数制
- 位权
- 二进制 2k，八进制 8k，十六进制 16k
- 转为十进制
- Σ dk·bk
- 从十进制转换
- 除以基数，余数从下往上读
- 十六进制 ↔ 二进制
- 一位十六进制数 = 4 位二进制
- 二进制补码
- 按位取反后加 1
计算机科学导论：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
命题逻辑与证明
- 真值表的行数
- 2ⁿ
- 蕴涵
- p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
- 蕴涵的否定
- ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
- 双条件
- p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
- 德摩根律
- ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
- 分配律
- p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
- 量词的否定
- ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
- 肯定前件，否定后件
- p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p
方法
- 数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
- 给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
- 按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
- 判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
- 否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。
数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
- 基本逻辑门
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- 布尔规则
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- 德摩根律
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- 卡诺图的顺序
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- 由 2ᵏ 个格子组成的圈
- 消去 k 个变量
- 4 选 1 多路选择器
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- 触发器
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- 计数器
- n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
- 行波计数器
- fmax = 1/(n·tpd)
- 环形计数器与约翰逊计数器
- n 个和 2n 个状态
方法
- 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
- 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
- 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
- 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。
数论与模运算
- 带余除法
- a = q·n + r, 0 ≤ r < n
- 欧几里得
- gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
- 最小公倍数
- lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
- 逆矩阵
- a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
- 线性同余方程
- a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
- 欧拉函数
- φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
- 费马
- aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
- RSA
- n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
方法
- 先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
- 求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
- 求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
- 解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
- 求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。
图论
- 握手引理
- Σ deg(v) = 2|E|
- 完全图
- |E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
- 正则图
- |E| = n·k/2
- 树与森林
- |E| = n − 1, |E| = n − c
- 树的叶子
- L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
- 欧拉
- 回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
- Kn 中的哈密顿回路
- (n − 1)!/2
- 迪杰斯特拉更新
- d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
- 长度为 L 的途径
- (Mᴸ)ij
方法
- 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
- 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
