数制
- 位权
- 二进制 2k，八进制 8k，十六进制 16k
- 转为十进制
- Σ dk·bk
- 从十进制转换
- 除以基数，余数从下往上读
- 十六进制 ↔ 二进制
- 一位十六进制数 = 4 位二进制
- 二进制补码
- 按位取反后加 1
计算机科学导论：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
命题逻辑与证明
- 真值表的行数
- 2ⁿ
- 蕴涵
- p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
- 蕴涵的否定
- ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
- 双条件
- p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
- 德摩根律
- ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
- 分配律
- p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
- 量词的否定
- ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
- 肯定前件，否定后件
- p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p
方法
- 数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
- 给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
- 按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
- 判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
- 否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。
数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
- 基本逻辑门
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- 布尔规则
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- 德摩根律
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- 卡诺图的顺序
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- 由 2ᵏ 个格子组成的圈
- 消去 k 个变量
- 4 选 1 多路选择器
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- 触发器
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- 计数器
- n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
- 行波计数器
- fmax = 1/(n·tpd)
- 环形计数器与约翰逊计数器
- n 个和 2n 个状态
方法
- 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
- 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
- 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
- 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。
数论与模运算
- 带余除法
- a = q·n + r, 0 ≤ r < n
- 欧几里得
- gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
- 最小公倍数
- lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
- 逆矩阵
- a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
- 线性同余方程
- a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
- 欧拉函数
- φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
- 费马
- aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
- RSA
- n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
方法
- 先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
- 求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
- 求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
- 解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
- 求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。
图论
- 握手引理
- Σ deg(v) = 2|E|
- 完全图
- |E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
- 正则图
- |E| = n·k/2
- 树与森林
