计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权: 二进制 2^k，八进制 8^k，十六进制 16^k
转为十进制: Σ d_k·b^k
从十进制转换: 除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制: 一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码: 按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数: 2ⁿ
蕴涵: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小: 256 − (mask octet)
网络地址: IP AND 掩码
广播地址: IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数: 2ⁿ

2练习题

1.数制中等

设置各位，使其以 8 位补码存储 −5。按无符号数读取，该位模式的值 U 是多少？

N = −58 bit

U =

2.数制困难

某系统要为 1297 个项目中的每一个分配一个长度相同的独立二进制编码。最少需要多少位 b？

1297

b = bit

3.命题逻辑与证明中等

你想用反证法来证明 ¬q → (r ∧ p)。一开始要假设哪个命题？点选它。

¬q → (r ∧ p)

1¬¬q ∧ ¬(r ∧ p)
2¬q ∧ ¬(r ∧ p)
3¬¬q → ¬(r ∧ p)
4¬¬q ∧ (r ∧ p)

4.命题逻辑与证明困难

把否定完全移到内部之后，哪个命题与 ¬∀x ∃y R(x, y) 等价？点选它。

¬∀x ∃y R(x, y)

1∀x ∃y ¬R(x, y)
2∃x ∀y ¬R(x, y)
3∃y ∀x ¬R(x, y)
4∀x ∀y ¬R(x, y)

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

在这个卡诺图中，恰有一个 1 没有相邻的 1，所以它在最简 SOP 形式中仍是单个格子的圈（含四个文字的完整最小项）。跨越卡诺图边界的相邻关系也要计入。点选该格子。

F = Σm(0, 1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12)

1AB = 00, CD = 00
2AB = 00, CD = 01
3AB = 00, CD = 11
4AB = 00, CD = 10
5AB = 01, CD = 00
6AB = 01, CD = 01
7AB = 01, CD = 11
8AB = 01, CD = 10
9AB = 11, CD = 00
10AB = 11, CD = 01
11AB = 11, CD = 11
12AB = 11, CD = 10
13AB = 10, CD = 00
14AB = 10, CD = 01
15AB = 10, CD = 11
16AB = 10, CD = 10

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

一个 4 位约翰逊计数器 Q₃Q₂Q₁Q₀ 从 0000 开始。每个时钟边沿，各位向右移动一位（Q₃ → Q₂ → Q₁ → Q₀），Q₃ 接收 Q₀ 的反相。给出 9 个时钟边沿之后的状态 Q = Q₃Q₂Q₁Q₀，用十进制数表示。

Q₃Q₂Q₁Q₀ = 00009

Q =

7.数论与模运算中等

解 51x ≡ 7 (mod 79)。给出满足 0 < x < 79 的解 x。

51x ≡ 7 (mod 79)

x =

8.数论与模运算困难

某个 RSA 密钥使用素数 p = 29 和 q = 37，公钥指数 e = 5。求私钥指数 d（0 < d < φ(n)）。

p = 29q = 37e = 5

d =

9.算法与复杂度中等

用标准的三重循环计算两个 n × n 矩阵的乘积，时间复杂度是多少？

AO(n²)
BO(n³)
CO(n)
DO(n² log n)

10.算法与复杂度困难

取一个极大匹配中每条边的两个端点，可以得到一个顶点覆盖。这个覆盖有多好？

A总是一个最小顶点覆盖
B与最优解相比质量未知
C至多是最小值的 log n 倍
D至多是最小顶点覆盖大小的两倍

11.数据结构中等

一个应用需要快速查找，还需要按有序顺序列出键并回答范围查询。哪种结构最合适？

A哈希表
B栈
C平衡二叉搜索树
D无序链表

12.数据结构困难

哪条性质使每棵 B 树都保持完全平衡？

A所有叶子都位于同一深度
B键只存储在根中
C每个节点只存储一个键
D每个节点恰好有两个子节点

13.图论中等

完全图 K₆ 有多少条不同的哈密顿回路 H？只是起点或方向不同的回路算作同一条。

K₆

H =

14.图论困难

克鲁斯卡尔算法构造最小生成树。点选它加入的第 4 条边；被跳过的边不计。

k = 4

1边 AB
2边 AC
3边 BC
4边 BD
5边 CE
6边 DE
7边 DF
8边 EF

15.数据库与 SQL中等

为什么一个表只能有一个聚集索引？

A聚集索引只能建在主键上
B行在物理上只能按一种顺序存储
CSQL 标准禁止一个表上有多个索引
D聚集索引占用太多内存

16.数据库与 SQL困难

给定 R(A, B, C, D) 上的函数依赖 A → B、B → C 和 C → D，闭包 A⁺ 是什么？

A{A, B}
B{A}
C{A, B, C, D}
D{A, B, C}

17.计算机网络中等

一个 /24 的 IPv4 网络有多少个可用主机地址？

A255
B252
C256
D254

18.计算机网络困难

一名学生在家用 NAT 路由器后面的 PC 上运行游戏服务器。互联网上的朋友无法连接。通常的解决办法是什么？

A给 PC 换一个不同的 MAC 地址，使路由器能从外部找到它
B在路由器上配置端口转发，指向该 PC 的私有地址
C关闭 PC 的 DNS 客户端
D把 PC 的子网掩码改为 /32

