计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权: 二进制 2^k，八进制 8^k，十六进制 16^k
转为十进制: Σ d_k·b^k
从十进制转换: 除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制: 一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码: 按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数: 2ⁿ
蕴涵: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小: 256 − (mask octet)
网络地址: IP AND 掩码
广播地址: IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数: 2ⁿ

2练习题

1.数制中等

8 位模式 1100 0011 以补码形式存储一个有符号整数。它的十进制值 N 是多少？

1100 00118 bit

N =

2.数制困难

把各位设置为 1110 0110 << 2 的 8 位结果。该结果的十进制值 R 是多少？

1110 0110<< 2

R =

3.命题逻辑与证明中等

在其真值表的 8 行中，(a → ¬(c ∨ b)) → (b ∨ (a → c)) 在多少行为真？把这个数记作 N。

(a → ¬(c ∨ b)) → (b ∨ (a → c))

N =

4.命题逻辑与证明困难

把否定完全移到内部之后，哪个命题与 ¬∀x ∃y R(x, y) 等价？点选它。

¬∀x ∃y R(x, y)

1∃x ∀y ¬R(x, y)
2∀x ∃y ¬R(x, y)
3∃y ∀x ¬R(x, y)
4∀x ∀y ¬R(x, y)

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

用卡诺图求 F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 4, 5, 6, 15) 的最简积之和 (SOP) 形式。它有多少个乘积项 N？

F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 4, 5, 6, 15)

N =

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

对于 F(A, B, C, D) = Σm(10, 12, 13, 14) + d(3, 5, 6)（其中 d 表示无关项），求必要质蕴涵项的个数 N。

F(A, B, C, D) = Σm(10, 12, 13, 14) + d(3, 5, 6)

N =

7.数论与模运算中等

求 45 模 97 的逆元：满足 0 < x < 97 且 45·x ≡ 1 (mod 97) 的数 x。

a = 45n = 97

45⁻¹ mod 97 =

8.数论与模运算困难

用 RSA 公钥 (n, e) = (143, 17) 加密消息 m = 56。求密文 c。

n = 143e = 17m = 56

c =

9.算法与复杂度中等

在边权非负的图中，哪种算法用于求单源最短路径？

ADijkstra 算法
B深度优先搜索（DFS）
CKruskal 算法
D任何情况下都必须使用 Bellman–Ford

10.算法与复杂度困难

关于类 NP 的哪个定义是正确的？

A不能在多项式时间内求解的问题
B任何算法都无法求解的问题
C给定证书时，其"是"答案能在多项式时间内验证的判定问题
D非多项式的问题

11.数据结构中等

在使用开放寻址法的哈希表中，可能的最大负载因子是多少？

A没有最大值
B2
C1
D0.5

12.数据结构困难

对于数组中的每个元素，你想以总共 O(n) 的时间求出其右侧的下一个更大元素。哪种结构有帮助？

A一棵为每个元素重建的二叉搜索树
B一个包含所有元素的哈希表
C一个保存尚在等待答案的元素的栈
D一个保存每一对元素的队列

13.图论中等

一棵树有 3 个度为 4 的顶点, 4 个度为 5 的顶点, 2 个度为 2 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？

3 × deg 44 × deg 52 × deg 2

L =

14.图论困难

求带权图的最小生成树的总权重 W。

|V| = 6|E| = 8

W =

15.数据库与 SQL中等

当 WHERE 子句没有匹配任何行时，SELECT SUM(amount) FROM orders 返回什么？

A空字符串
B报错
CNULL
D0

16.数据库与 SQL困难

一个表有一百万行，布尔列 is_active 中有 95% 为 TRUE。为什么对于 WHERE is_active = TRUE，优化器可能不使用 is_active 上的索引？

A大多数行都匹配，因此全表扫描比大量索引查找更便宜
B优化器从不在 WHERE 子句中使用索引
C不能在布尔列上创建索引
D索引把 TRUE 当作 NULL 处理

17.计算机网络中等

HTTP 方法 GET 和 POST 的主要区别是什么？

AGET 使用 UDP，POST 使用 TCP
BGET 删除资源，POST 从服务器的数据库读取资源
CGET 是加密的，POST 不是
DGET 获取资源，POST 在请求体中提交数据

18.计算机网络困难

为什么 IPv6 不需要用 NAT 来解决地址短缺问题？

AIPv6 只在本地网络中工作，因此地址永远不需要全局共享
B其 128 位地址空间足够大，可以为每台设备分配全局地址
CIPv6 不使用地址
DIPv6 会加密所有地址

19.IPv4 子网划分中等

一个子网使用掩码 255.255.255.128。它有多少个可用主机地址 H？

255.255.255.128

H =

20.IPv4 子网划分困难

一台路由器有到以下网络的路由：10.121.120.0/24, 10.121.121.0/24, 10.121.122.0/24, 10.121.123.0/24, 10.121.124.0/24。能覆盖所有这些网络的单条汇总路由，其最长前缀长度 p 是多少？

10.121.120.0/24 … 10.121.124.0/24

p =

3溶液

1.数制

答案: N = −61

位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。

位权相加

其余各位保持正常的正权值。

−128 + 64 + 2 + 1 = −61

答案

N = −61

2.数制

答案: R = 152

设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。

逐位计算

左移 2 位，把每一位向左移动 2 个位置；从左端移出的位丢失，右侧补入 0。

1110 0110 << 2

= 1001 1000

结果的值

1001 1000₂ = 152

答案

R = 152

3.命题逻辑与证明

答案: N = 7

真值表：含 n 个不同变量的公式有 2ⁿ 行，每一行对应真值的一种组合（1 = 真，0 = 假）。由内向外进行，给每个子公式单独一列。¬a 把值取反；a ∧ b 只有在两者都为 1 时才为 1；a ∨ b 只有在两者都为 0 时才为 0；a → b 只有在 a = 1 且 b = 0 时才为 0；a ↔ b 在两边相等时为 1。

