计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权: 二进制 2^k，八进制 8^k，十六进制 16^k
转为十进制: Σ d_k·b^k
从十进制转换: 除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制: 一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码: 按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数: 2ⁿ
蕴涵: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小: 256 − (mask octet)
网络地址: IP AND 掩码
广播地址: IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数: 2ⁿ

2练习题

1.数制中等

8 位模式 1011 1111 以补码形式存储一个有符号整数。它的十进制值 N 是多少？

1011 11118 bit

N =

2.数制困难

32 位能容纳的最大无符号整数 N 是多少？

32 bit

N =

3.命题逻辑与证明中等

在其真值表的 8 行中，(¬q ∨ (¬p ∧ q)) → (r ∧ p) 在多少行为真？把这个数记作 N。

(¬q ∨ (¬p ∧ q)) → (r ∧ p)

N =

4.命题逻辑与证明困难

真值表的 16 行中，有多少行使 ¬(¬(s → ¬(p ∨ r)) ∧ (¬(q ∧ s) ∧ (¬p ↔ q))) 为真？把这个数记作 N。

¬(¬(s → ¬(p ∨ r)) ∧ (¬(q ∧ s) ∧ (¬p ↔ q)))

N =

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

用卡诺图求 F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 6, 9, 10, 11, 12, 13, 15) 的最简积之和 (SOP) 形式。它有多少个乘积项 N？

F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 6, 9, 10, 11, 12, 13, 15)

N =

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

一个上升沿触发的 D 触发器从 Q = 0 开始，接收到所示的输入。点选 Q 第一次从 1 回到 0 的时钟边沿。

Q₀ = 0D

1时钟边沿 1
2时钟边沿 2
3时钟边沿 3
4时钟边沿 4
5时钟边沿 5
6时钟边沿 6

7.数论与模运算中等

解 31x ≡ 65 (mod 67)。给出满足 0 < x < 67 的解 x。

31x ≡ 65 (mod 67)

x =

8.数论与模运算困难

某个 RSA 密钥使用素数 p = 23 和 q = 29，公钥指数 e = 19。求私钥指数 d（0 < d < φ(n)）。

p = 23q = 29e = 19

d =

9.算法与复杂度中等

用自底向上的表格计算第 n 个斐波那契数，时间复杂度是多少？

AO(n²)
BO(log n)
CO(n)
DO(2ⁿ)

10.算法与复杂度困难

Cook–Levin 定理确立了什么？

A停机问题是不可判定的
B每个 NP 问题都能在指数时间内求解
C布尔可满足性问题（SAT）是 NP 完全的
DP 不等于 NP

11.数据结构中等

一个大小为 7 的哈希表使用 h(k) = k mod 7 和线性探测。插入 10 之后，17 存放在哪里？

A下标 4
B下标 3
C下标 6
D下标 0

12.数据结构困难

把键 5、3、8、1 按此顺序插入一个空的基于数组的二叉最小堆。最终的数组是什么？

A[1, 3, 8, 5]
B[1, 3, 5, 8]
C[3, 1, 8, 5]
D[1, 5, 8, 3]

13.图论中等

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 5|E| = 6

1欧拉回路
2有欧拉通路，无回路
3都不是

14.图论困难

克鲁斯卡尔算法构造最小生成树。点选它加入的第 3 条边；被跳过的边不计。

k = 3

1边 AB
2边 AC
3边 BC
4边 BD
5边 CE
6边 DF
7边 EF
8边 BE

15.数据库与 SQL中等

某列包含值 10、20 和 NULL。AVG(col) 返回什么？

A15
BNULL
C30
D10

16.数据库与 SQL困难

EXPLAIN（或 PostgreSQL 中的 EXPLAIN ANALYZE）对一个查询显示什么？

A查询中每个 SQL 关键字的含义
B仅以关系代数表示法改写的查询
C运行过该查询的用户列表
D优化器选择的执行计划，例如扫描方式和连接方法

17.计算机网络中等

信号以约 2 × 10⁸ m/s 的速度在光纤中传播 2000 km。传播时延是多少？

A0.1 ms
B10 ms
C100 ms
D1 ms

18.计算机网络困难

在 SYN 泛洪攻击中，攻击者试图耗尽什么资源？

A客户端的 DNS 缓存
B服务器的半开连接表
C服务器的磁盘空间
D交换机的 MAC 地址表

19.IPv4 子网划分中等

一个子网使用掩码 255.255.255.192。它有多少个可用主机地址 H？

255.255.255.192

H =

20.IPv4 子网划分困难

某主机地址为 10.20.50.76/29。其子网中最后一个可用主机地址的第四个八位组 x 是多少？

10.20.50.76/29

x =

3溶液

1.数制

答案: N = −65

位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。

位权相加

其余各位保持正常的正权值。

−128 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = −65

答案

N = −65

2.数制

答案: N = 4.295 × 10⁹

最大值

2³² − 1 = 4294967295

答案

N = 4294967295

3.命题逻辑与证明

答案: N = 3

真值表：含 n 个不同变量的公式有 2ⁿ 行，每一行对应真值的一种组合（1 = 真，0 = 假）。由内向外进行，给每个子公式单独一列。¬a 把值取反；a ∧ b 只有在两者都为 1 时才为 1；a ∨ b 只有在两者都为 0 时才为 0；a → b 只有在 a = 1 且 b = 0 时才为 0；a ↔ b 在两边相等时为 1。