- |E| = n − 1, |E| = n − c
- 树的叶子
- L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
- 欧拉
- 回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
- Kn 中的哈密顿回路
- (n − 1)!/2
- 迪杰斯特拉更新
- d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
- 长度为 L 的途径
- (Mᴸ)ij
方法
- 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
- 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
- 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
- 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
- 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。
IPv4 子网划分
- 每个子网的主机数
- 2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
- 块大小
- 256 − (mask octet)
- 网络地址
- IP AND 掩码
- 广播地址
- IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
- 借用 n 位得到的子网数
- 2n
2练习题
1.数制中等
设置各位，使其以 8 位补码存储 −90。按无符号数读取，该位模式的值 U 是多少？
N = −908 bit
U =
2.数制困难
把各位设置为 1110 1101 << 2 的 8 位结果。该结果的十进制值 R 是多少？
1110 1101<< 2
R =
3.命题逻辑与证明中等
在其真值表的 8 行中，(r ∧ q) ∧ ((q ∧ p) → ¬(p → r)) 在多少行为真？把这个数记作 N。
(r ∧ q) ∧ ((q ∧ p) → ¬(p → r))
N =
4.命题逻辑与证明困难
已知前提 b → c; ¬c。由它们可以推出哪个结论？点选它。
b → c¬c
- 1¬b ∧ c
- 2¬b
- 3b
- 4c
5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
用卡诺图求 F(A, B, C, D) = Σm(2, 4, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15) 的最简积之和 (SOP) 形式。它总共包含多少个文字 L（带撇的变量算一个文字）？
F(A, B, C, D) = Σm(2, 4, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15)
L =
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
求 F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 3, 7, 8, 12, 13, 14, 15) + d(6, 9) 的最简 SOP 形式，其中 d 表示无关项。它包含多少个文字 L？
F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 3, 7, 8, 12, 13, 14, 15) + d(6, 9)
L =
7.数论与模运算中等
求 38 模 43 的逆元：满足 0 < x < 43 且 38·x ≡ 1 (mod 43) 的数 x。
a = 38n = 43
38−1 mod 43 =
8.数论与模运算困难
53 是素数。用费马小定理求 719031 mod 53。
p = 53k = 19031
719031 mod 53 =
9.算法与复杂度中等
递推式 T(n) = T(n/2) + O(1) 的解是什么？
- AO(1)
- BO(log n)
- CO(n log n)
- DO(n)
10.算法与复杂度困难
如果有人为某个 NP 完全问题找到了多项式时间算法，会有什么结果？
- A停机问题将变得可判定
- BNP 中的每个问题都能在多项式时间内求解，因此 P = NP
- C所有指数时间算法都会立即变成线性时间
- D只有那一个问题会进入 P
11.数据结构中等
为什么在实践中遍历数组往往比遍历同样长度的链表快得多？
- A数组遍历总共是 O(1)，而链表遍历是 O(n)
- B数组元素是连续存放的，因此能很好地利用 CPU 缓存
- C数组比较数值所用的指令更少
- D链表总是把元素存储在磁盘上
12.数据结构困难
线段树（segment tree）通常用于：
- A存储图的边
- B通过把每个前缀存储在单独的树节点中，按字母顺序对字符串排序
- C实现栈
- D在 O(log n) 时间内处理区间查询（如区间求和）和更新
13.图论中等
这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。
|V| = 5|E| = 6
- 1欧拉回路
- 2有欧拉通路，无回路
- 3都不是
14.图论困难
用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。
起点：A终点：F
d(F) =
15.数据库与 SQL中等
当 WHERE 子句没有匹配任何行时，SELECT SUM(amount) FROM orders 返回什么？
- A空字符串
- B0
- CNULL
- D报错
16.数据库与 SQL困难
在 customers LEFT JOIN orders 之后，为什么要用 COUNT(o.id) 而不是 COUNT(*) 来统计每个客户的订单数？