- 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
- 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
- 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。
IPv4 子网划分
- 每个子网的主机数
- 2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
- 块大小
- 256 − (mask octet)
- 网络地址
- IP AND 掩码
- 广播地址
- IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
- 借用 n 位得到的子网数
- 2n
2练习题
1.数制中等
把 −120 写成 8 位补码模式。再把该模式当作无符号二进制数读出：它的十进制值 U 是多少？
N = −1208 bit
U =
2.数制困难
把各位设置为 1101 1110 XOR 1100 0000 的 8 位结果。该结果的十进制值 R 是多少？
1101 1110XOR1100 0000
R =
3.命题逻辑与证明中等
哪个公式与 c → a 在逻辑上等价？点选它。
c → a
- 1a → c
- 2¬c ∧ a
- 3¬c ∨ a
- 4c ∨ ¬a
4.命题逻辑与证明困难
已知前提 c → a; ¬a。由它们可以推出哪个结论？点选它。
c → a¬a
- 1¬c
- 2¬c ∧ a
- 3a
- 4c
5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
一个 4 选 1 多路选择器的选择输入为 S₁ = A 和 S₀ = B，数据输入分别接 I₀ = 1，I₁ = C′，I₂ = C′，I₃ = C′。在 A、B、C 的 8 种组合中，有多少种使输出 F = 1？求 N。
I₀ = 1I₁ = C′I₂ = C′I₃ = C′
N =
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
一个 4 位约翰逊计数器 Q₃Q₂Q₁Q₀ 从 0000 开始。每个时钟边沿，各位向右移动一位（Q₃ → Q₂ → Q₁ → Q₀），Q₃ 接收 Q₀ 的反相。给出 9 个时钟边沿之后的状态 Q = Q₃Q₂Q₁Q₀，用十进制数表示。
Q₃Q₂Q₁Q₀ = 00009
Q =
7.数论与模运算中等
求 50 模 73 的逆元：满足 0 < x < 73 且 50·x ≡ 1 (mod 73) 的数 x。
a = 50n = 73
50−1 mod 73 =
8.数论与模运算困难
13 是素数。用费马小定理求 1963248 mod 13。
p = 13k = 63248
1963248 mod 13 =
9.算法与复杂度中等
用自底向上的表格计算第 n 个斐波那契数，时间复杂度是多少？
- AO(log n)
- BO(n)
- CO(2ⁿ)
- DO(n²)
10.算法与复杂度困难
在有 V 个顶点、E 条边的图上，使用二叉堆的 Dijkstra 算法运行时间是多少？
- AO(V × E)
- BO(V + E)
- CO((V + E) log V)
- DO(V³)
11.数据结构中等
在平衡二叉搜索树中查找一个键的时间复杂度是多少？
- AO(1)
- BO(log n)
- CO(n log n)
- DO(n)
12.数据结构困难
双重哈希主要减轻了线性探测的哪个问题？
- A需要在表中存储键
- B读取键值需要 O(n) 的代价
- C需要哈希函数
- D一次聚集，即形成长串的被占用槽位
13.图论中等
一棵树有 2 个度为 3 的顶点, 3 个度为 5 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？
2 × deg 33 × deg 5
L =
14.图论困难
用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。
起点：A终点：F
d(F) =
15.数据库与 SQL中等
在关系代数中，选择运算符（σ）对应于哪个 SQL 子句？
- AGROUP BY
- BORDER BY
- CSELECT 列表
- DWHERE
16.数据库与 SQL困难
分数为 90、90 和 80。RANK() OVER (ORDER BY score DESC) 给出哪些值？
- A2, 2, 3
- B1, 2, 3
- C1, 1, 2
- D1, 1, 3
17.计算机网络中等
把一个 1500 字节的数据包发送到 12 Mbit/s 的链路上需要多长时间（发送时延）？
- A0.125 ms
- B12 ms
- C1 ms
- D8 ms
18.计算机网络困难
BGP 在互联网中的主要作用是什么？
- A将名称解析为地址
- B通过互联网服务提供商为家庭用户分配 IP 地址
- C加密路由器之间的数据
- D在自治系统之间交换路由信息
19.IPv4 子网划分中等
网络 10.0.65.0/24 被划分为前缀为 /27 的等大子网。共有多少个子网 N？
10.0.65.0/24/27
N =
20.IPv4 子网划分困难
一台路由器有到以下网络的路由：10.190.50.0/24, 10.190.51.0/24, 10.190.52.0/24, 10.190.53.0/24, 10.190.54.0/24。能覆盖所有这些网络的单条汇总路由，其最长前缀长度 p 是多少？
10.190.50.0/24 … 10.190.54.0/24
p =
3溶液
1.数制
答案: U = 136
位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。
取反加一
120 = 0111 1000
取反后: 1000 0111
+1 → 1000 1000
按无符号数读取
1000 1000₂ = 256 − 120 = 136
答案
U = 136
2.数制
答案: R = 30
设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。
逐位计算
XOR 在两位不同时得 1。
1101 1110
XOR 1100 0000
= 0001 1110
结果的值
0001 1110₂ = 30
答案
R = 30
3.命题逻辑与证明
答案: ¬c ∨ a
逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。
定律
a → b 只有在 a = 1 且 b = 0 时才为 0，所以它与 ¬a ∨ b 相同。
c → a ≡ ¬c ∨ a
用真值表检验
a = 1, c = 1: 1 | 1 0 1 1
a = 1, c = 0: 1 | 0 1 1 0
a = 0, c = 1: 0 | 1 0 0 1
a = 0, c = 0: 1 | 1 0 1 1
答案
¬c ∨ a
竖线之后的各列是按所示顺序排列的各个选项。
