数制
- 位权
- 二进制 2k，八进制 8k，十六进制 16k
- 转为十进制
- Σ dk·bk
- 从十进制转换
- 除以基数，余数从下往上读
- 十六进制 ↔ 二进制
- 一位十六进制数 = 4 位二进制
- 二进制补码
- 按位取反后加 1
计算机科学导论：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
命题逻辑与证明
- 真值表的行数
- 2ⁿ
- 蕴涵
- p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
- 蕴涵的否定
- ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
- 双条件
- p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
- 德摩根律
- ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
- 分配律
- p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
- 量词的否定
- ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
- 肯定前件，否定后件
- p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p
方法
- 数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
- 给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
- 按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
- 判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
- 否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。
数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
- 基本逻辑门
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- 布尔规则
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- 德摩根律
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- 卡诺图的顺序
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- 由 2ᵏ 个格子组成的圈
- 消去 k 个变量
- 4 选 1 多路选择器
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- 触发器
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- 计数器
- n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
- 行波计数器
- fmax = 1/(n·tpd)
- 环形计数器与约翰逊计数器
- n 个和 2n 个状态
方法
- 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
- 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
- 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
- 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。
数论与模运算
- 带余除法
- a = q·n + r, 0 ≤ r < n
- 欧几里得
- gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
- 最小公倍数
- lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
- 逆矩阵
- a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
- 线性同余方程
- a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
- 欧拉函数
- φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
- 费马
- aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
- RSA
- n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
方法
- 先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
- 求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
- 求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
- 解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
- 求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。
图论
- 握手引理
- Σ deg(v) = 2|E|
- 完全图
- |E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
- 正则图
- |E| = n·k/2
- 树与森林
- |E| = n − 1, |E| = n − c
- 树的叶子
- L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
- 欧拉
- 回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
- Kn 中的哈密顿回路
- (n − 1)!/2
- 迪杰斯特拉更新
- d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
- 长度为 L 的途径
- (Mᴸ)ij
方法
- 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
- 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
- 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
- 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
- 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。
IPv4 子网划分
- 每个子网的主机数
- 2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
- 块大小
- 256 − (mask octet)
- 网络地址
- IP AND 掩码
- 广播地址
- IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
- 借用 n 位得到的子网数
- 2n
2练习题
1.数制中等
8 位模式 1001 1111 以补码形式存储一个有符号整数。它的十进制值 N 是多少？
1001 11118 bit
N =
2.数制困难
把各位设置为 0011 0011 AND 0001 1000 的 8 位结果。该结果的十进制值 R 是多少？
0011 0011AND0001 1000
R =
3.命题逻辑与证明中等
哪个公式与 ¬(r ∧ q) 在逻辑上等价？点选它。
¬(r ∧ q)
- 1¬r ∨ ¬q
- 2¬r ∧ ¬q
- 3¬r ∨ q
- 4¬r ∧ q
4.命题逻辑与证明困难
已知前提 p ∨ r; ¬p。由它们可以推出哪个结论？点选它。
p ∨ r¬p
- 1p ∧ r
- 2¬r
- 3r
- 4p
5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
用卡诺图求 F(A, B, C, D) = Σm(1, 6, 7, 9, 15) 的最简积之和 (SOP) 形式。它总共包含多少个文字 L（带撇的变量算一个文字）？
F(A, B, C, D) = Σm(1, 6, 7, 9, 15)
L =
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
求 F(A, B, C, D) = Σm(0, 3, 4, 6, 8, 10, 14) + d(5, 9, 12) 的最简 SOP 形式，其中 d 表示无关项。它有多少个乘积项 N？
F(A, B, C, D) = Σm(0, 3, 4, 6, 8, 10, 14) + d(5, 9, 12)
N =
7.数论与模运算中等
求 44 模 61 的逆元：满足 0 < x < 61 且 44·x ≡ 1 (mod 61) 的数 x。
a = 44n = 61
44−1 mod 61 =
8.数论与模运算困难
某个 RSA 密钥使用 p = 11，q = 41，e = 3。解密密文 c = 391：求消息 m。
p = 11q = 41e = 3c = 391
m =
9.算法与复杂度中等
贪心算法（greedy algorithm）：
- A总能给出最优解
- B尝试所有可能的解
- C在每一步都做出局部最优的选择
- D只使用递归
10.算法与复杂度困难
Held–Karp 动态规划算法能精确求解旅行商问题。对 n 个城市，它的运行时间是多少？
- AO(2n²)
- BO(n!)
