计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

数制

位权: 二进制 2^k，八进制 8^k，十六进制 16^k
转为十进制: Σ d_k·b^k
从十进制转换: 除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制: 一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码: 按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数: 2ⁿ
蕴涵: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小: 256 − (mask octet)
网络地址: IP AND 掩码
广播地址: IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数: 2ⁿ

2练习题

1.数制中等

设置各位，使其以 8 位补码存储 −35。按无符号数读取，该位模式的值 U 是多少？

N = −358 bit

U =

2.数制困难

把各位设置为 1110 0010 XOR 1100 1001 的 8 位结果。该结果的十进制值 R 是多少？

1110 0010XOR1100 1001

R =

3.命题逻辑与证明中等

你想用逆否证明来证明 p → (r ∧ q)。你要改为证明哪个蕴涵？点选它。

p → (r ∧ q)

1p ∧ ¬(r ∧ q)
2¬(r ∧ q) → ¬p
3(r ∧ q) → p
4¬p → ¬(r ∧ q)

4.命题逻辑与证明困难

把否定完全移到内部之后，哪个命题与 ¬∃x ∀y R(x, y) 等价？点选它。

¬∃x ∀y R(x, y)

1∀x ∀y ¬R(x, y)
2∀x ∃y ¬R(x, y)
3∃x ∃y ¬R(x, y)
4∃x ∀y ¬R(x, y)

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

把 F = A′BC′ + BC′ + A′B′C′ 化简为最简积之和形式。化简后的表达式包含多少个文字 L？

F = A′BC′ + BC′ + A′B′C′

L =

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

一个 6 位行波（异步）计数器由传播延迟均为 10 ns 的触发器构成。所有输出必须在下一个时钟边沿之前稳定下来。求最高时钟频率 f_max。

n = 6t_pd = 10 ns

f_max = MHz

7.数论与模运算中等

求欧拉函数 φ(1715)，即 1 到 1715 中与 1715 互素的整数个数。

n = 1715 = 5·7³

φ(1715) =

8.数论与模运算困难

用 RSA 公钥 (n, e) = (221, 7) 加密消息 m = 54。求密文 c。

n = 221e = 7m = 54

c =

9.算法与复杂度中等

对长度为 m 和 n 的两个字符串求最长公共子序列，标准动态规划算法的时间复杂度是多少？

AO(2^m+n)
BO(m + n)
CO(mn log n)
DO(mn)

10.算法与复杂度困难

如果有人为某个 NP 完全问题找到了多项式时间算法，会有什么结果？

A只有那一个问题会进入 P
BNP 中的每个问题都能在多项式时间内求解，因此 P = NP
C停机问题将变得可判定
D所有指数时间算法都会立即变成线性时间

11.数据结构中等

AVL 树在每个节点上维持什么平衡条件？

A所有叶子都恰好位于同一深度
B每个节点的两棵子树包含完全相同数量的节点
C左右子树的高度之差至多为 1
D每个节点都被着成红色或黑色

12.数据结构困难

建立在 n 个数的数组上的树状数组（Fenwick tree，binary indexed tree）以 O(log n) 支持哪些操作？

A在任意位置插入元素
B前缀和查询和单个元素更新
C对数组排序和二分查找
D以 O(1) 求中位数

13.图论中等

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 5|E| = 5

1欧拉回路
2有欧拉通路，无回路
3都不是

14.图论困难

迪杰斯特拉算法从 A 开始运行。点选在第 5 轮被确定（成为永久标号）的顶点；A 本身是第 1 轮。

起点：A轮 5

15.数据库与 SQL中等

当 WHERE 子句没有匹配任何行时，SELECT SUM(amount) FROM orders 返回什么？

ANULL
B空字符串
C0
D报错

16.数据库与 SQL困难

为什么带有 WHERE YEAR(order_date) = 2025 的查询可能不会使用 order_date 上的索引？

A索引永远不能用于日期
Border_date 上的索引只用于 ORDER BY 子句，绝不用于 WHERE
CYEAR 不是合法的 SQL
D对列应用函数会妨碍简单的索引范围查找

