计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权: 二进制 2^k，八进制 8^k，十六进制 16^k
转为十进制: Σ d_k·b^k
从十进制转换: 除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制: 一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码: 按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数: 2ⁿ
蕴涵: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小: 256 − (mask octet)
网络地址: IP AND 掩码
广播地址: IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数: 2ⁿ

2练习题

1.数制中等

设置各位，使其以 8 位补码存储 −45。按无符号数读取，该位模式的值 U 是多少？

N = −458 bit

U =

2.数制困难

把各位设置为 1101 0111 XOR 0011 0100 的 8 位结果。该结果的十进制值 R 是多少？

1101 0111XOR0011 0100

R =

3.命题逻辑与证明中等

你想用逆否证明来证明 ¬r → ¬p。你要改为证明哪个蕴涵？点选它。

¬r → ¬p

1¬p → ¬r
2¬¬p → ¬¬r
3¬¬r → ¬¬p
4¬r ∧ ¬¬p

4.命题逻辑与证明困难

把否定完全移到内部之后，哪个命题与 ¬∀x (A(x) ∨ B(x)) 等价？点选它。

¬∀x (A(x) ∨ B(x))

1∀x (¬A(x) ∨ ¬B(x))
2∃x (¬A(x) ∧ ¬B(x))
3∀x (¬A(x) ∧ ¬B(x))
4∃x (¬A(x) ∨ ¬B(x))

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

一个 4 选 1 多路选择器的选择输入为 S₁ = A 和 S₀ = B，数据输入分别接 I₀ = 1，I₁ = C′，I₂ = 1，I₃ = C′。在 A、B、C 的 8 种组合中，有多少种使输出 F = 1？求 N。

I₀ = 1I₁ = C′I₂ = 1I₃ = C′

N =

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

对于 F(A, B, C, D) = Σm(5, 6, 7, 8, 9, 14, 15) + d(11, 13)（其中 d 表示无关项），求必要质蕴涵项的个数 N。

F(A, B, C, D) = Σm(5, 6, 7, 8, 9, 14, 15) + d(11, 13)

N =

7.数论与模运算中等

求欧拉函数 φ(1156)，即 1 到 1156 中与 1156 互素的整数个数。

n = 1156 = 2²·17²

φ(1156) =

8.数论与模运算困难

97 是素数。用费马小定理求 9³⁰¹⁸² mod 97。

p = 97k = 30182

9³⁰¹⁸² mod 97 =

9.算法与复杂度中等

当问题具有以下特征时，动态规划（dynamic programming）很有用：

A重叠子问题和最优子结构
B完全没有子问题，因此一步就能解决
C只有一个循环
D只有随机输入

10.算法与复杂度困难

关于在无序数组中选择第 k 小的元素，下列哪个说法是正确的？

A选择总是需要 Ω(n log n)，因为必须先排序
B选择只能在 O(n²) 内完成
C快速选择的期望时间为 O(n)，而中位数的中位数法保证最坏情况为 O(n)
D快速选择的最坏情况为 O(log n)，因为它只对枢轴的一侧递归

11.数据结构中等

一棵二叉树的根为 1，左子节点为 2，右子节点为 3；节点 2 的子节点为 4（左）和 5（右）。后序遍历的结果是什么？

A5 4 3 2 1
B4 2 5 1 3
C1 2 4 5 3
D4 5 2 3 1

12.数据结构困难

哪种数据结构可以支持 get 和 put 均为 O(1) 的 LRU（最近最少使用）缓存？

A仅二叉搜索树
B哈希表与双向链表相结合
C仅栈
D单个有序数组

13.图论中等

完全图 K₄ 有多少条不同的哈密顿回路 H？只是起点或方向不同的回路算作同一条。

K₄

H =

14.图论困难

迪杰斯特拉算法从 A 开始运行。点选在第 6 轮被确定（成为永久标号）的顶点；A 本身是第 1 轮。

起点：A轮 6

15.数据库与 SQL中等

employees 表有一列 manager_id，引用另一名员工。如何在每名员工旁边列出其经理的姓名？

A用两个别名把 employees 表与它自身连接
B只使用 GROUP BY manager_id
C使用 UNION ALL 和 WHERE 过滤把该表与自身合并
D在磁盘上创建该表的第二个副本