4.命题逻辑与证明
答案: ¬c
量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。
所有前提都为真的行
a = 0, c = 0: ¬c = 1, ¬c ∧ a = 0, a = 0, c = 0
结论
¬c (否定后件式)
答案
¬c
5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
答案: N = 5
多路选择器：2ⁿ 选 1 多路选择器把其数据输入之一传到输出；选择线按二进制数读取，决定选哪一个。对于选择端 S₁S₀ = AB 的 4 选 1 MUX，F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃。把数据输入接到 0、1、C 或 C′，可使 MUX 产生 A、B、C 的任意函数，这是用一块芯片实现逻辑的常用方法。
输出表达式
F = A′B′ + A′BC′ + AB′C′ + ABC′
F = 1 的行
ABC = 000, 001, 010, 100, 110
N = 5
答案
N = 5
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
答案: Q = 8
触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 fclk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。
每个边沿之后的状态
0000 → 1000 → 1100 → 1110 → 1111 → 0111 → 0011 → 0001 → 0000 → 1000
十进制值
1000₂ = 8
答案
Q = 8
7.数论与模运算
答案: 50−1 mod 73 = 19
逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。
扩展欧几里得算法
每个余数 r 都写成 r ≡ t·50 (mod 73)。
r = 73, t = 0
r = 50, q = 1, t = 1
r = 23, q = 2, t = −1
r = 4, q = 5, t = 3
r = 3, q = 1, t = −16
r = 1, q = 3, t = 19
逆矩阵
1 ≡ 19·50 (mod 73)
x = 19
校核: 50·19 = 950 = 13·73 + 1
答案
50−1 mod 73 = 19
8.数论与模运算
答案: 1963248 mod 13 = 3
模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。
化简指数
63248 mod 12 = 8
1963248 ≡ 198 (mod 13)
小的幂
198 mod 13 = 3
答案
1963248 mod 13 = 3
9.算法与复杂度
答案: B · O(n)
为什么是这个答案
从 0 到 n 填表时每项只需一次加法，因此工作量是线性的，而不是指数级的。
答案
B · O(n)
10.算法与复杂度
答案: C · O((V + E) log V)
为什么是这个答案
共有 V 次 extract-min 和至多 E 次 decrease-key 操作，每次为 O(log V)；斐波那契堆可将其改进为 O(E + V log V)。
答案
C · O((V + E) log V)
11.数据结构
答案: B · O(log n)
为什么是这个答案
平衡树的高度约为 log₂ n，因此查找只需沿着从根到叶的一条路径进行。
答案
B · O(log n)
12.数据结构
答案: D · 一次聚集，即形成长串的被占用槽位
为什么是这个答案
线性探测的步长为 1，因此被占用的连续段会不断增长并合并；双重哈希用第二个哈希函数决定步长，使不同的键探测不同的序列。
答案
D · 一次聚集，即形成长串的被占用槽位
13.图论
答案: L = 13
欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。
树的握手引理
L + 21 = 2(L + 5) − 2
L = 13
答案
L = 13
捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。
14.图论
答案: d(F) = 24
最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。
迪杰斯特拉算法逐轮过程
每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。
A (0): B: 15
B (15): C: 19, D: 19, G: 25
C (19): E: 30
D (19): F: 24
F (24)
G (25)
E (30)
最短路径
A → B → D → F
d(F) = 24
答案
d(F) = 24
15.数据库与 SQL
答案: D · WHERE
为什么是这个答案
σcondition(R) 返回 R 中满足条件的元组，就像 WHERE 子句一样。
答案
D · WHERE
16.数据库与 SQL
答案: D · 1, 1, 3
为什么是这个答案
RANK 给并列的行相同的名次，并跳过随后的数字（1, 1, 3）；DENSE_RANK 则给出 1, 1, 2。
答案
D · 1, 1, 3
17.计算机网络
答案: C · 1 ms
为什么是这个答案
1500 字节 = 12,000 比特。12,000 / 12,000,000 bit/s = 0.001 s = 1 ms。发送时延取决于数据包大小和链路速率，而不是距离。
答案
C · 1 ms
18.计算机网络
答案: D · 在自治系统之间交换路由信息
为什么是这个答案
BGP 是域间路由协议；自治系统（AS）通告可达前缀，并根据策略选择路径。
答案
D · 在自治系统之间交换路由信息
19.IPv4 子网划分
答案: N = 8
IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).
借用位
27 − 24 = 3
子网数
N = 23 = 8
答案
N = 8
每个 /27 子网有 25 − 2 = 30 个可用主机。
20.IPv4 子网划分
答案: p = 21
路由汇总：汇总路由 a.b.c.0/p 覆盖前 p 位相同的所有网络。把第一个和最后一个网络中不同的那个八位组写成二进制；相同的前导位数加上它前面各八位组的位数，就是最长的汇总前缀。
比较各位
50 = 00110010
54 = 00110110
相同的前导位：5
前缀长度
p = 16 + 5 = 21
答案
p = /21
汇总路由：10.190.48.0/21 （它还覆盖了列表中没有的 3 个网络）。
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