计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权
二进制 2k，八进制 8k，十六进制 16k
转为十进制
Σ dk·bk
从十进制转换
除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制
一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码
按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数
2ⁿ
蕴涵
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

  1. 数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
  2. 给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
  3. 按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
  4. 判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
  5. 否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序
00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈
消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
触发器
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器
n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
行波计数器
fmax = 1/(n·tpd)
环形计数器与约翰逊计数器
n 个和 2n 个状态

方法

  1. 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
  2. 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
  3. 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
  4. 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

  1. 先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
  2. 求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
  3. 求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
  4. 解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
  5. 求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数
2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小
256 − (mask octet)
网络地址
IP AND 掩码
广播地址
IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数
2n

2练习题

1.数制中等
8 位补码0−12806403201608040201

设置各位，使其以 8 位补码存储 −4。按无符号数读取，该位模式的值 U 是多少？

N = −48 bit
U =
2.数制困难
16 bit1 px1920 px1080 pxM = ? KiB

一幅未压缩图像为 1920 × 1080 像素，每像素 16 位。它占用多少内存 M（以 KiB 计，1 KiB = 1024 字节）？

1920 × 1080 px16 bit/px1 KiB = 1024 B
M = KiB
3.命题逻辑与证明中等
重言式矛盾式偶然式

((p ∨ q) ∧ ¬p) → q 是重言式、矛盾式还是偶然式？点选你的答案。

((p ∨ q) ∧ ¬p) → q
  1. 1重言式
  2. 2矛盾式
  3. 3偶然式
4.命题逻辑与证明困难
∀x ∀y ¬R(x, y)∃y ∀x ¬R(x, y)∃x ∀y ¬R(x, y)∀x ∃y ¬R(x, y)

把否定完全移到内部之后，哪个命题与 ¬∀x ∃y R(x, y) 等价？点选它。

¬∀x ∃y R(x, y)
  1. 1∀x ∀y ¬R(x, y)
  2. 2∃y ∀x ¬R(x, y)
  3. 3∃x ∀y ¬R(x, y)
  4. 4∀x ∃y ¬R(x, y)
5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
ABCD000111100001111010010302041507160120131150140819011110

用卡诺图求 F(A, B, C, D) = Σm(0, 5, 6, 9, 10, 15) 的最简和之积 (POS) 形式。它有多少个和项（因子）N？

F(A, B, C, D) = Σm(0, 5, 6, 9, 10, 15)
N =
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
TQ0​Q0​TQ1​Q1​TQ2​Q2​CLKDOWN

3 位二进制减法计数器从 2（十进制，Q = 010）开始。经过 15 个时钟脉冲后，它显示的计数 Q（十进制）是多少？

Q0 = 215n = 3
Q =
7.数论与模运算中等

求 44 模 71 的逆元：满足 0 < x < 71 且 44·x ≡ 1 (mod 71) 的数 x。

a = 44n = 71
44−1 mod 71 =
8.数论与模运算困难

17 是素数。用费马小定理求 2228946 mod 17。

p = 17k = 28946
2228946 mod 17 =
9.算法与复杂度中等

递推式 T(n) = 2T(n − 1) + O(1) 的解是什么？

  1. AO(n log n)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
10.算法与复杂度困难

Karatsuba 乘法满足 T(n) = 3T(n/2) + O(n)。它的解是什么？

  1. AΘ(n3)
  2. BΘ(nlog₂ 3)，约为 n1.585
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(n²)
11.数据结构中等

循环缓冲区（环形缓冲区）通常用于实现：

  1. A固定大小的队列
  2. B哈希函数
  3. C二叉搜索树
  4. D图的遍历
12.数据结构困难

为什么服务器可能会从一个通用哈希函数族中随机选择其哈希函数？

  1. A免去对表进行扩容的需要
  2. B使攻击者极难选出许多全部发生冲突的键
  3. C使哈希表有序
  4. D保证任何两个键永远不会发生冲突，无论攻击者发送什么键
13.图论中等

一个连通图有 19 个顶点和 20 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 19|E| = 20
k =
14.图论困难
5221510615124ABCDEFG

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 C 的最短路径的长度 d(C)。

起点：A终点：C
d(C) =
15.数据库与 SQL中等

GRANT SELECT ON employees TO alice 的作用是什么？

  1. A让 alice 成为数据库的所有者
  2. B允许用户 alice 读取 employees 表
  3. C把 employees 表复制给 alice
  4. D允许 alice 更新和删除 employees 表中的行
16.数据库与 SQL困难

