252 = /30

可用主机数

2² − 2 = 2

答案

H = 2

20.IPv4 子网划分

答案: x = 126

IPv4 子网划分：一个地址有 32 位。前缀 /p 表示前面多少位标识网络；其余 32 − p 位为主机编号。一个子网有 2³²⁻ᵖ 个地址，但第一个（网络地址）和最后一个（广播地址）不能分配给主机，所以可容纳 2³²⁻ᵖ − 2 台主机。例外：/31（点对点链路，RFC 3021）的 2 个地址都用于主机，/32 只有一个地址（单个主机或环回地址）。

块大小

2⁷ = 128

该主机所在子网

网络: ⌊111/128⌋·128 = 0

广播: 0 + 128 − 1 = 127

可用主机: 1 … 126

答案

x = 126

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