计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

数制

位权: 二进制 2^k，八进制 8^k，十六进制 16^k
转为十进制: Σ d_k·b^k
从十进制转换: 除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制: 一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码: 按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数: 2ⁿ
蕴涵: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小: 256 − (mask octet)
网络地址: IP AND 掩码
广播地址: IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数: 2ⁿ

2练习题

1.数制中等

设置各位，使其以 8 位补码存储 −56。按无符号数读取，该位模式的值 U 是多少？

N = −568 bit

U =

2.数制困难

把各位设置为 0011 0110 << 1 的 8 位结果。该结果的十进制值 R 是多少？

0011 0110<< 1

R =

3.命题逻辑与证明中等

哪个公式与 ¬(q ↔ r) 在逻辑上等价？点选它。

¬(q ↔ r)

1q ∧ ¬r
2q ↔ ¬r
3¬q ∨ ¬r
4¬q ↔ ¬r

4.命题逻辑与证明困难

把否定完全移到内部之后，哪个命题与 ¬∀x (A(x) → ∃y R(x, y)) 等价？点选它。

¬∀x (A(x) → ∃y R(x, y))

1∃x (¬A(x) ∧ ∃y R(x, y))
2∀x (A(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))
3∃x (A(x) → ∀y ¬R(x, y))
4∃x (A(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

把 F = BC′ + B′C + BC 化简为最简积之和形式。化简后的表达式包含多少个文字 L？

F = BC′ + B′C + BC

L =

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

一个上升沿触发的 T 触发器从 Q = 0 开始，在 7 个时钟上升沿接收到所示的输入。Q 改变状态的次数 N 是多少？

Q₀ = 0T

N =

7.数论与模运算中等

求 3 模 32 的逆元：满足 0 < x < 32 且 3·x ≡ 1 (mod 32) 的数 x。

a = 3n = 32

3⁻¹ mod 32 =

8.数论与模运算困难

41 是素数。用费马小定理求 18⁴⁷⁷⁶⁸ mod 41。

p = 41k = 47768

18⁴⁷⁷⁶⁸ mod 41 =

9.算法与复杂度中等

一个函数先运行一个 n 次迭代的循环，然后再单独运行另一个 n 次迭代的循环。它的时间复杂度是多少？

AO(2ⁿ)
BO(n)
CO(log n)
DO(n²)

10.算法与复杂度困难

哪种技术能使快速排序在任意输入上的期望运行时间为 O(n log n)？

A只对左侧进行递归
B均匀随机地选择基准
C在运行快速排序前先对输入排序
D总是选择第一个元素

11.数据结构中等

关于无向图的邻接矩阵，下列哪项是正确的？

A它的主对角线上总是 1
B每一行恰好有一个 1
C它总是上三角矩阵
D它关于主对角线对称

12.数据结构困难

红黑树必须满足哪条性质？

A从任一节点到其所有后代叶子的每条路径上，黑色节点的数量都相同
B根节点必须是红色
C每个节点都必须是红色
D每个红色节点的子节点必须是红色，因此红色节点总是沿着通向叶子的路径连成不间断的链

13.图论中等

完全图 K₇ 有多少条不同的哈密顿回路 H？只是起点或方向不同的回路算作同一条。

K₇

H =

14.图论困难

从 A 到 E 的长度为 3 的途径有多少条？途径可以重复顶点和边。把这个数记作 N。

M = 邻接矩阵L = 3

N =

15.数据库与 SQL中等

一个表中有些行的 col 为 NULL。WHERE col = NULL 返回哪些行？

A在每种数据库中都报错
B返回表中的所有行
C只返回 col 为 NULL 的行，与 IS NULL 相同
D不返回任何行，因为比较结果是未知

16.数据库与 SQL困难

相关子查询（correlated subquery）是指：

A只在外层查询之前运行一次，并将结果缓存供每一行使用
B引用外层查询的列，并针对外层的每一行进行求值的子查询
C只使用聚合函数的子查询
D通过外键连接两个表的子查询

