计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权: 二进制 2^k，八进制 8^k，十六进制 16^k
转为十进制: Σ d_k·b^k
从十进制转换: 除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制: 一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码: 按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数: 2ⁿ
蕴涵: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小: 256 − (mask octet)
网络地址: IP AND 掩码
广播地址: IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数: 2ⁿ

2练习题

1.数制中等

8 位模式 1101 1000 以补码形式存储一个有符号整数。它的十进制值 N 是多少？

1101 10008 bit

N =

2.数制困难

把各位设置为 1110 0001 AND 1011 0100 的 8 位结果。该结果的十进制值 R 是多少？

1110 0001AND1011 0100

R =

3.命题逻辑与证明中等

哪个公式与 ¬(p ↔ r) 在逻辑上等价？点选它。

¬(p ↔ r)

1¬p ∨ ¬r
2¬p ↔ ¬r
3p ↔ ¬r
4p ∧ ¬r

4.命题逻辑与证明困难

真值表的 16 行中，有多少行使 ¬((d ∨ b) → (a ∨ (d ↔ c))) 为真？把这个数记作 N。

¬((d ∨ b) → (a ∨ (d ↔ c)))

N =

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

在这个卡诺图中，恰有一个 1 没有相邻的 1，所以它在最简 SOP 形式中仍是单个格子的圈（含四个文字的完整最小项）。跨越卡诺图边界的相邻关系也要计入。点选该格子。

F = Σm(0, 6, 8, 9, 10, 11, 15)

1AB = 00, CD = 00
2AB = 00, CD = 01
3AB = 00, CD = 11
4AB = 00, CD = 10
5AB = 01, CD = 00
6AB = 01, CD = 01
7AB = 01, CD = 11
8AB = 01, CD = 10
9AB = 11, CD = 00
10AB = 11, CD = 01
11AB = 11, CD = 11
12AB = 11, CD = 10
13AB = 10, CD = 00
14AB = 10, CD = 01
15AB = 10, CD = 11
16AB = 10, CD = 10

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

一个 4 位移位寄存器 Q₃Q₂Q₁Q₀ 中存有 0110。每个时钟边沿，各位向右移动一位（Q₃ → Q₂ → Q₁ → Q₀，Q₀ 丢失），串行输入进入 Q₃。串行输入在 4 个边沿处为 1, 0, 1, 1。给出最终状态 Q = Q₃Q₂Q₁Q₀，用十进制数表示。

Q₃Q₂Q₁Q₀ = 01101, 0, 1, 1

Q =

7.数论与模运算中等

求 46 模 83 的逆元：满足 0 < x < 83 且 46·x ≡ 1 (mod 83) 的数 x。

a = 46n = 83

46⁻¹ mod 83 =

8.数论与模运算困难

某个 RSA 密钥使用 p = 19，q = 47，e = 17。解密密文 c = 540：求消息 m。

p = 19q = 47e = 17c = 540

m =

9.算法与复杂度中等

Floyd–Warshall 算法计算什么？速度如何？

A以 O(V³) 计算所有顶点对之间的最短路径
B以 O(E log V) 计算最小生成树
C以 O(V + E) 计算从一个源顶点到所有其他顶点的最短路径
D以 O(V²) 计算拓扑序

10.算法与复杂度困难

下面代码的时间复杂度是多少：for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) 执行 O(1) 的工作？

AO(n²)
BO(n)
CO(n √n)
DO(n log n)

11.数据结构中等

一个道路网络有 100,000 个路口，每个路口大约与另外 4 个路口相连。哪种表示方法最合适？

A邻接矩阵
B一个有序的顶点数组
C邻接表
D一个由边组成的二叉堆

12.数据结构困难

在二叉堆中（已知元素位置），decrease-key 操作的时间复杂度是：

AO(n)
BO(n log n)
CO(1)
DO(log n)

13.图论中等

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 6|E| = 8

1欧拉回路
2有欧拉通路，无回路
3都不是

14.图论困难

求带权图的最小生成树的总权重 W。

|V| = 7|E| = 11

W =

15.数据库与 SQL中等

关于 HAVING，下列哪项说法正确？

A它可以使用聚合函数来过滤分组
B它用于对结果排序
C它在 SELECT 语句中必须写在 WHERE 之前
D它不能与 GROUP BY 一起使用

16.数据库与 SQL困难

R(A, B, C, D) 有函数依赖 A → B 和 C → D。候选键是什么？

A{A}
B{C}
C{B, D}
D{A, C}

17.计算机网络中等

一台路由器有到 10.0.0.0/8 和 10.1.0.0/16 的路由。对于发往 10.1.5.5 的数据包，它使用哪条路由？

A两条路由都用，平分流量
B10.0.0.0/8，因为它比 /16 覆盖的地址更多
C10.1.0.0/16，因为它是最长匹配前缀
D10.0.0.0/8，因为它是先添加的