16.数据库与 SQL困难

表 employee(emp_id, dept_id, dept_name) 的键是 emp_id，且 dept_id → dept_name。哪种说法正确？

A它满足 2NF 但不满足 3NF
B它满足 BCNF，因此也满足 3NF
C它不满足 1NF
D它不满足 2NF

17.计算机网络中等

分布式拒绝服务（DDoS）攻击的特征是什么？

A一个攻击者猜测用户的密码
B攻击者从附近的汽车里读取未加密的 Wi-Fi 流量
C一种病毒删除一台 PC 上的文件
D大量被攻陷的机器用流量淹没一个目标

18.计算机网络困难

为什么 TCP 为每个连接选择一个不可预测的初始序列号？

A加密每个段的净荷
B更有效地压缩数据
C为该连接的各个报文段选择到达目的地的最佳路由
D避免与旧的段混淆，并使伪造的段更难被注入

19.IPv4 子网划分中等

网络 192.168.4.0/24 被划分为若干 /29 子网，从最低地址起编号为 1、2、3、…（子网 1 从 .0 开始）。子网 12 的网络地址的第四个八位组 x 是多少？

192.168.4.0/24/29子网 12 (子网 1 从 .0 开始)

x =

20.IPv4 子网划分困难

某主机地址为 10.20.191.222/28。其网络地址的第四个八位组 x 是多少？

10.20.191.222/28

x =

3溶液

1.数制

答案: U = 211

设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。

取反加一

45 = 0010 1101

取反后: 1101 0010

+1 → 1101 0011

按无符号数读取

1101 0011₂ = 256 − 45 = 211

答案

U = 211

2.数制

答案: R = 227

逐位计算

XOR 在两位不同时得 1。

1101 0111

XOR 0011 0100

= 1110 0011

结果的值

1110 0011₂ = 227

答案

R = 227

3.命题逻辑与证明

答案: ¬¬p → ¬¬r

逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

蕴涵的各个部分

a = ¬r, b = ¬p

逆否命题

¬b → ¬a = ¬¬p → ¬¬r

答案

¬¬p → ¬¬r

逆否命题与原命题等价，所以证明了它就证明了原命题。

4.命题逻辑与证明

答案: ∃x (¬A(x) ∧ ¬B(x))

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

把否定移到内部

¬∀x (A(x) ∨ B(x)) ≡ ∃x (¬A(x) ∧ ¬B(x))

答案

∃x (¬A(x) ∧ ¬B(x))

其他选项要么保持某个量词不变，要么改变了量词的顺序，要么错误地否定了内部的公式。

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 6

多路选择器：2ⁿ 选 1 多路选择器把其数据输入之一传到输出；选择线按二进制数读取，决定选哪一个。对于选择端 S₁S₀ = AB 的 4 选 1 MUX，F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃。把数据输入接到 0、1、C 或 C′，可使 MUX 产生 A、B、C 的任意函数，这是用一块芯片实现逻辑的常用方法。

输出表达式

F = A′B′ + A′BC′ + AB′ + ABC′

F = 1 的行

ABC = 000, 001, 010, 100, 101, 110

N = 6

答案

N = 6

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 3

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

质蕴涵项

由 1 和 X 能够构成的最大的圈。

BD, BC, AD, AB′C′

必要质蕴涵项

BD, BC, AB′C′

N = 3

答案

N = 3

7.数论与模运算

答案: φ(1156) = 544

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

素因数

1156 = 2²·17²

欧拉函数值

φ(1156) = φ(4)·φ(289) = 2·272 = 544

答案

φ(1156) = 544

8.数论与模运算

答案: 9³⁰¹⁸² mod 97 = 16

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

B · 哈希表与双向链表相结合

13.图论

答案: H = 3

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；K_n 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

计数

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

答案

H = 3

14.图论

答案: G

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

1. A (0): B: 2, C: 12

2. B (2): C: 7, D: 6, G: 14

3. D (6): E: 19, F: 9

4. C (7): G: 10

5. F (9): E: 12

6. G (10)

随机的初始序列号能防止旧连接中延迟到达的段被接受，并使不在路径上的攻击者难以伪造有效的段。

答案

D · 避免与旧的段混淆，并使伪造的段更难被注入

19.IPv4 子网划分

答案: x = 88

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

块大小

2³ = 8

第 12 个子网

网络: (12 − 1)·8 = 88

广播: 88 + 8 − 1 = 95

答案

x = 88

20.IPv4 子网划分

答案: x = 208

IPv4 子网划分：一个地址有 32 位。前缀 /p 表示前面多少位标识网络；其余 32 − p 位为主机编号。一个子网有 2³²⁻ᵖ 个地址，但第一个（网络地址）和最后一个（广播地址）不能分配给主机，所以可容纳 2³²⁻ᵖ − 2 台主机。例外：/31（点对点链路，RFC 3021）的 2 个地址都用于主机，/32 只有一个地址（单个主机或环回地址）。

块大小

2⁴ = 16

该主机所在子网

网络: ⌊222/16⌋·16 = 208

广播: 208 + 16 − 1 = 223

可用主机: 209 … 222

答案

x = 208

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