在 (last_name, first_name) 上有一个复合索引。哪个条件能最有效地利用它？

  1. AWHERE first_name LIKE '%a'
  2. BWHERE UPPER(first_name) = 'EVA'
  3. CWHERE last_name = 'Jansen'
  4. DWHERE first_name = 'Eva'
17.计算机网络中等

“ping”命令使用哪种协议？

  1. AUDP
  2. BTCP
  3. CHTTP
  4. DICMP
18.计算机网络困难

内容分发网络（CDN）主要如何提高 Web 性能？

  1. A从靠近用户的服务器提供缓存内容
  2. B提高用户自己家庭连接的带宽
  3. C免去 DNS 查询
  4. D用更快的传输协议取代 TCP
19.IPv4 子网划分中等
/20 → /2611111111111111111111111111000000网络位主机位

网络 10.169.80.0/20 被划分为前缀为 /26 的等大子网。共有多少个子网 N？

10.169.80.0/20/26
N =
20.IPv4 子网划分困难

网络 192.168.120.0/24 用 VLSM 划分给以下局域网：A: 20 主机, B: 3 主机, C: 25 主机, D: 111 主机。子网从 .0 开始向上分配，主机最多的局域网先分配，每个局域网分配能容纳它的最小子网。局域网 C 的网络地址第四个八位组 x 是多少？

A: 20B: 3C: 25D: 111
x =

3溶液

1.数制

答案: U = 252

设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。

取反加一

4 = 0000 0100
取反后: 1111 1011
+1 → 1111 1100

按无符号数读取

1111 1100₂ = 256 − 4 = 252

答案

U = 252
2.数制

答案: M = 4050 KiB

位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。

位和字节

1920·1080·16 = 33177600 bit = 4147200 B

换算为 KiB

4147200/1024 = 4050 KiB

答案

M = 4050 KiB
3.命题逻辑与证明

答案: 重言式

逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

逐行写出真值表

p = 1, q = 1: p ∨ q = 1, ¬p = 0, (p ∨ q) ∧ ¬p = 0, ((p ∨ q) ∧ ¬p) → q = 1
p = 1, q = 0: p ∨ q = 1, ¬p = 0, (p ∨ q) ∧ ¬p = 0, ((p ∨ q) ∧ ¬p) → q = 1
p = 0, q = 1: p ∨ q = 1, ¬p = 1, (p ∨ q) ∧ ¬p = 1, ((p ∨ q) ∧ ¬p) → q = 1
p = 0, q = 0: p ∨ q = 0, ¬p = 1, (p ∨ q) ∧ ¬p = 0, ((p ∨ q) ∧ ¬p) → q = 1

分类

((p ∨ q) ∧ ¬p) → q: 1, 1, 1, 1
每一行都是 1：重言式。

答案

重言式
4.命题逻辑与证明

答案: ∃x ∀y ¬R(x, y)

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

把否定移到内部

¬∀x ∃y R(x, y) ≡ ∃x ∀y ¬R(x, y)

答案

∃x ∀y ¬R(x, y)

其他选项要么保持某个量词不变，要么改变了量词的顺序，要么错误地否定了内部的公式。

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 8

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

ABCD000111100001111010010302041507160120131150140819011110

圈 0

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

(B + C′ + D′)
(B′ + C + D)
(A + C′ + D′)
(A′ + C + D)
(A + B + D′)
(A′ + B′ + D)
(A + B + C′)
(A′ + B′ + C)

最简 POS 形式

F = (B + C′ + D′)(B′ + C + D)(A + C′ + D′)(A′ + C + D)(A + B + D′)(A′ + B′ + D)(A + B + C′)(A′ + B′ + C)
N = 8

答案

N = 8
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: Q = 3

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 fclk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

完整循环

每 8 个脉冲使计数器回到相同的状态。

15 = 1·8 + 7

剩余脉冲之后的计数

Q = (2 − 7) mod 8 = 3
Q = 011₂

答案

Q = 3
7.数论与模运算

答案: 44−1 mod 71 = 21

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

扩展欧几里得算法

每个余数 r 都写成 r ≡ t·44 (mod 71)。

r = 71, t = 0
r = 44, q = 1, t = 1
r = 27, q = 1, t = −1
r = 17, q = 1, t = 2
r = 10, q = 1, t = −3
r = 7, q = 1, t = 5
r = 3, q = 2, t = −8
r = 1, q = 3, t = 21

