计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权: 二进制 2^k，八进制 8^k，十六进制 16^k
转为十进制: Σ d_k·b^k
从十进制转换: 除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制: 一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码: 按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数: 2ⁿ
蕴涵: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小: 256 − (mask octet)
网络地址: IP AND 掩码
广播地址: IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数: 2ⁿ

2练习题

1.数制中等

8 位模式 0000 1001 以补码形式存储一个有符号整数。它的十进制值 N 是多少？

0000 10018 bit

N =

2.数制困难

某系统要为 2987 个项目中的每一个分配一个长度相同的独立二进制编码。最少需要多少位 b？

2987

b = bit

3.命题逻辑与证明中等

哪个公式与 ¬(q ∧ p) 在逻辑上等价？点选它。

¬(q ∧ p)

1¬q ∧ ¬p
2¬q ∧ p
3¬q ∨ ¬p
4¬q ∨ p

4.命题逻辑与证明困难

真值表的 16 行中，有多少行使 ((b ∧ c) ↔ (¬b → d)) → ((a ∧ c) ↔ ¬(d ∨ a)) 为真？把这个数记作 N。

((b ∧ c) ↔ (¬b → d)) → ((a ∧ c) ↔ ¬(d ∨ a))

N =

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

把 F = A′C + A′B′C + A′B + AB′ 化简为最简积之和形式。化简后的表达式包含多少个文字 L？

F = A′C + A′B′C + A′B + AB′

L =

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

同步模 6 计数器依次计 0, 1, …, 5，然后回到 0。它从 4 开始。经过 18 个时钟脉冲后，它显示的计数 Q（十进制）是多少？

Q₀ = 418N = 6

Q =

7.数论与模运算中等

求 44 模 67 的逆元：满足 0 < x < 67 且 44·x ≡ 1 (mod 67) 的数 x。

a = 44n = 67

44⁻¹ mod 67 =

8.数论与模运算困难

19 是素数。用费马小定理求 5³⁷⁰⁵⁸ mod 19。

p = 19k = 37058

5³⁷⁰⁵⁸ mod 19 =

9.算法与复杂度中等

对于在满时将容量翻倍的动态数组，追加元素的均摊（amortised）时间复杂度是多少？

AO(1)
BO(log n)
CO(n)
DO(n²)

10.算法与复杂度困难

插入排序在有序输入上运行时间为 O(n)。这与比较排序的 Ω(n log n) 下界矛盾吗？

A不矛盾，因为插入排序不是比较排序
B矛盾，但仅对长度小于 100 的数组
C不矛盾，下界针对的是所有输入中的最坏情况，而不是每一个输入
D矛盾，因此这个下界是错的

11.数据结构中等

检查 "{[()]}" 中的括号是否匹配，使用哪种数据结构？

A栈
B队列
C二叉搜索树
D哈希表

12.数据结构困难

哪种结构能以总共 O(n) 的时间求出数组中每个大小为 k 的窗口的最大值？

A由窗口元素组成的单链表
B通过移动元素来更新的有序数组
C为每个窗口重建的最小堆
D一个按值递减顺序保存下标的双端队列

13.图论中等

一个连通图有 20 个顶点和 25 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 20|E| = 25

k =

14.图论困难

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F

d(F) =

15.数据库与 SQL中等

ACID 中的 "A" 代表什么？

A原子性（Atomicity）
B准确性（Accuracy）
C聚合性（Aggregation）
D可用性（Availability）

16.数据库与 SQL困难

SELECT name, dept, AVG(salary) OVER (PARTITION BY dept) FROM emp 返回什么？

A每一行员工记录以及其所在部门的平均工资
B只返回工资高于本部门平均值的员工
C每个部门一行及其平均工资
D报错，因为 name 不在 GROUP BY 中

17.计算机网络中等

主机上的默认网关有什么作用？

A它是主机所连接的交换机端口
B它负责分配 MAC 地址
C它是 DNS 服务器
D它是用于发往其他网络的流量的路由器

18.计算机网络困难

为什么 IPv6 不需要用 NAT 来解决地址短缺问题？

AIPv6 不使用地址
BIPv6 只在本地网络中工作，因此地址永远不需要全局共享
CIPv6 会加密所有地址
D其 128 位地址空间足够大，可以为每台设备分配全局地址