17.计算机网络中等

子网掩码 255.255.255.0 对应的 CIDR 表示法是什么？

A/16
B/32
C/24
D/8

18.计算机网络困难

无穷计数问题出现在哪类路由协议中？什么方法有助于应对它？

A链路状态协议；泛洪链路更新
B路径向量协议；更长的 AS 路径
C静态路由；添加默认路由
D距离向量协议；水平分割和毒性逆转

19.IPv4 子网划分中等

网络 192.168.46.0/24 被划分为若干 /28 子网，从最低地址起编号为 1、2、3、…（子网 1 从 .0 开始）。子网 4 的网络地址的第四个八位组 x 是多少？

192.168.46.0/24/28子网 4 (子网 1 从 .0 开始)

x =

20.IPv4 子网划分困难

网络 192.168.31.0/24 用 VLSM 划分给以下局域网：A: 20 主机, B: 21 主机, C: 9 主机, D: 50 主机, E: 3 主机。子网从 .0 开始向上分配，主机最多的局域网先分配，每个局域网分配能容纳它的最小子网。局域网 B 的网络地址第四个八位组 x 是多少？

A: 20B: 21C: 9D: 50E: 3

x =

3溶液

1.数制

答案: U = 221

设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。

取反加一

35 = 0010 0011

取反后: 1101 1100

+1 → 1101 1101

按无符号数读取

1101 1101₂ = 256 − 35 = 221

答案

U = 221

2.数制

答案: R = 43

逐位计算

XOR 在两位不同时得 1。

1110 0010

XOR 1100 1001

= 0010 1011

结果的值

0010 1011₂ = 43

答案

R = 43

3.命题逻辑与证明

答案: ¬(r ∧ q) → ¬p

逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

蕴涵的各个部分

a = p, b = r ∧ q

逆否命题

¬b → ¬a = ¬(r ∧ q) → ¬p

答案

¬(r ∧ q) → ¬p

逆否命题与原命题等价，所以证明了它就证明了原命题。

4.命题逻辑与证明

答案: ∀x ∃y ¬R(x, y)

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

把否定移到内部

¬∃x ∀y R(x, y) ≡ ∀x ∃y ¬R(x, y)

答案

∀x ∃y ¬R(x, y)

其他选项要么保持某个量词不变，要么改变了量词的顺序，要么错误地否定了内部的公式。

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: L = 4

布尔代数：化简表达式的规则有 X + X′ = 1 和 X·X′ = 0、X + X = X、吸收律 X + X·Y = X、合并律 X·Y + X·Y′ = X、X + X′Y = X + Y，以及一致性定理 XY + X′Z + YZ = XY + X′Z。德摩根律把 (X·Y)′ 变成 X′ + Y′，把 (X + Y)′ 变成 X′·Y′。卡诺图以图形方式应用这些规则：每个由两个相邻格子组成的圈，就是一次使用 XY + XY′ = X。

φ(1715) = 1176

8.数论与模运算

答案: c = 11

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

反复平方

7 = 4 + 2 + 1

54¹ ≡ 54 (mod 221)

B · 前缀和查询和单个元素更新

13.图论

答案: 都不是

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；K_n 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 2

奇度顶点

A, B, C, D → 4

都不是

答案

都不是

14.图论

答案: D

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

1. A (0): C: 8

2. C (8): B: 16, E: 21

3. B (16): D: 26

4. E (21): F: 34

5. D (26): F: 27

发生故障后，距离向量路由器可能继续互相通告过时的路由，使度量值缓慢上升。水平分割、毒性逆转和最大度量值可以限制这一问题。

答案

D · 距离向量协议；水平分割和毒性逆转

19.IPv4 子网划分

答案: x = 48

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

块大小

2⁴ = 16

第 4 个子网

网络: (4 − 1)·16 = 48

广播: 48 + 16 − 1 = 63

答案

x = 48

20.IPv4 子网划分

答案: x = 64

VLSM：每个局域网分配满足 2ʰ − 2 ≥ 其主机数的最小子网，即前缀 32 − h。先分配最大的子网，可使每个块都对齐在其自身大小的倍数上，因此网络地址就是各块大小依次相加的结果。

每个局域网的块大小

D: 50 主机 → 2⁶ = 64 (/26)

B: 21 主机 → 2⁵ = 32 (/27)

A: 20 主机 → 2⁵ = 32 (/27)

C: 9 主机 → 2⁴ = 16 (/28)

E: 3 主机 → 2³ = 8 (/29)

分配顺序，从大到小

D: .0 – .63

B: .64 – .95

A: .96 – .127

C: .128 – .143

E: .144 – .151

答案

x = 64

局域网 B：192.168.31.64/27。

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals