计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权: 二进制 2^k，八进制 8^k，十六进制 16^k
转为十进制: Σ d_k·b^k
从十进制转换: 除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制: 一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码: 按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数: 2ⁿ
蕴涵: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小: 256 − (mask octet)
网络地址: IP AND 掩码
广播地址: IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数: 2ⁿ

2练习题

1.数制中等

设置各位，使其以 8 位补码存储 −40。按无符号数读取，该位模式的值 U 是多少？

N = −408 bit

U =

2.数制困难

10 位能容纳的最大无符号整数 N 是多少？

10 bit

N =

3.命题逻辑与证明中等

在其真值表的 8 行中，((c ∧ a) → b) ↔ ((b ∧ ¬a) ∨ c) 在多少行为真？把这个数记作 N。

((c ∧ a) → b) ↔ ((b ∧ ¬a) ∨ c)

N =

4.命题逻辑与证明困难

已知前提 q ∨ r; ¬q ∨ p。由它们可以推出哪个结论？点选它。

q ∨ r¬q ∨ p

1q ∨ p
2r ∧ p
3¬r
4r ∨ p

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

用卡诺图求 F(A, B, C) = Σm(0, 2, 3, 5, 6, 7) 的最简积之和 (SOP) 形式。它总共包含多少个文字 L（带撇的变量算一个文字）？

F(A, B, C) = Σm(0, 2, 3, 5, 6, 7)

L =

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

求 F(A, B, C, D) = Σm(0, 6, 7, 15) + d(1, 9, 12) 的最简 SOP 形式，其中 d 表示无关项。它有多少个乘积项 N？

F(A, B, C, D) = Σm(0, 6, 7, 15) + d(1, 9, 12)

N =

7.数论与模运算中等

求满足 x ≡ 6 (mod 7) 和 x ≡ 11 (mod 13) 的最小正整数 x。

x ≡ 6 (mod 7)x ≡ 11 (mod 13)

x =

8.数论与模运算困难

用反复平方法求 7¹⁶¹ mod 12。

a = 7k = 161n = 12

7¹⁶¹ mod 12 =

9.算法与复杂度中等

在一个有序数组中，你从两端各放一个指针向内移动，寻找和为目标值的两个元素。时间复杂度是多少？

AO(n²)
BO(n)
CO(log n)
DO(n log n)

10.算法与复杂度困难

用一个只保留最后两个值的循环计算第 n 个斐波那契数，时间和空间代价各是多少？

AO(n) 时间和 O(n) 空间
BO(n) 时间和 O(1) 空间
CO(log n) 时间和 O(n) 空间
DO(2ⁿ) 时间和 O(1) 空间

11.数据结构中等

用两个栈实现一个队列：入队时压入 "in" 栈，出队时从 "out" 栈弹出，"out" 栈为空时从 "in" 栈重新填充。每次操作的均摊代价是多少？

AO(1)
BO(n²)
CO(log n)
DO(n)

12.数据结构困难

在 Kruskal 最小生成树算法中，并查集结构用来做什么？

A检查一条边的两个端点是否已经连通
B选择起始顶点
C按权重对边排序
D在搜索过程中存储每个顶点到源点的当前距离

13.图论中等

完全图 K₈ 有多少条不同的哈密顿回路 H？只是起点或方向不同的回路算作同一条。

K₈

H =

14.图论困难

迪杰斯特拉算法从 A 开始运行。点选在第 4 轮被确定（成为永久标号）的顶点；A 本身是第 1 轮。

起点：A轮 4

15.数据库与 SQL中等

公用表表达式（WITH name AS (...)）提供什么？

A一个新的数据库用户
B一个永久表，在被删除之前一直存储在磁盘上
C某列上的索引
D一个可在一条语句中使用的命名临时结果

16.数据库与 SQL困难

给定 R(A, B, C, D) 上的函数依赖 A → B、B → C 和 C → D，闭包 A⁺ 是什么？

A{A, B, C, D}
B{A}
C{A, B, C}
D{A, B}

17.计算机网络中等

哪个子网掩码对应 /20？

A255.255.224.0
B255.255.248.0
C255.255.255.240
D255.255.240.0

18.计算机网络困难

一个 TCP 连接的窗口为 64 KB，往返时间为 100 ms，且没有窗口扩大。它的最大吞吐量大约是多少？

A约 0.5 Mbit/s
B约 50 Mbit/s
C约 5 Mbit/s
D约 640 Mbit/s

19.IPv4 子网划分中等

网络 192.168.54.0/24 被划分为若干 /28 子网，从最低地址起编号为 1、2、3、…（子网 1 从 .0 开始）。子网 3 的网络地址的第四个八位组 x 是多少？

192.168.54.0/24/28子网 3 (子网 1 从 .0 开始)

x =

20.IPv4 子网划分困难

一台路由器有到以下网络的路由：10.75.239.0/24, 10.75.240.0/24。能覆盖所有这些网络的单条汇总路由，其最长前缀长度 p 是多少？

10.75.239.0/24 … 10.75.240.0/24

p =

3溶液

1.数制

答案: U = 216

设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。

取反加一

40 = 0010 1000

取反后: 1101 0111

+1 → 1101 1000

按无符号数读取

1101 1000₂ = 256 − 40 = 216

答案

U = 216

2.数制

答案: N = 1023

位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。

最大值

2¹⁰ − 1 = 1023

答案

N = 1023

3.命题逻辑与证明

答案: N = 4

真值表：含 n 个不同变量的公式有 2ⁿ 行，每一行对应真值的一种组合（1 = 真，0 = 假）。由内向外进行，给每个子公式单独一列。¬a 把值取反；a ∧ b 只有在两者都为 1 时才为 1；a ∨ b 只有在两者都为 0 时才为 0；a → b 只有在 a = 1 且 b = 0 时才为 0；a ↔ b 在两边相等时为 1。

逐行写出真值表

a = 1, b = 1, c = 1: c ∧ a = 1, (c ∧ a) → b = 1, ¬a = 0, b ∧ ¬a = 0, (b ∧ ¬a) ∨ c = 1, ((c ∧ a) → b) ↔ ((b ∧ ¬a) ∨ c) = 1

a = 1, b = 1, c = 0: c ∧ a = 0, (c ∧ a) → b = 1, ¬a = 0, b ∧ ¬a = 0, (b ∧ ¬a) ∨ c = 0, ((c ∧ a) → b) ↔ ((b ∧ ¬a) ∨ c) = 0

a = 1, b = 0, c = 1: c ∧ a = 1, (c ∧ a) → b = 0, ¬a = 0, b ∧ ¬a = 0, (b ∧ ¬a) ∨ c = 1, ((c ∧ a) → b) ↔ ((b ∧ ¬a) ∨ c) = 0

a = 1, b = 0, c = 0: c ∧ a = 0, (c ∧ a) → b = 1, ¬a = 0, b ∧ ¬a = 0, (b ∧ ¬a) ∨ c = 0, ((c ∧ a) → b) ↔ ((b ∧ ¬a) ∨ c) = 0

a = 0, b = 1, c = 1: c ∧ a = 0, (c ∧ a) → b = 1, ¬a = 1, b ∧ ¬a = 1, (b ∧ ¬a) ∨ c = 1, ((c ∧ a) → b) ↔ ((b ∧ ¬a) ∨ c) = 1

a = 0, b = 1, c = 0: c ∧ a = 0, (c ∧ a) → b = 1, ¬a = 1, b ∧ ¬a = 1, (b ∧ ¬a) ∨ c = 1, ((c ∧ a) → b) ↔ ((b ∧ ¬a) ∨ c) = 1

a = 0, b = 0, c = 1: c ∧ a = 0, (c ∧ a) → b = 1, ¬a = 1, b ∧ ¬a = 0, (b ∧ ¬a) ∨ c = 1, ((c ∧ a) → b) ↔ ((b ∧ ¬a) ∨ c) = 1

a = 0, b = 0, c = 0: c ∧ a = 0, (c ∧ a) → b = 1, ¬a = 1, b ∧ ¬a = 0, (b ∧ ¬a) ∨ c = 0, ((c ∧ a) → b) ↔ ((b ∧ ¬a) ∨ c) = 0

数出值为 1 的行数

((c ∧ a) → b) ↔ ((b ∧ ¬a) ∨ c): 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0

N = 4

答案

N = 4

4.命题逻辑与证明

答案: r ∨ p

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

所有前提都为真的行

p = 1, q = 1, r = 1: q ∨ p = 1, r ∧ p = 1, ¬r = 0, r ∨ p = 1

p = 1, q = 1, r = 0: q ∨ p = 1, r ∧ p = 0, ¬r = 1, r ∨ p = 1

p = 1, q = 0, r = 1: q ∨ p = 1, r ∧ p = 1, ¬r = 0, r ∨ p = 1

p = 0, q = 0, r = 1: q ∨ p = 0, r ∧ p = 0, ¬r = 0, r ∨ p = 1

结论

r ∨ p (分辨率)

答案

r ∨ p

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: L = 5

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

圈 1

x = 76

8.数论与模运算

答案: 7¹⁶¹ mod 12 = 7

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

二进制指数

161 = 10100001₂ = 128 + 32 + 1

反复平方

7¹ ≡ 7 (mod 12)

7² ≡ 1 (mod 12)

7⁴ ≡ 1 (mod 12)

7⁸ ≡ 1 (mod 12)

7¹⁶ ≡ 1 (mod 12)

A · 检查一条边的两个端点是否已经连通

13.图论

答案: H = 2520

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；K_n 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

计数

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

答案

H = 2520

14.图论

答案: D

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

1. A (0): B: 11, C: 14

2. B (11): D: 16

3. C (14): G: 18

4. D (16): E: 25, F: 30, G: 17

5. G (17): E: 22

6. E (22): F: 29

吞吐量 ≤ 窗口 / RTT = 65,536 × 8 比特 / 0.1 s ≈ 5.2 Mbit/s，无论链路有多快。

答案

C · 约 5 Mbit/s

19.IPv4 子网划分

答案: x = 32

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

块大小

2⁴ = 16

第 3 个子网

网络: (3 − 1)·16 = 32

广播: 32 + 16 − 1 = 47

答案

x = 32

20.IPv4 子网划分

答案: p = 19

路由汇总：汇总路由 a.b.c.0/p 覆盖前 p 位相同的所有网络。把第一个和最后一个网络中不同的那个八位组写成二进制；相同的前导位数加上它前面各八位组的位数，就是最长的汇总前缀。

比较各位

239 = 11101111

240 = 11110000

相同的前导位：3

前缀长度

p = 16 + 3 = 19

答案

p = /19

汇总路由：10.75.224.0/19 （它还覆盖了列表中没有的 30 个网络）。

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