数制
- 位权
- 二进制 2k，八进制 8k，十六进制 16k
- 转为十进制
- Σ dk·bk
- 从十进制转换
- 除以基数，余数从下往上读
- 十六进制 ↔ 二进制
- 一位十六进制数 = 4 位二进制
- 二进制补码
- 按位取反后加 1
计算机科学导论：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
命题逻辑与证明
- 真值表的行数
- 2ⁿ
- 蕴涵
- p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
- 蕴涵的否定
- ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
- 双条件
- p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
- 德摩根律
- ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
- 分配律
- p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
- 量词的否定
- ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
- 肯定前件，否定后件
- p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p
方法
- 数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
- 给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
- 按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
- 判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
- 否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。
数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
- 基本逻辑门
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- 布尔规则
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- 德摩根律
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- 卡诺图的顺序
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- 由 2ᵏ 个格子组成的圈
- 消去 k 个变量
- 4 选 1 多路选择器
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- 触发器
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- 计数器
- n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
- 行波计数器
- fmax = 1/(n·tpd)
- 环形计数器与约翰逊计数器
- n 个和 2n 个状态
方法
- 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
- 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
- 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
- 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。
数论与模运算
- 带余除法
- a = q·n + r, 0 ≤ r < n
- 欧几里得
- gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
- 最小公倍数
- lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
- 逆矩阵
- a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
- 线性同余方程
- a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
- 欧拉函数
- φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
- 费马
- aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
- RSA
- n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
方法
- 先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
- 求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
- 求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
- 解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
- 求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。
图论
- 握手引理
- Σ deg(v) = 2|E|
- 完全图
- |E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
- 正则图
- |E| = n·k/2
- 树与森林
- |E| = n − 1, |E| = n − c
- 树的叶子
- L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
- 欧拉
- 回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
- Kn 中的哈密顿回路
- (n − 1)!/2
- 迪杰斯特拉更新
- d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
- 长度为 L 的途径
- (Mᴸ)ij
方法
- 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
- 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
- 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
- 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
- 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。
IPv4 子网划分
- 每个子网的主机数
- 2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
- 块大小
- 256 − (mask octet)
- 网络地址
- IP AND 掩码
- 广播地址
- IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
- 借用 n 位得到的子网数
- 2n
2练习题
1.数制中等
设置各位，使其以 8 位补码存储 −54。按无符号数读取，该位模式的值 U 是多少？
N = −548 bit
U =
2.数制困难
某系统要为 762 个项目中的每一个分配一个长度相同的独立二进制编码。最少需要多少位 b？
762
b = bit
3.命题逻辑与证明中等
哪个公式与 b → c 在逻辑上等价？点选它。
b → c
- 1¬b → ¬c
- 2¬c ∧ ¬b
- 3c → b
- 4¬c → ¬b
4.命题逻辑与证明困难
已知前提 p ∨ r; ¬p。由它们可以推出哪个结论？点选它。
p ∨ r¬p
- 1r
- 2p ∧ r
- 3¬r
- 4p
5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
在这个卡诺图中，恰有一个 1 没有相邻的 1，所以它在最简 SOP 形式中仍是单个格子的圈（含四个文字的完整最小项）。跨越卡诺图边界的相邻关系也要计入。点选该格子。
F = Σm(3, 5, 8, 12, 13, 14, 15)
- 1AB = 00, CD = 00
- 2AB = 00, CD = 01
- 3AB = 00, CD = 11
- 4AB = 00, CD = 10
- 5AB = 01, CD = 00
- 6AB = 01, CD = 01
- 7AB = 01, CD = 11
- 8AB = 01, CD = 10
- 9AB = 11, CD = 00
- 10AB = 11, CD = 01
- 11AB = 11, CD = 11
- 12AB = 11, CD = 10
- 13AB = 10, CD = 00
- 14AB = 10, CD = 01
- 15AB = 10, CD = 11
- 16AB = 10, CD = 10
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
3 位二进制减法计数器从 1（十进制，Q = 001）开始。经过 18 个时钟脉冲后，它显示的计数 Q（十进制）是多少？
Q0 = 118n = 3
Q =
7.数论与模运算中等
求 18 模 61 的逆元：满足 0 < x < 61 且 18·x ≡ 1 (mod 61) 的数 x。
a = 18n = 61
18−1 mod 61 =
8.数论与模运算困难
用反复平方法求 458 mod 29。
a = 4k = 58n = 29
458 mod 29 =
9.算法与复杂度中等
快速排序的最坏情况时间复杂度是多少？
- AO(n log n)
- BO(n)
- CO(n²)
- DO(log n)
10.算法与复杂度困难
关于 little-o 记号，下列哪个说法是正确的？
- A2n = o(n)，因为 2n 增长得慢
- Bn² = o(n)
- Cn = o(n)，因为每个函数都是自身的 little-o
- Dn = o(n²)，但 n 不是 o(n)
11.数据结构中等
如何向二叉堆中插入一个新元素？
- A把它放在数组末尾，只要它违反堆性质就将其上浮（sift up）
- B把它放在根上，再将其下沉（sift down）
- C通过把所有更大的元素右移一位，将它插入到有序位置
- D从头重建整个堆
12.数据结构困难
哪条性质使每棵 B 树都保持完全平衡？
- A每个节点只存储一个键
- B键只存储在根中
- C所有叶子都位于同一深度
- D每个节点恰好有两个子节点
13.图论中等
一棵树有 3 个度为 3 的顶点, 3 个度为 4 的顶点, 2 个度为 2 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？
3 × deg 33 × deg 42 × deg 2
L =
14.图论困难
求带权图的最小生成树的总权重 W。
|V| = 6|E| = 9
W =
15.数据库与 SQL中等
LEFT JOIN 返回：
- A左表的所有行以及右表中匹配的行，无匹配处填充 NULL
- B仅返回右表的所有行
- C在两个表中都不匹配的行
- D仅返回两个表中匹配的行
16.数据库与 SQL困难
查询 FROM customers c LEFT JOIN orders o ON o.customer_id = c.id WHERE o.status = 'paid' 意外地丢掉了没有订单的客户。为什么？
- ALEFT JOIN 从不保留不匹配的行
- B对 o 的 WHERE 条件拒绝了用 NULL 填充的行，使其变成了内连接
- C连接应该使用 USING 而不是 ON
- Dstatus 是保留字
17.计算机网络中等
“ping”命令使用哪种协议？
- AUDP
- BTCP
- CICMP
- DHTTP
18.计算机网络困难
为什么 IPv6 不需要用 NAT 来解决地址短缺问题？
- AIPv6 不使用地址
- BIPv6 会加密所有地址
- C其 128 位地址空间足够大，可以为每台设备分配全局地址
- DIPv6 只在本地网络中工作，因此地址永远不需要全局共享
19.IPv4 子网划分中等
网络 192.168.233.0/24 被划分为若干 /28 子网，从最低地址起编号为 1、2、3、…（子网 1 从 .0 开始）。子网 11 的网络地址的第四个八位组 x 是多少？
192.168.233.0/24/28子网 11 (子网 1 从 .0 开始)
x =
20.IPv4 子网划分困难
一台路由器有到以下网络的路由：10.200.131.0/24, 10.200.132.0/24, 10.200.133.0/24, 10.200.134.0/24, 10.200.135.0/24。能覆盖所有这些网络的单条汇总路由，其最长前缀长度 p 是多少？
10.200.131.0/24 … 10.200.135.0/24
p =
3溶液
1.数制
答案: U = 202
设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。
取反加一
54 = 0011 0110
取反后: 1100 1001
+1 → 1100 1010
按无符号数读取
1100 1010₂ = 256 − 54 = 202
答案
U = 202
2.数制
答案: b = 10 bit
位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。
2 的幂
29 = 512 < 762
210 = 1024 ≥ 762
答案
b = 10
3.命题逻辑与证明
答案: ¬c → ¬b
逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。
定律
蕴涵与它的逆否命题 ¬b → ¬a 等价，而与它的逆命题 b → a 或否命题 ¬a → ¬b 不等价。
b → c ≡ ¬c → ¬b
用真值表检验
b = 1, c = 1: 1 | 1 0 1 1
b = 1, c = 0: 0 | 1 0 1 0