19.IPv4 子网划分中等

网络 192.168.128.0/24 被划分为若干 /29 子网，从最低地址起编号为 1、2、3、…（子网 1 从 .0 开始）。子网 12 的网络地址的第四个八位组 x 是多少？

192.168.128.0/24/29子网 12 (子网 1 从 .0 开始)

x =

20.IPv4 子网划分困难

网络 192.168.184.0/24 用 VLSM 划分给以下局域网：A: 4 主机, B: 17 主机, C: 29 主机, D: 5 主机, E: 7 主机。子网从 .0 开始向上分配，主机最多的局域网先分配，每个局域网分配能容纳它的最小子网。局域网 B 的网络地址第四个八位组 x 是多少？

A: 4B: 17C: 29D: 5E: 7

x =

3溶液

1.数制

答案: U = 251

设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。

取反加一

5 = 0000 0101

取反后: 1111 1010

+1 → 1111 1011

按无符号数读取

1111 1011₂ = 256 − 5 = 251

答案

U = 251

2.数制

答案: b = 11 bit

位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。

2 的幂

2¹⁰ = 1024 < 1297

2¹¹ = 2048 ≥ 1297

答案

b = 11

3.命题逻辑与证明

答案: ¬q ∧ ¬(r ∧ p)

逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

蕴涵的各个部分

a = ¬q, b = r ∧ p

蕴涵的否定

¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b = ¬q ∧ ¬(r ∧ p)

答案

¬q ∧ ¬(r ∧ p)

如果假设导致矛盾，则该蕴涵必为真。

4.命题逻辑与证明

答案: ∃x ∀y ¬R(x, y)

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

把否定移到内部

¬∀x ∃y R(x, y) ≡ ∃x ∀y ¬R(x, y)

答案

∃x ∀y ¬R(x, y)

其他选项要么保持某个量词不变，要么改变了量词的顺序，要么错误地否定了内部的公式。

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: AB = 11, CD = 00

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

每个 1 的邻格

有相邻 1 的 1 可以加入由两个或更多格子组成的圈。

m12: m13, m14, m8, m4 → 0

孤立的 1

m12 = ABC′D′ → AB = 11, CD = 00

答案

AB = 11, CD = 00

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: Q = 8

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 f_clk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

每个边沿之后的状态

0000 → 1000 → 1100 → 1110 → 1111 → 0111 → 0011 → 0001 → 0000 → 1000

十进制值

1000₂ = 8

答案

Q = 8

7.数论与模运算

答案: x = 59

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

51 的逆元

r = 79, t = 0

r = 51, q = 1, t = 1

r = 28, q = 1, t = −1

r = 23, q = 1, t = 2

r = 5, q = 4, t = −3

r = 3, q = 1, t = 14

r = 2, q = 1, t = −17

r = 1, q = 2, t = 31

51⁻¹ ≡ 31 (mod 79)

求解

x ≡ 31·7 = 217 ≡ 59 (mod 79)

校核: 51·59 = 3009 ≡ 7 (mod 79)

答案

x = 59

8.数论与模运算

答案: d = 605

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

模数与欧拉函数值

n = 29·37 = 1073

φ(n) = 28·36 = 1008

扩展欧几里得算法

r = 1008, t = 0

r = 5, q = 201, t = 1

r = 3, q = 1, t = −201

r = 2, q = 1, t = 202

r = 1, q = 2, t = −403

私钥指数

d = 605

计数

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

答案

H = 60

14.图论

答案: 边 EF

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

1. BD (1)

2. AB (3)

3. AC (9)

4. EF (14)

5. DF (18)

NAT 只为从内部发起的连接建立映射。端口转发规则把一个公网端口映射到内部主机，使入站连接能够到达它。

答案

B · 在路由器上配置端口转发，指向该 PC 的私有地址

19.IPv4 子网划分

答案: x = 88

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

块大小

2³ = 8

第 12 个子网

网络: (12 − 1)·8 = 88

广播: 88 + 8 − 1 = 95

答案

x = 88

20.IPv4 子网划分

答案: x = 32

VLSM：每个局域网分配满足 2ʰ − 2 ≥ 其主机数的最小子网，即前缀 32 − h。先分配最大的子网，可使每个块都对齐在其自身大小的倍数上，因此网络地址就是各块大小依次相加的结果。

每个局域网的块大小

C: 29 主机 → 2⁵ = 32 (/27)

B: 17 主机 → 2⁵ = 32 (/27)

E: 7 主机 → 2⁴ = 16 (/28)

D: 5 主机 → 2³ = 8 (/29)

A: 4 主机 → 2³ = 8 (/29)

分配顺序，从大到小

C: .0 – .31

B: .32 – .63

E: .64 – .79

D: .80 – .87

A: .88 – .95

答案

x = 32

局域网 B：192.168.184.32/27。

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