18.计算机网络困难

为什么 TCP 为每个连接选择一个不可预测的初始序列号？

A避免与旧的段混淆，并使伪造的段更难被注入
B为该连接的各个报文段选择到达目的地的最佳路由
C更有效地压缩数据
D加密每个段的净荷

19.IPv4 子网划分中等

某部门在一个子网内需要 1959 个主机地址。足够使用的最长前缀 p（最小子网）是多少？

1959 hosts

p =

20.IPv4 子网划分困难

一台主机的地址为 172.20.121.32/18。其网络地址的第三个八位组 x 是多少？

172.20.121.32/18

x =

3溶液

1.数制

答案: N = −40

位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。

位权相加

其余各位保持正常的正权值。

−128 + 64 + 16 + 8 = −40

答案

N = −40

2.数制

答案: R = 160

设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。

逐位计算

AND 只有在两位都为 1 时才得 1。

1110 0001

AND 1011 0100

= 1010 0000

结果的值

1010 0000₂ = 160

答案

R = 160

3.命题逻辑与证明

答案: p ↔ ¬r

逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

定律

¬(a ↔ b) 恰好在 a 和 b 不同时为 1，即 a ↔ ¬b。

¬(p ↔ r) ≡ p ↔ ¬r

用真值表检验

p = 1, r = 1: 0 | 0 1 0 0

p = 1, r = 0: 1 | 1 0 1 1

p = 0, r = 1: 1 | 1 0 1 0

p = 0, r = 0: 0 | 1 1 0 0

答案

p ↔ ¬r

竖线之后的各列是按所示顺序排列的各个选项。

4.命题逻辑与证明

答案: N = 3

真值表：含 n 个不同变量的公式有 2ⁿ 行，每一行对应真值的一种组合（1 = 真，0 = 假）。由内向外进行，给每个子公式单独一列。¬a 把值取反；a ∧ b 只有在两者都为 1 时才为 1；a ∨ b 只有在两者都为 0 时才为 0；a → b 只有在 a = 1 且 b = 0 时才为 0；a ↔ b 在两边相等时为 1。

各列

d ∨ b; d ↔ c; a ∨ (d ↔ c); (d ∨ b) → (a ∨ (d ↔ c)); ¬((d ∨ b) → (a ∨ (d ↔ c)))

按 a 拆分

a = 1: 0

a = 0: 3

N = 0 + 3 = 3

答案

N = 3

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: AB = 01, CD = 10

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

每个 1 的邻格

有相邻 1 的 1 可以加入由两个或更多格子组成的圈。

m6: m7, m4, m2, m14 → 0

孤立的 1

m6 = A′BCD′ → AB = 01, CD = 10

答案

AB = 01, CD = 10

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: Q = 13

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 f_clk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

每个边沿之后的状态

0110 → 1011 → 0101 → 1010 → 1101

十进制值

1101₂ = 13

答案

Q = 13

7.数论与模运算

答案: 46⁻¹ mod 83 = 74

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

扩展欧几里得算法

每个余数 r 都写成 r ≡ t·46 (mod 83)。

r = 83, t = 0

r = 46, q = 1, t = 1

r = 37, q = 1, t = −1

r = 9, q = 4, t = 2

r = 1, q = 9, t = −9

逆矩阵

1 ≡ −9·46 (mod 83)

x = 74

校核: 46·74 = 3404 = 41·83 + 1

答案

46⁻¹ mod 83 = 74

8.数论与模运算

答案: m = 31

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

私钥指数

n = 893, φ(n) = 828

d = 17⁻¹ mod 828 = 341

用反复平方法解密

341 = 256 + 64 + 16 + 4 + 1

540¹ ≡ 540 (mod 893)

540² ≡ 482 (mod 893)

540⁴ ≡ 144 (mod 893)

540⁸ ≡ 197 (mod 893)

540¹⁶ ≡ 410 (mod 893)

540³² ≡ 216 (mod 893)

540⁶⁴ ≡ 220 (mod 893)

540¹²⁸ ≡ 178 (mod 893)

540²⁵⁶ ≡ 429 (mod 893)

540³⁴¹ ≡ 540·144·410·220·429 ≡ 31 (mod 893)

消息

m = 31

度

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 2

奇度顶点

A, D → 2

有欧拉通路，无回路

答案

有欧拉通路，无回路

欧拉通路从一个奇度顶点出发，在另一个奇度顶点结束。

14.图论

答案: W = 33

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

AB (1): 取

BC (3): 取

EF (4): 取

AC (5): 跳过，会形成圈

DE (6): 取

A · 避免与旧的段混淆，并使伪造的段更难被注入

19.IPv4 子网划分

答案: p = 21

IPv4 子网划分：一个地址有 32 位。前缀 /p 表示前面多少位标识网络；其余 32 − p 位为主机编号。一个子网有 2³²⁻ᵖ 个地址，但第一个（网络地址）和最后一个（广播地址）不能分配给主机，所以可容纳 2³²⁻ᵖ − 2 台主机。例外：/31（点对点链路，RFC 3021）的 2 个地址都用于主机，/32 只有一个地址（单个主机或环回地址）。

所需主机位

2¹⁰ − 2 = 1022 < 1959

2¹¹ − 2 = 2046 ≥ 1959 → h = 11

前缀长度

p = 32 − 11 = 21

答案

p = /21

20.IPv4 子网划分

答案: x = 64

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

第三个八位组中的块大小

2⁶ = 64

该主机所在子网

网络: 172.20.64.0

广播: 172.20.127.255

答案

x = 64

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