b = 0, c = 1: 1 | 0 0 0 1
b = 0, c = 0: 1 | 1 1 1 1
答案
¬c → ¬b
竖线之后的各列是按所示顺序排列的各个选项。
4.命题逻辑与证明
答案: r
量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。
所有前提都为真的行
p = 0, r = 1: r = 1, p ∧ r = 0, ¬r = 0, p = 0
结论
r (析取三段论)
答案
r
5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
答案: AB = 00, CD = 11
卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。
每个 1 的邻格
有相邻 1 的 1 可以加入由两个或更多格子组成的圈。
m3: m2, m1, m7, m11 → 0
孤立的 1
m3 = A′B′CD → AB = 00, CD = 11
答案
AB = 00, CD = 11
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
答案: Q = 7
触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 fclk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。
完整循环
每 8 个脉冲使计数器回到相同的状态。
18 = 2·8 + 2
剩余脉冲之后的计数
Q = (1 − 2) mod 8 = 7
Q = 111₂
答案
Q = 7
7.数论与模运算
答案: 18−1 mod 61 = 17
逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。
扩展欧几里得算法
每个余数 r 都写成 r ≡ t·18 (mod 61)。
r = 61, t = 0
r = 18, q = 3, t = 1
r = 7, q = 2, t = −3
r = 4, q = 1, t = 7
r = 3, q = 1, t = −10
r = 1, q = 3, t = 17
逆矩阵
1 ≡ 17·18 (mod 61)
x = 17
校核: 18·17 = 306 = 5·61 + 1
答案
18−1 mod 61 = 17
8.数论与模运算
答案: 458 mod 29 = 16
模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。
二进制指数
58 = 1110102 = 32 + 16 + 8 + 2
反复平方
41 ≡ 4 (mod 29)
42 ≡ 16 (mod 29)
44 ≡ 24 (mod 29)
48 ≡ 25 (mod 29)
416 ≡ 16 (mod 29)
432 ≡ 24 (mod 29)
把需要的幂相乘
458 ≡ 16·25·16·24 ≡ 16 (mod 29)
答案
458 mod 29 = 16
9.算法与复杂度
答案: C · O(n²)
为什么是这个答案
如果基准一直选得很差（例如输入已排好序且选第一个元素为基准），划分就会不平衡，导致 O(n²)。平均情况为 O(n log n)。
答案
C · O(n²)
10.算法与复杂度
答案: D · n = o(n²)，但 n 不是 o(n)
为什么是这个答案
f = o(g) 表示 f(n) / g(n) 趋于 0；n / n² 趋于 0，而 n / n = 1 则不然。
答案
D · n = o(n²)，但 n 不是 o(n)
11.数据结构
答案: A · 把它放在数组末尾，只要它违反堆性质就将其上浮（sift up）
为什么是这个答案
在末尾添加可以使树保持完全；与父节点交换可在 O(log n) 步内恢复顺序。
答案
A · 把它放在数组末尾，只要它违反堆性质就将其上浮（sift up）
12.数据结构
答案: C · 所有叶子都位于同一深度
为什么是这个答案
节点满时向上分裂，只有根分裂时树才会变高，因此所有叶子始终处于同一层。
答案
C · 所有叶子都位于同一深度
13.图论
答案: L = 11
欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。
树的握手引理
L + 25 = 2(L + 8) − 2
L = 11
答案
L = 11
捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。
14.图论
答案: W = 50
最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。
克鲁斯卡尔算法
BD (4): 取
DE (8): 取
AC (10): 取
EF (13): 取
DF (14): 跳过，会形成圈
AB (15): 取
总权重
W = 4 + 8 + 10 + 13 + 15 = 50
答案
W = 50
15.数据库与 SQL
答案: A · 左表的所有行以及右表中匹配的行，无匹配处填充 NULL
为什么是这个答案
左外连接保留左表的每一行；未匹配的右表列以 NULL 填充。
答案
A · 左表的所有行以及右表中匹配的行，无匹配处填充 NULL
16.数据库与 SQL
答案: B · 对 o 的 WHERE 条件拒绝了用 NULL 填充的行，使其变成了内连接
为什么是这个答案
不匹配的行中 o.status 为 NULL，因此 WHERE 测试不为 TRUE；把这个条件移到 ON 子句中就能保留每个客户。
答案
B · 对 o 的 WHERE 条件拒绝了用 NULL 填充的行，使其变成了内连接
17.计算机网络
答案: C · ICMP
为什么是这个答案
Ping 发送 ICMP 回显请求（echo request），并测量回显应答（echo reply）返回所需的时间。
答案
C · ICMP
18.计算机网络
答案: C · 其 128 位地址空间足够大，可以为每台设备分配全局地址
为什么是这个答案
IPv6 约有 3.4 × 10³⁸ 个地址，因此导致 IPv4 使用 NAT 的地址稀缺问题不复存在；安全性仍由防火墙提供。
答案
C · 其 128 位地址空间足够大，可以为每台设备分配全局地址
19.IPv4 子网划分
答案: x = 160
IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).
块大小
24 = 16
第 11 个子网
网络: (11 − 1)·16 = 160
广播: 160 + 16 − 1 = 175
答案
x = 160
20.IPv4 子网划分
答案: p = 21
路由汇总：汇总路由 a.b.c.0/p 覆盖前 p 位相同的所有网络。把第一个和最后一个网络中不同的那个八位组写成二进制；相同的前导位数加上它前面各八位组的位数，就是最长的汇总前缀。
比较各位
131 = 10000011
135 = 10000111
相同的前导位：5
前缀长度
p = 16 + 5 = 21
答案
p = /21
汇总路由：10.200.128.0/21 （它还覆盖了列表中没有的 3 个网络）。
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