- ACOUNT(*) 会忽略含有 NULL 值的行
- BCOUNT(o.id) 只统计不同的客户
- C对没有订单的客户，COUNT(*) 会把用 NULL 填充的那一行计为 1
- D连接之后不允许使用 COUNT(*)
17.计算机网络中等
什么能唯一标识互联网上 TCP 连接的一端？
- A仅 MAC 地址
- B子网掩码和网关
- C仅域名
- DIP 地址加端口号
18.计算机网络困难
一台服务器的私钥在一年后被盗。哪种 TLS 特性能保证今天被记录下来的会话仍然安全？
- A由临时 Diffie-Hellman 密钥交换提供的前向保密
- B把证书发送两次
- C在加密前压缩数据
- D使用更长的域名
19.IPv4 子网划分中等
网络 172.31.0.0/16 被划分为前缀为 /22 的等大子网。共有多少个子网 N？
172.31.0.0/16/22
N =
20.IPv4 子网划分困难
某主机地址为 10.20.134.233/26。其子网广播地址的最后一个数（第四个八位组）x 是多少？
10.20.134.233/26
x =
3溶液
1.数制
答案: U = 166
设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。
取反加一
90 = 0101 1010
取反后: 1010 0101
+1 → 1010 0110
按无符号数读取
1010 0110₂ = 256 − 90 = 166
答案
U = 166
2.数制
答案: R = 180
设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。
逐位计算
左移 2 位，把每一位向左移动 2 个位置；从左端移出的位丢失，右侧补入 0。
1110 1101 << 2
= 1011 0100
结果的值
1011 0100₂ = 180
答案
R = 180
3.命题逻辑与证明
答案: N = 1
真值表：含 n 个不同变量的公式有 2ⁿ 行，每一行对应真值的一种组合（1 = 真，0 = 假）。由内向外进行，给每个子公式单独一列。¬a 把值取反；a ∧ b 只有在两者都为 1 时才为 1；a ∨ b 只有在两者都为 0 时才为 0；a → b 只有在 a = 1 且 b = 0 时才为 0；a ↔ b 在两边相等时为 1。
逐行写出真值表
p = 1, q = 1, r = 1: r ∧ q = 1, q ∧ p = 1, p → r = 1, ¬(p → r) = 0, (q ∧ p) → ¬(p → r) = 0, (r ∧ q) ∧ ((q ∧ p) → ¬(p → r)) = 0
p = 1, q = 1, r = 0: r ∧ q = 0, q ∧ p = 1, p → r = 0, ¬(p → r) = 1, (q ∧ p) → ¬(p → r) = 1, (r ∧ q) ∧ ((q ∧ p) → ¬(p → r)) = 0
p = 1, q = 0, r = 1: r ∧ q = 0, q ∧ p = 0, p → r = 1, ¬(p → r) = 0, (q ∧ p) → ¬(p → r) = 1, (r ∧ q) ∧ ((q ∧ p) → ¬(p → r)) = 0
p = 1, q = 0, r = 0: r ∧ q = 0, q ∧ p = 0, p → r = 0, ¬(p → r) = 1, (q ∧ p) → ¬(p → r) = 1, (r ∧ q) ∧ ((q ∧ p) → ¬(p → r)) = 0
p = 0, q = 1, r = 1: r ∧ q = 1, q ∧ p = 0, p → r = 1, ¬(p → r) = 0, (q ∧ p) → ¬(p → r) = 1, (r ∧ q) ∧ ((q ∧ p) → ¬(p → r)) = 1
p = 0, q = 1, r = 0: r ∧ q = 0, q ∧ p = 0, p → r = 1, ¬(p → r) = 0, (q ∧ p) → ¬(p → r) = 1, (r ∧ q) ∧ ((q ∧ p) → ¬(p → r)) = 0
p = 0, q = 0, r = 1: r ∧ q = 0, q ∧ p = 0, p → r = 1, ¬(p → r) = 0, (q ∧ p) → ¬(p → r) = 1, (r ∧ q) ∧ ((q ∧ p) → ¬(p → r)) = 0
p = 0, q = 0, r = 0: r ∧ q = 0, q ∧ p = 0, p → r = 1, ¬(p → r) = 0, (q ∧ p) → ¬(p → r) = 1, (r ∧ q) ∧ ((q ∧ p) → ¬(p → r)) = 0
数出值为 1 的行数
(r ∧ q) ∧ ((q ∧ p) → ¬(p → r)): 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0
N = 1
答案
N = 1
4.命题逻辑与证明
答案: ¬b
量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。
所有前提都为真的行
b = 0, c = 0: ¬b ∧ c = 0, ¬b = 1, b = 0, c = 0
结论
¬b (否定后件式)
答案
¬b
5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
答案: L = 15
卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。
圈 1
每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。
B′CD′
BC′D′
BCD
AD′
AC
AB
最简 SOP 形式
F = B′CD′ + BC′D′ + BCD + AD′ + AC + AB
L = 15
答案
L = 15
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
答案: L = 7
卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。
质蕴涵项
由 1 和 X 能够构成的最大的圈。
BC, B′C′D′, A′C, AC′, AB, A′B′D′
最小覆盖
F = B′C′D′ + A′C + AB
L = 7
答案
L = 7
7.数论与模运算
答案: 38−1 mod 43 = 17
逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。
扩展欧几里得算法
每个余数 r 都写成 r ≡ t·38 (mod 43)。
r = 43, t = 0
r = 38, q = 1, t = 1
r = 5, q = 7, t = −1
r = 3, q = 1, t = 8
r = 2, q = 1, t = −9
r = 1, q = 2, t = 17
逆矩阵
1 ≡ 17·38 (mod 43)
x = 17
校核: 38·17 = 646 = 15·43 + 1
答案
38−1 mod 43 = 17
8.数论与模运算
答案: 719031 mod 53 = 38
模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。
化简指数
19031 mod 52 = 51
719031 ≡ 751 (mod 53)
小的幂
751 mod 53 = 38
答案
719031 mod 53 = 38
9.算法与复杂度
答案: B · O(log n)
为什么是这个答案
问题规模每一步减半，每步的工作量是常数，因此大约有 log₂ n 步。
答案
B · O(log n)
10.算法与复杂度
答案: B · NP 中的每个问题都能在多项式时间内求解，因此 P = NP
为什么是这个答案
由于整个 NP 都能在多项式时间内归约到任一 NP 完全问题，其中一个问题的快速算法就给出了所有问题的快速算法。
答案
B · NP 中的每个问题都能在多项式时间内求解，因此 P = NP
11.数据结构
答案: B · 数组元素是连续存放的，因此能很好地利用 CPU 缓存
为什么是这个答案
连续的内存带来良好的引用局部性，而链表节点可能分散各处，导致大量缓存未命中。
答案
B · 数组元素是连续存放的，因此能很好地利用 CPU 缓存
12.数据结构
答案: D · 在 O(log n) 时间内处理区间查询（如区间求和）和更新
为什么是这个答案
线段树存储各区间的聚合值，支持在 O(log n) 时间内完成区间查询和单点更新。
答案
D · 在 O(log n) 时间内处理区间查询（如区间求和）和更新
13.图论
答案: 欧拉回路
欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。
度
deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2
奇度顶点
0
欧拉回路
答案
欧拉回路
14.图论
答案: d(F) = 25
最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。
迪杰斯特拉算法逐轮过程
每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。
A (0): B: 12, C: 5
C (5): E: 15, G: 16
B (12): D: 26
E (15): D: 25, F: 25
G (16)
D (25)
F (25)
最短路径
A → C → E → F
d(F) = 25
答案
d(F) = 25
15.数据库与 SQL
答案: C · NULL
为什么是这个答案
SUM、AVG、MIN 和 MAX 在空集上返回 NULL，而 COUNT 返回 0；COALESCE(SUM(amount), 0) 则会返回 0。
答案
C · NULL
16.数据库与 SQL
答案: C · 对没有订单的客户，COUNT(*) 会把用 NULL 填充的那一行计为 1
为什么是这个答案
左连接为这类客户生成一行订单列为 NULL 的记录；COUNT(o.id) 跳过 NULL，正确地报告为 0。
答案
C · 对没有订单的客户，COUNT(*) 会把用 NULL 填充的那一行计为 1
17.计算机网络
答案: D · IP 地址加端口号
为什么是这个答案
一个 TCP 连接由源 IP 和端口以及目的 IP 和端口共同标识。端口用于区分同一主机上的众多应用程序。
答案
D · IP 地址加端口号
18.计算机网络
答案: A · 由临时 Diffie-Hellman 密钥交换提供的前向保密
为什么是这个答案
使用临时（EC）DHE 时，每个会话密钥都由用后即弃的临时值推导而来。长期密钥只用于对交换进行签名，因此日后被盗也无法解密旧的流量。
答案
A · 由临时 Diffie-Hellman 密钥交换提供的前向保密
19.IPv4 子网划分
答案: N = 64
IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).
借用位
22 − 16 = 6
子网数
N = 26 = 64
答案
N = 64
每个 /22 子网有 210 − 2 = 1022 个可用主机。
20.IPv4 子网划分
答案: x = 255
IPv4 子网划分：一个地址有 32 位。前缀 /p 表示前面多少位标识网络；其余 32 − p 位为主机编号。一个子网有 2³²⁻ᵖ 个地址，但第一个（网络地址）和最后一个（广播地址）不能分配给主机，所以可容纳 2³²⁻ᵖ − 2 台主机。 例外：/31（点对点链路，RFC 3021）的 2 个地址都用于主机，/32 只有一个地址（单个主机或环回地址）。
块大小
26 = 64
该主机所在子网
网络: ⌊233/64⌋·64 = 192
广播: 192 + 64 − 1 = 255
可用主机: 193 … 254
答案
x = 255
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