逐行写出真值表

a = 1, b = 1, c = 1: c ∨ b = 1, ¬(c ∨ b) = 0, a → ¬(c ∨ b) = 0, a → c = 1, b ∨ (a → c) = 1, (a → ¬(c ∨ b)) → (b ∨ (a → c)) = 1

a = 1, b = 1, c = 0: c ∨ b = 1, ¬(c ∨ b) = 0, a → ¬(c ∨ b) = 0, a → c = 0, b ∨ (a → c) = 1, (a → ¬(c ∨ b)) → (b ∨ (a → c)) = 1

a = 1, b = 0, c = 1: c ∨ b = 1, ¬(c ∨ b) = 0, a → ¬(c ∨ b) = 0, a → c = 1, b ∨ (a → c) = 1, (a → ¬(c ∨ b)) → (b ∨ (a → c)) = 1

a = 1, b = 0, c = 0: c ∨ b = 0, ¬(c ∨ b) = 1, a → ¬(c ∨ b) = 1, a → c = 0, b ∨ (a → c) = 0, (a → ¬(c ∨ b)) → (b ∨ (a → c)) = 0

a = 0, b = 1, c = 1: c ∨ b = 1, ¬(c ∨ b) = 0, a → ¬(c ∨ b) = 1, a → c = 1, b ∨ (a → c) = 1, (a → ¬(c ∨ b)) → (b ∨ (a → c)) = 1

a = 0, b = 1, c = 0: c ∨ b = 1, ¬(c ∨ b) = 0, a → ¬(c ∨ b) = 1, a → c = 1, b ∨ (a → c) = 1, (a → ¬(c ∨ b)) → (b ∨ (a → c)) = 1

a = 0, b = 0, c = 1: c ∨ b = 1, ¬(c ∨ b) = 0, a → ¬(c ∨ b) = 1, a → c = 1, b ∨ (a → c) = 1, (a → ¬(c ∨ b)) → (b ∨ (a → c)) = 1

a = 0, b = 0, c = 0: c ∨ b = 0, ¬(c ∨ b) = 1, a → ¬(c ∨ b) = 1, a → c = 1, b ∨ (a → c) = 1, (a → ¬(c ∨ b)) → (b ∨ (a → c)) = 1

数出值为 1 的行数

(a → ¬(c ∨ b)) → (b ∨ (a → c)): 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1

N = 7

答案

N = 7

4.命题逻辑与证明

答案: ∃x ∀y ¬R(x, y)

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

把否定移到内部

¬∀x ∃y R(x, y) ≡ ∃x ∀y ¬R(x, y)

答案

∃x ∀y ¬R(x, y)

其他选项要么保持某个量词不变，要么改变了量词的顺序，要么错误地否定了内部的公式。

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 4

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

圈 1

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

A′C′D

A′CD′

A′BD′

ABCD

最简 SOP 形式

F = A′C′D + A′CD′ + A′BD′ + ABCD

N = 4

答案

N = 4

还存在另一种大小相同的圈法；它的项数和文字数相同。

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 1

质蕴涵项

由 1 和 X 能够构成的最大的圈。

BC′D, BCD′, ACD′, ABD′, ABC′

必要质蕴涵项

ACD′

N = 1

答案

N = 1

7.数论与模运算

答案: 45⁻¹ mod 97 = 69

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

扩展欧几里得算法

每个余数 r 都写成 r ≡ t·45 (mod 97)。

r = 97, t = 0

r = 45, q = 2, t = 1

r = 7, q = 6, t = −2

r = 3, q = 2, t = 13

r = 1, q = 3, t = −28

逆矩阵

1 ≡ −28·45 (mod 97)

x = 69

校核: 45·69 = 3105 = 32·97 + 1

答案

45⁻¹ mod 97 = 69

8.数论与模运算

答案: c = 23

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

反复平方

17 = 16 + 1

56¹ ≡ 56 (mod 143)

56² ≡ 133 (mod 143)

56⁴ ≡ 100 (mod 143)

C · 一个保存尚在等待答案的元素的栈

13.图论

答案: L = 20

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；K_n 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

树的握手引理

L + 36 = 2(L + 9) − 2

L = 20

答案

L = 20

捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。

14.图论

答案: W = 34

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

DF (1): 取

BD (5): 取

AB (6): 取

B · 其 128 位地址空间足够大，可以为每台设备分配全局地址

19.IPv4 子网划分

答案: H = 126

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

前缀长度

255.255.255.128 = /25

可用主机数

2⁷ − 2 = 126

答案

H = 126

20.IPv4 子网划分

答案: p = 21

路由汇总：汇总路由 a.b.c.0/p 覆盖前 p 位相同的所有网络。把第一个和最后一个网络中不同的那个八位组写成二进制；相同的前导位数加上它前面各八位组的位数，就是最长的汇总前缀。

比较各位

120 = 01111000

124 = 01111100

相同的前导位：5

前缀长度

p = 16 + 5 = 21

答案

p = /21

汇总路由：10.121.120.0/21 （它还覆盖了列表中没有的 3 个网络）。

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