逐行写出真值表

p = 1, q = 1, r = 1: ¬q = 0, ¬p = 0, ¬p ∧ q = 0, ¬q ∨ (¬p ∧ q) = 0, r ∧ p = 1, (¬q ∨ (¬p ∧ q)) → (r ∧ p) = 1

p = 1, q = 1, r = 0: ¬q = 0, ¬p = 0, ¬p ∧ q = 0, ¬q ∨ (¬p ∧ q) = 0, r ∧ p = 0, (¬q ∨ (¬p ∧ q)) → (r ∧ p) = 1

p = 1, q = 0, r = 1: ¬q = 1, ¬p = 0, ¬p ∧ q = 0, ¬q ∨ (¬p ∧ q) = 1, r ∧ p = 1, (¬q ∨ (¬p ∧ q)) → (r ∧ p) = 1

p = 1, q = 0, r = 0: ¬q = 1, ¬p = 0, ¬p ∧ q = 0, ¬q ∨ (¬p ∧ q) = 1, r ∧ p = 0, (¬q ∨ (¬p ∧ q)) → (r ∧ p) = 0

p = 0, q = 1, r = 1: ¬q = 0, ¬p = 1, ¬p ∧ q = 1, ¬q ∨ (¬p ∧ q) = 1, r ∧ p = 0, (¬q ∨ (¬p ∧ q)) → (r ∧ p) = 0

p = 0, q = 1, r = 0: ¬q = 0, ¬p = 1, ¬p ∧ q = 1, ¬q ∨ (¬p ∧ q) = 1, r ∧ p = 0, (¬q ∨ (¬p ∧ q)) → (r ∧ p) = 0

p = 0, q = 0, r = 1: ¬q = 1, ¬p = 1, ¬p ∧ q = 0, ¬q ∨ (¬p ∧ q) = 1, r ∧ p = 0, (¬q ∨ (¬p ∧ q)) → (r ∧ p) = 0

p = 0, q = 0, r = 0: ¬q = 1, ¬p = 1, ¬p ∧ q = 0, ¬q ∨ (¬p ∧ q) = 1, r ∧ p = 0, (¬q ∨ (¬p ∧ q)) → (r ∧ p) = 0

数出值为 1 的行数

(¬q ∨ (¬p ∧ q)) → (r ∧ p): 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0

N = 3

答案

N = 3

4.命题逻辑与证明

答案: N = 14

各列

p ∨ r; ¬(p ∨ r); s → ¬(p ∨ r); ¬(s → ¬(p ∨ r)); q ∧ s; ¬(q ∧ s); ¬p; ¬p ↔ q; ¬(q ∧ s) ∧ (¬p ↔ q); ¬(s → ¬(p ∨ r)) ∧ (¬(q ∧ s) ∧ (¬p ↔ q)); ¬(¬(s → ¬(p ∨ r)) ∧ (¬(q ∧ s) ∧ (¬p ↔ q)))

按 p 拆分

p = 1: 6

p = 0: 8

N = 6 + 8 = 14

答案

N = 14

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 5

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

圈 1

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

B′CD′

A′CD′

A′B′D′

ABC′

最简 SOP 形式

F = B′CD′ + AD + A′CD′ + A′B′D′ + ABC′

N = 5

答案

N = 5

还存在另一种大小相同的圈法；它的项数和文字数相同。

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: 时钟边沿 5

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 f_clk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

每个边沿之后的 Q

D 触发器在每个上升沿复制 D：Q⁺ = D。

1: D = 1 → Q = 1

2: D = 1 → Q = 1

3: D = 1 → Q = 1

4: D = 1 → Q = 1

5: D = 0 → Q = 0

6: D = 1 → Q = 1

第一次从 1 变为 0

时钟边沿 5

答案

时钟边沿 5

7.数论与模运算

答案: x = 41

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

31 的逆元

r = 67, t = 0

r = 31, q = 2, t = 1

r = 5, q = 6, t = −2

r = 1, q = 5, t = 13

31⁻¹ ≡ 13 (mod 67)

求解

x ≡ 13·65 = 845 ≡ 41 (mod 67)

校核: 31·41 = 1271 ≡ 65 (mod 67)

答案

x = 41

8.数论与模运算

答案: d = 227

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

模数与欧拉函数值

n = 23·29 = 667

φ(n) = 22·28 = 616

扩展欧几里得算法

r = 616, t = 0

r = 19, q = 32, t = 1

r = 8, q = 2, t = −32

r = 3, q = 2, t = 65

r = 2, q = 1, t = −162

r = 1, q = 2, t = 227

私钥指数

d = 227

度

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 3

奇度顶点

A, E → 2

有欧拉通路，无回路

答案

有欧拉通路，无回路

欧拉通路从一个奇度顶点出发，在另一个奇度顶点结束。

14.图论

答案: 边 EF

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

1. AC (4)

2. AB (5)

3. EF (7)

4. BE (11)

5. DF (13)

每个 SYN 都使服务器预留状态并等待一个永远不会到来的 ACK。SYN cookie 可以在握手完成之前避免保存状态。

答案

B · 服务器的半开连接表

19.IPv4 子网划分

答案: H = 62

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

前缀长度

255.255.255.192 = /26

可用主机数

2⁶ − 2 = 62

答案

H = 62

20.IPv4 子网划分

答案: x = 78

IPv4 子网划分：一个地址有 32 位。前缀 /p 表示前面多少位标识网络；其余 32 − p 位为主机编号。一个子网有 2³²⁻ᵖ 个地址，但第一个（网络地址）和最后一个（广播地址）不能分配给主机，所以可容纳 2³²⁻ᵖ − 2 台主机。例外：/31（点对点链路，RFC 3021）的 2 个地址都用于主机，/32 只有一个地址（单个主机或环回地址）。

块大小

2³ = 8

该主机所在子网

网络: ⌊76/8⌋·8 = 72

广播: 72 + 8 − 1 = 79

可用主机: 73 … 78

答案

x = 78

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