逆矩阵

1 ≡ 21·44 (mod 71)
x = 21
校核: 44·21 = 924 = 13·71 + 1

答案

44−1 mod 71 = 21
8.数论与模运算

答案: 2228946 mod 17 = 8

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

化简指数

28946 mod 16 = 2
2228946 ≡ 222 (mod 17)

小的幂

222 mod 17 = 8

答案

2228946 mod 17 = 8
9.算法与复杂度

答案: B · O(2ⁿ)

为什么是这个答案

调用次数每深入一层就翻倍，共有 n 层，因此总数约为 2ⁿ，就像汉诺塔问题一样。

答案

B · O(2ⁿ)
10.算法与复杂度

答案: B · Θ(nlog₂ 3)，约为 n1.585

为什么是这个答案

由于 log₂ 3 ≈ 1.585 > 1，根据主定理叶子层占主导，因此优于 O(n²) 的竖式乘法。

答案

B · Θ(nlog₂ 3)，约为 n1.585
11.数据结构

答案: A · 固定大小的队列

为什么是这个答案

环形缓冲区使用可回绕的头索引和尾索引，在固定内存中实现 O(1) 的 enqueue 和 dequeue。

答案

A · 固定大小的队列
12.数据结构

答案: B · 使攻击者极难选出许多全部发生冲突的键

为什么是这个答案

使用通用哈希时，对于任何键集合，冲突的期望次数都很小，因为攻击者不知道选择的是哪个函数。

答案

B · 使攻击者极难选出许多全部发生冲突的键
13.图论

答案: k = 2

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

生成树的边数

19 − 1 = 18

要去掉的边数

k = 20 − 18 = 2

答案

k = 2
14.图论

答案: d(C) = 17

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 5
B (5): D: 7, G: 11
D (7): E: 22, F: 17
G (11): C: 26, E: 15
E (15): C: 17
C (17)
F (17)

最短路径

A → B → G → E → C
d(C) = 17

答案

d(C) = 17
15.数据库与 SQL

答案: B · 允许用户 alice 读取 employees 表

为什么是这个答案

GRANT 授予对某个对象的权限；SELECT 只允许读取，而 INSERT、UPDATE 和 DELETE 是单独的权限。

答案

B · 允许用户 alice 读取 employees 表
16.数据库与 SQL

答案: C · WHERE last_name = 'Jansen'

为什么是这个答案

复合 B 树索引先按 last_name、再按 first_name 排序，因此在前导列上的查找可以利用它，但仅凭 first_name 无法利用这种顺序。

答案

C · WHERE last_name = 'Jansen'
17.计算机网络

答案: D · ICMP

为什么是这个答案

Ping 发送 ICMP 回显请求（echo request），并测量回显应答（echo reply）返回所需的时间。

答案

D · ICMP
18.计算机网络

答案: A · 从靠近用户的服务器提供缓存内容

为什么是这个答案

CDN 在许多边缘位置放置内容副本，并（通常通过 DNS）把用户引导到附近的服务器。这降低了延迟以及源服务器的负载。

答案

A · 从靠近用户的服务器提供缓存内容
19.IPv4 子网划分

答案: N = 64

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

借用位

26 − 20 = 6

子网数

N = 26 = 64

答案

N = 64

每个 /26 子网有 26 − 2 = 62 个可用主机。

20.IPv4 子网划分

答案: x = 128

VLSM：每个局域网分配满足 2ʰ − 2 ≥ 其主机数的最小子网，即前缀 32 − h。先分配最大的子网，可使每个块都对齐在其自身大小的倍数上，因此网络地址就是各块大小依次相加的结果。

每个局域网的块大小

D: 111 主机 → 27 = 128 (/25)
C: 25 主机 → 25 = 32 (/27)
A: 20 主机 → 25 = 32 (/27)
B: 3 主机 → 23 = 8 (/29)

分配顺序，从大到小

D: .0 – .127
C: .128 – .159
A: .160 – .191
B: .192 – .199

答案

x = 128

局域网 C：192.168.120.128/27。

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