- CO(n² 2ⁿ)
- DO(n³)
11.数据结构中等
如果按已排序的顺序插入键，含 n 个节点的二叉搜索树在最坏情况下的高度是多少？
- A√n
- B1
- Clog₂ n
- Dn（退化为链表）
12.数据结构困难
布隆过滤器（Bloom filter）回答"该元素是否在集合中？"时：
- A可能出现假阳性，但不会出现假阴性
- B总是给出精确答案
- C可能出现假阴性，但不会出现假阳性
- D只能回答数字的情况
13.图论中等
这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。
|V| = 6|E| = 7
- 1欧拉回路
- 2有欧拉通路，无回路
- 3都不是
14.图论困难
用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。
起点：A终点：F
d(F) =
15.数据库与 SQL中等
哪条语句删除表中的所有行、保留其结构，并且不能带 WHERE 子句？
- A带 WHERE 子句的 DELETE FROM
- BDROP TABLE
- CTRUNCATE TABLE
- DALTER TABLE
16.数据库与 SQL困难
表 enrolment(student_id, course_id, student_name, grade) 的键是 (student_id, course_id)。它违反了哪个范式？
- A第二范式，因为 student_name 只依赖于 student_id
- B只违反第三范式，因为 grade 依赖于 student_name
- C第一范式，因为 grade 列的值不是原子的
- D都不违反，它满足 BCNF
17.计算机网络中等
传统的共享式（半双工）以太网使用哪种介质访问方法？
- ACSMA/CD
- BTDMA
- CCSMA/CA
- D令牌传递
18.计算机网络困难
一条路径的带宽为 100 Mbit/s，往返时间为 40 ms。要使其被充分利用，在途数据量必须有多少？
- A500 kB
- B4 kB
- C2.5 MB
- D50 kB
19.IPv4 子网划分中等
网络 10.74.73.0/24 被划分为前缀为 /26 的等大子网。共有多少个子网 N？
10.74.73.0/24/26
N =
20.IPv4 子网划分困难
一台路由器有到以下网络的路由：10.90.43.0/24, 10.90.44.0/24, 10.90.45.0/24, 10.90.46.0/24, 10.90.47.0/24。能覆盖所有这些网络的单条汇总路由，其最长前缀长度 p 是多少？
10.90.43.0/24 … 10.90.47.0/24
p =
3溶液
1.数制
答案: N = −97
位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。
位权相加
其余各位保持正常的正权值。
−128 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = −97
答案
N = −97
2.数制
答案: R = 16
设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。
逐位计算
AND 只有在两位都为 1 时才得 1。
0011 0011
AND 0001 1000
= 0001 0000
结果的值
0001 0000₂ = 16
答案
R = 16
3.命题逻辑与证明
答案: ¬r ∨ ¬q
逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。
定律
德摩根律：¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b。∧ 变成 ∨，并且两个部分都取否定。
¬(r ∧ q) ≡ ¬r ∨ ¬q
用真值表检验
q = 1, r = 1: 0 | 0 0 1 0
q = 1, r = 0: 1 | 1 0 1 1
q = 0, r = 1: 1 | 1 0 0 0
q = 0, r = 0: 1 | 1 1 1 0
答案
¬r ∨ ¬q
竖线之后的各列是按所示顺序排列的各个选项。
4.命题逻辑与证明
答案: r
量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。
所有前提都为真的行
p = 0, r = 1: p ∧ r = 0, ¬r = 0, r = 1, p = 0
结论
r (析取三段论)
答案
r
5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
答案: L = 9
卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。
圈 1
每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。
B′C′D
BCD
A′BC
最简 SOP 形式
F = B′C′D + BCD + A′BC
L = 9
答案
L = 9
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
答案: N = 4
卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。
质蕴涵项
由 1 和 X 能够构成的最大的圈。
C′D′, BD′, AD′, A′BC′, AB′C′, A′B′CD
最小覆盖
F = C′D′ + BD′ + AD′ + A′B′CD
N = 4
答案
N = 4
7.数论与模运算
答案: 44−1 mod 61 = 43
逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。
扩展欧几里得算法
每个余数 r 都写成 r ≡ t·44 (mod 61)。
r = 61, t = 0
r = 44, q = 1, t = 1
r = 17, q = 2, t = −1
r = 10, q = 1, t = 3
r = 7, q = 1, t = −4
r = 3, q = 2, t = 7
r = 1, q = 3, t = −18
逆矩阵
1 ≡ −18·44 (mod 61)
x = 43
校核: 44·43 = 1892 = 31·61 + 1
答案
44−1 mod 61 = 43
8.数论与模运算
答案: m = 30
模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。
私钥指数
n = 451, φ(n) = 400
d = 3−1 mod 400 = 267
用反复平方法解密
267 = 256 + 8 + 2 + 1
3911 ≡ 391 (mod 451)
3912 ≡ 443 (mod 451)
3914 ≡ 64 (mod 451)
3918 ≡ 37 (mod 451)
39116 ≡ 16 (mod 451)
39132 ≡ 256 (mod 451)
39164 ≡ 141 (mod 451)
391128 ≡ 37 (mod 451)
391256 ≡ 16 (mod 451)
391267 ≡ 391·443·37·16 ≡ 30 (mod 451)
消息
m = 30
校核: 303 mod 451 = 391
答案
m = 30
9.算法与复杂度
答案: C · 在每一步都做出局部最优的选择
为什么是这个答案
贪心算法速度快，对某些问题是最优的（例如 Dijkstra、Huffman 编码），但一般情况下并非如此（例如某些硬币体系下的找零问题）。
答案
C · 在每一步都做出局部最优的选择
10.算法与复杂度
答案: C · O(n² 2ⁿ)
为什么是这个答案
大约有 n 2ⁿ 个状态，每个状态在 O(n) 内算出；这是指数级的，但比尝试全部 (n − 1)! 条回路快得多。
答案
C · O(n² 2ⁿ)
11.数据结构
答案: D · n（退化为链表）
为什么是这个答案
有序插入会生成高度为 n 的退化树，使查找变为 O(n)。平衡树可以避免这种情况。
答案
D · n（退化为链表）
12.数据结构
答案: A · 可能出现假阳性，但不会出现假阴性
为什么是这个答案
如果某元素对应的任一位为 0，则它一定不存在；如果全部为 1，则它很可能存在。布隆过滤器以牺牲准确性换取极少的内存占用。
答案
A · 可能出现假阳性，但不会出现假阴性
13.图论
答案: 都不是
欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。
度
deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 1, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2
奇度顶点
A, C, D, E → 4
都不是
答案
都不是
14.图论
答案: d(F) = 16
最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。
迪杰斯特拉算法逐轮过程
每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。
A (0): B: 15, C: 2
C (2): B: 14, E: 13
E (13): D: 14, F: 16
B (14)
D (14)
F (16)
最短路径
A → C → E → F
d(F) = 16
答案
d(F) = 16
15.数据库与 SQL
答案: C · TRUNCATE TABLE
为什么是这个答案
TRUNCATE 快速清空表并保留其定义；DELETE 可以删除选定的行，DROP 则删除表本身。
答案
C · TRUNCATE TABLE
16.数据库与 SQL
答案: A · 第二范式，因为 student_name 只依赖于 student_id
为什么是这个答案
student_name 只依赖于键的一部分，这是部分依赖；把它移到 students 表中可以修正对 2NF 的违反。
答案
A · 第二范式，因为 student_name 只依赖于 student_id
17.计算机网络
答案: A · CSMA/CD
为什么是这个答案
载波侦听多路访问/冲突检测：站点检测到冲突时停止发送，并在随机退避后重试。全双工交换式以太网没有冲突。
答案
A · CSMA/CD
18.计算机网络
答案: A · 500 kB
为什么是这个答案
带宽时延积为 100 × 10⁶ bit/s × 0.04 s = 4 × 10⁶ 比特 = 500 kB。发送方的窗口必须至少这么大。
答案
A · 500 kB
19.IPv4 子网划分
答案: N = 4
IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).
借用位
26 − 24 = 2
子网数
N = 22 = 4
答案
N = 4
每个 /26 子网有 26 − 2 = 62 个可用主机。
20.IPv4 子网划分
答案: p = 21
路由汇总：汇总路由 a.b.c.0/p 覆盖前 p 位相同的所有网络。把第一个和最后一个网络中不同的那个八位组写成二进制；相同的前导位数加上它前面各八位组的位数，就是最长的汇总前缀。
比较各位
43 = 00101011
47 = 00101111
相同的前导位：5
前缀长度
p = 16 + 5 = 21
答案
p = /21
汇总路由：10.90.40.0/21 （它还覆盖了列表中没有的 3 个网络）。
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