19.IPv4 子网划分中等

网络 192.168.10.0/24 需要划分为至少 5 个相等的子网。若借用尽可能少的位，每个子网有多少可用主机 H？

192.168.10.0/245 subnets

H =

20.IPv4 子网划分困难

某主机地址为 10.20.191.183/26。其子网广播地址的最后一个数（第四个八位组）x 是多少？

10.20.191.183/26

x =

3溶液

1.数制

答案: N = 9

位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。

位权相加

其余各位保持正常的正权值。

8 + 1 = 9

答案

N = 9

2.数制

答案: b = 12 bit

2 的幂

2¹¹ = 2048 < 2987

2¹² = 4096 ≥ 2987

答案

b = 12

3.命题逻辑与证明

答案: ¬q ∨ ¬p

逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

定律

德摩根律：¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b。∧ 变成 ∨，并且两个部分都取否定。

¬(q ∧ p) ≡ ¬q ∨ ¬p

用真值表检验

p = 1, q = 1: 0 | 0 0 0 1

p = 1, q = 0: 1 | 0 1 1 1

p = 0, q = 1: 1 | 0 0 1 0

p = 0, q = 0: 1 | 1 0 1 1

答案

¬q ∨ ¬p

竖线之后的各列是按所示顺序排列的各个选项。

4.命题逻辑与证明

答案: N = 10

真值表：含 n 个不同变量的公式有 2ⁿ 行，每一行对应真值的一种组合（1 = 真，0 = 假）。由内向外进行，给每个子公式单独一列。¬a 把值取反；a ∧ b 只有在两者都为 1 时才为 1；a ∨ b 只有在两者都为 0 时才为 0；a → b 只有在 a = 1 且 b = 0 时才为 0；a ↔ b 在两边相等时为 1。

各列

b ∧ c; ¬b; ¬b → d; (b ∧ c) ↔ (¬b → d); a ∧ c; d ∨ a; ¬(d ∨ a); (a ∧ c) ↔ ¬(d ∨ a); ((b ∧ c) ↔ (¬b → d)) → ((a ∧ c) ↔ ¬(d ∨ a))

按 a 拆分

a = 1: 5

a = 0: 5

N = 5 + 5 = 10

答案

N = 10

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: L = 6

布尔代数：化简表达式的规则有 X + X′ = 1 和 X·X′ = 0、X + X = X、吸收律 X + X·Y = X、合并律 X·Y + X·Y′ = X、X + X′Y = X + Y，以及一致性定理 XY + X′Z + YZ = XY + X′Z。德摩根律把 (X·Y)′ 变成 X′ + Y′，把 (X + Y)′ 变成 X′·Y′。卡诺图以图形方式应用这些规则：每个由两个相邻格子组成的圈，就是一次使用 XY + XY′ = X。

表达式的最小项

A′C → m(1, 3)

A′B′C → m(1)

A′B → m(2, 3)

AB′ → m(4, 5)

圈组并读出结果

F = B′C + A′B + AB′

数出文字个数

L = 6

答案

L = 6

还存在另一种大小相同的圈法；它的文字数相同。

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: Q = 4

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 f_clk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

完整循环

每 6 个脉冲使计数器回到相同的状态。

18 = 3·6 + 0

剩余脉冲之后的计数

Q = (4 + 0) mod 6 = 4

Q = 100₂

答案

Q = 4

7.数论与模运算

答案: 44⁻¹ mod 67 = 32

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

扩展欧几里得算法

每个余数 r 都写成 r ≡ t·44 (mod 67)。

r = 67, t = 0

r = 44, q = 1, t = 1

r = 23, q = 1, t = −1

r = 21, q = 1, t = 2

r = 2, q = 10, t = −3

r = 1, q = 2, t = 32

逆矩阵

1 ≡ 32·44 (mod 67)

x = 32

校核: 44·32 = 1408 = 21·67 + 1

答案

44⁻¹ mod 67 = 32

8.数论与模运算

答案: 5³⁷⁰⁵⁸ mod 19 = 9

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

D · 一个按值递减顺序保存下标的双端队列

13.图论

答案: k = 6

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；K_n 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

生成树的边数

20 − 1 = 19

要去掉的边数

k = 25 − 19 = 6

答案

k = 6

14.图论

答案: d(F) = 36

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 13

B (13): C: 24, D: 28, E: 24

C (24)

E (24): D: 27, F: 38

D (27): F: 36

F (36)

最短路径

A → B → E → D → F

借用的位数

2³ = 8 ≥ 5 → b = 3, /27

每个子网的主机数

2⁵ − 2 = 30

答案

H = 30

20.IPv4 子网划分

答案: x = 191

块大小

2⁶ = 64

该主机所在子网

网络: ⌊183/64⌋·64 = 128

广播: 128 + 64 − 1 = 191

可用主机: 129 … 190

答案

x = 191

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