17.计算机网络中等

把一个 1500 字节的数据包发送到 12 Mbit/s 的链路上需要多长时间（发送时延）？

A12 ms
B0.125 ms
C8 ms
D1 ms

18.计算机网络困难

一个远程终端应用程序反应迟缓，因为小的按键数据包被延迟发送。通常是哪种 TCP 机制造成的？

A慢启动
B快速重传
C三次握手
DNagle 算法

19.IPv4 子网划分中等

网络 10.155.60.0/22 被划分为前缀为 /27 的等大子网。共有多少个子网 N？

10.155.60.0/22/27

N =

20.IPv4 子网划分困难

某主机地址为 10.20.229.88/26。其子网广播地址的最后一个数（第四个八位组）x 是多少？

10.20.229.88/26

x =

3溶液

1.数制

答案: U = 200

设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。

取反加一

56 = 0011 1000

取反后: 1100 0111

+1 → 1100 1000

按无符号数读取

1100 1000₂ = 256 − 56 = 200

答案

U = 200

2.数制

答案: R = 108

逐位计算

左移 1 位，把每一位向左移动 1 个位置；从左端移出的位丢失，右侧补入 0。

0011 0110 << 1

= 0110 1100

结果的值

0110 1100₂ = 108

答案

R = 108

3.命题逻辑与证明

答案: q ↔ ¬r

逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

定律

¬(a ↔ b) 恰好在 a 和 b 不同时为 1，即 a ↔ ¬b。

¬(q ↔ r) ≡ q ↔ ¬r

用真值表检验

q = 1, r = 1: 0 | 0 0 0 1

q = 1, r = 0: 1 | 1 1 1 0

q = 0, r = 1: 1 | 0 1 1 0

q = 0, r = 0: 0 | 0 0 1 1

答案

q ↔ ¬r

竖线之后的各列是按所示顺序排列的各个选项。

4.命题逻辑与证明

答案: ∃x (A(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

把否定移到内部

¬∀x (A(x) → ∃y R(x, y)) ≡ ∃x (A(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))

答案

∃x (A(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))

其他选项要么保持某个量词不变，要么改变了量词的顺序，要么错误地否定了内部的公式。

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: L = 2

布尔代数：化简表达式的规则有 X + X′ = 1 和 X·X′ = 0、X + X = X、吸收律 X + X·Y = X、合并律 X·Y + X·Y′ = X、X + X′Y = X + Y，以及一致性定理 XY + X′Z + YZ = XY + X′Z。德摩根律把 (X·Y)′ 变成 X′ + Y′，把 (X + Y)′ 变成 X′·Y′。卡诺图以图形方式应用这些规则：每个由两个相邻格子组成的圈，就是一次使用 XY + XY′ = X。

表达式的最小项

BC′ → m(2, 6)

B′C → m(1, 5)

BC → m(3, 7)

圈组并读出结果

F = C + B

数出文字个数

L = 2

答案

L = 2

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 5

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 f_clk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

每个边沿之后的 Q

T 触发器在 T = 1 时每个上升沿翻转，在 T = 0 时保持。

1: T = 1 → Q = 1

2: T = 1 → Q = 0

3: T = 0 → Q = 0

4: T = 0 → Q = 0

5: T = 1 → Q = 1

6: T = 1 → Q = 0

7: T = 1 → Q = 1

数出变化的次数

0 → 1 → 0 → 0 → 0 → 1 → 0 → 1

N = 5

答案

N = 5

7.数论与模运算

答案: 3⁻¹ mod 32 = 11

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

扩展欧几里得算法

每个余数 r 都写成 r ≡ t·3 (mod 32)。

r = 32, t = 0

r = 3, q = 10, t = 1

r = 2, q = 1, t = −10

r = 1, q = 2, t = 11

逆矩阵

1 ≡ 11·3 (mod 32)

x = 11

校核: 3·11 = 33 = 1·32 + 1

答案

3⁻¹ mod 32 = 11

8.数论与模运算

答案: 18⁴⁷⁷⁶⁸ mod 41 = 10

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

A · 从任一节点到其所有后代叶子的每条路径上，黑色节点的数量都相同

13.图论

答案: H = 360

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；K_n 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

计数

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

答案

H = 360

14.图论

答案: N = 1

度：顶点的度是与它相连的边的条数。每条边有两个端点，所以度数之和等于边数的两倍：Σ deg(v) = 2|E|（握手引理）。因此奇度顶点的个数是偶数。K_n 有 n(n − 1)/2 条边，n 个顶点的 k-正则图有 nk/2 条边，n 个顶点的树有 n − 1 条边。

邻接矩阵

A: 0 1 1 0 0

B: 1 0 0 1 1

D · Nagle 算法

19.IPv4 子网划分

答案: N = 32

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

借用位

27 − 22 = 5

子网数

N = 2⁵ = 32

答案

N = 32

每个 /27 子网有 2⁵ − 2 = 30 个可用主机。

20.IPv4 子网划分

答案: x = 127

IPv4 子网划分：一个地址有 32 位。前缀 /p 表示前面多少位标识网络；其余 32 − p 位为主机编号。一个子网有 2³²⁻ᵖ 个地址，但第一个（网络地址）和最后一个（广播地址）不能分配给主机，所以可容纳 2³²⁻ᵖ − 2 台主机。例外：/31（点对点链路，RFC 3021）的 2 个地址都用于主机，/32 只有一个地址（单个主机或环回地址）。

块大小

2⁶ = 64

该主机所在子网

网络: ⌊88/64⌋·64 = 64

广播: 64 + 64 − 1 = 127

可用主机: 65 … 126

答案

x = 127

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals