数制
- 位权
- 二进制 2k，八进制 8k，十六进制 16k
- 转为十进制
- Σ dk·bk
- 从十进制转换
- 除以基数，余数从下往上读
- 十六进制 ↔ 二进制
- 一位十六进制数 = 4 位二进制
- 二进制补码
- 按位取反后加 1
计算机科学导论：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
命题逻辑与证明
- 真值表的行数
- 2ⁿ
- 蕴涵
- p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
- 蕴涵的否定
- ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
- 双条件
- p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
- 德摩根律
- ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
- 分配律
- p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
- 量词的否定
- ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
- 肯定前件，否定后件
- p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p
方法
- 数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
- 给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
- 按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
- 判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
- 否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。
数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
- 基本逻辑门
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- 布尔规则
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- 德摩根律
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- 卡诺图的顺序
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- 由 2ᵏ 个格子组成的圈
- 消去 k 个变量
- 4 选 1 多路选择器
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- 触发器
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- 计数器
- n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
- 行波计数器
- fmax = 1/(n·tpd)
- 环形计数器与约翰逊计数器
- n 个和 2n 个状态
方法
- 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
- 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
- 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
- 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。
数论与模运算
- 带余除法
- a = q·n + r, 0 ≤ r < n
- 欧几里得
- gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
- 最小公倍数
- lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
- 逆矩阵
- a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
- 线性同余方程
- a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
- 欧拉函数
- φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
- 费马
- aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
- RSA
- n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
方法
- 先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
- 求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
- 求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
- 解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
- 求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。
图论
- 握手引理
- Σ deg(v) = 2|E|
- 完全图
- |E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
- 正则图
- |E| = n·k/2
- 树与森林
- |E| = n − 1, |E| = n − c
- 树的叶子
- L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
- 欧拉
- 回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
- Kn 中的哈密顿回路
- (n − 1)!/2
- 迪杰斯特拉更新
- d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
- 长度为 L 的途径
- (Mᴸ)ij
方法
- 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
- 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
- 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
- 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
- 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。
IPv4 子网划分
- 每个子网的主机数
- 2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
- 块大小
- 256 − (mask octet)
- 网络地址
- IP AND 掩码
- 广播地址
- IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
- 借用 n 位得到的子网数
- 2n
2练习题
1.数制中等
把 −81 写成 8 位补码模式。再把该模式当作无符号二进制数读出：它的十进制值 U 是多少？
N = −818 bit
U =
2.数制困难
一幅未压缩图像为 512 × 512 像素，每像素 32 位。它占用多少内存 M（以 KiB 计，1 KiB = 1024 字节）？
512 × 512 px32 bit/px1 KiB = 1024 B
M = KiB
3.命题逻辑与证明中等
r ∧ ¬r 是重言式、矛盾式还是偶然式？点选你的答案。
r ∧ ¬r
- 1重言式
- 2矛盾式
- 3偶然式
4.命题逻辑与证明困难
前提为 q → p; r → p、结论为 q → r 的论证是无效的。点选真值表中作为反例的那一行。
q → pr → p∴ q → r
- 1p = 1, q = 1, r = 1
- 2p = 1, q = 1, r = 0
- 3p = 1, q = 0, r = 1
- 4p = 1, q = 0, r = 0
- 5p = 0, q = 1, r = 1
- 6p = 0, q = 1, r = 0
- 7p = 0, q = 0, r = 1
- 8p = 0, q = 0, r = 0
5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
用卡诺图求 F(A, B, C, D) = Σm(5, 8, 10, 15) 的最简积之和 (SOP) 形式。它总共包含多少个文字 L（带撇的变量算一个文字）？
F(A, B, C, D) = Σm(5, 8, 10, 15)
L =
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
求 F(A, B, C, D) = Σm(3, 13, 14, 15) + d(0, 1) 的最简 SOP 形式，其中 d 表示无关项。它有多少个乘积项 N？
F(A, B, C, D) = Σm(3, 13, 14, 15) + d(0, 1)
N =
7.数论与模运算中等
解 12x ≡ 14 (mod 79)。给出满足 0 < x < 79 的解 x。
12x ≡ 14 (mod 79)
x =
8.数论与模运算困难
解 8x ≡ 24 (mod 62)。给出最小的正解 x。
8x ≡ 24 (mod 62)
x =
9.算法与复杂度中等
为什么许多库排序函数在子数组很小时会改用插入排序？
- A在大规模输入上，插入排序比任何其他排序算法使用的内存都少
- B插入排序开销小，在小规模或几乎有序的输入上很快
- C递归算法无法处理少于 10 个元素的数组
- D插入排序在最坏情况下是 O(n log n)
10.算法与复杂度困难
下面代码的时间复杂度是多少：for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) 执行 O(1) 的工作？
- AO(n log n)
- BO(n²)
- CO(n √n)
- DO(n)
11.数据结构中等
把键 50、30、70、20、40 按此顺序插入一棵空的二叉搜索树。30 的左子节点是什么？
- A20
- B50
- C40
- D70
12.数据结构困难
在简单均匀哈希假设下，在含 n 个键、m 个桶的拉链法哈希表中查找的期望时间是多少？
- AO(m)
- BO(log n)
- CO(1 + α)，其中 α = n / m
- DO(n)
13.图论中等
完全图 K8 有多少条不同的哈密顿回路 H？只是起点或方向不同的回路算作同一条。
K8
H =
14.图论困难
从 C 到 E 的长度为 3 的途径有多少条？途径可以重复顶点和边。把这个数记作 N。
M = 邻接矩阵L = 3
N =
15.数据库与 SQL中等
哪个查询返回 customers 表中不同城市的数量？
- ASELECT COUNT(city) FROM customers GROUP BY city
- BSELECT DISTINCT COUNT(city) FROM customers
- CSELECT SUM(DISTINCT city) FROM customers
- DSELECT COUNT(DISTINCT city) FROM customers
16.数据库与 SQL困难
与 3NF 相比，把表分解为 BCNF 的一个已知缺点是什么？
- ABCNF 比 3NF 允许更多冗余
- B分解后再连接回来总会丢失数据
- C某些函数依赖可能无法再在单个表中检查
- DBCNF 表不能有主键
17.计算机网络中等
DNS 中的 MX 记录指定什么？
- A为某个域接收电子邮件的邮件服务器
- B另一台主机的别名
- CWeb 服务器的 IPv4 地址
- D某个区域的域名服务器
18.计算机网络困难
无穷计数问题出现在哪类路由协议中？什么方法有助于应对它？
- A静态路由；添加默认路由
- B距离向量协议；水平分割和毒性逆转
- C路径向量协议；更长的 AS 路径
- D链路状态协议；泛洪链路更新
19.IPv4 子网划分中等
网络 192.168.10.0/24 需要划分为至少 16 个相等的子网。若借用尽可能少的位，每个子网有多少可用主机 H？
192.168.10.0/2416 subnets
H =
20.IPv4 子网划分困难
某主机地址为 10.20.99.243/28。其网络地址的第四个八位组 x 是多少？
10.20.99.243/28
x =
3溶液
1.数制
答案: U = 175
位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。
取反加一
81 = 0101 0001
取反后: 1010 1110
+1 → 1010 1111
按无符号数读取
1010 1111₂ = 256 − 81 = 175
答案
U = 175
2.数制
答案: M = 1024 KiB
位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。
位和字节
512·512·32 = 8388608 bit = 1048576 B
换算为 KiB
1048576/1024 = 1024 KiB
答案
M = 1024 KiB
3.命题逻辑与证明
答案: 矛盾式
逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。
逐行写出真值表
r = 1: ¬r = 0, r ∧ ¬r = 0
r = 0: ¬r = 1, r ∧ ¬r = 0
分类
r ∧ ¬r: 0, 0
每一行都是 0：矛盾式。
答案
矛盾式
4.命题逻辑与证明
答案: p = 1, q = 1, r = 0
量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。
逐行列出前提与结论
p = 1, q = 1, r = 1: 1 1 | 1
p = 1, q = 1, r = 0: 1 1 | 0
p = 1, q = 0, r = 1: 1 1 | 1
p = 1, q = 0, r = 0: 1 1 | 1
p = 0, q = 1, r = 1: 0 0 | 1
p = 0, q = 1, r = 0: 0 1 | 0
p = 0, q = 0, r = 1: 1 0 | 1
p = 0, q = 0, r = 0: 1 1 | 1
反例
p = 1, q = 1, r = 0
答案
p = 1, q = 1, r = 0
这种形式的论证看起来像有效的规则，但只要有一行就足以说明它并不有效。
5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
答案: L = 11
卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。
圈 1
每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。
AB′D′
A′BC′D
ABCD
最简 SOP 形式
F = AB′D′ + A′BC′D + ABCD
L = 11
答案
L = 11
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
答案: N = 3
卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。
质蕴涵项
由 1 和 X 能够构成的最大的圈。
A′B′D, ABD, ABC
最小覆盖
F = A′B′D + ABD + ABC
N = 3
答案
N = 3
7.数论与模运算
答案: x = 67
逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。
12 的逆元
r = 79, t = 0
r = 12, q = 6, t = 1
r = 7, q = 1, t = −6
r = 5, q = 1, t = 7
r = 2, q = 2, t = −13
r = 1, q = 2, t = 33
12−1 ≡ 33 (mod 79)
求解
x ≡ 33·14 = 462 ≡ 67 (mod 79)
校核: 12·67 = 804 ≡ 14 (mod 79)
答案
x = 67
8.数论与模运算
答案: x = 3
逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。
除以最大公约数
gcd(8, 62) = 2
4x ≡ 12 (mod 31)
解化简后的同余式
4−1 ≡ 8 (mod 31) → x ≡ 3 (mod 31)
模 62 下的解
x ∈ {3, 34}
x = 3
答案
x = 3
9.算法与复杂度
答案: B · 插入排序开销小，在小规模或几乎有序的输入上很快
为什么是这个答案
对于很小的 n，插入排序的简单循环胜过快速排序或归并排序的递归开销，尽管它是 O(n²)。
答案
B · 插入排序开销小，在小规模或几乎有序的输入上很快
10.算法与复杂度
答案: A · O(n log n)
为什么是这个答案
总数为 n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn，而调和数 Hn 是 Θ(log n)。
答案
A · O(n log n)
11.数据结构
答案: A · 20
为什么是这个答案
20 比 50 小，也比 30 小，因此成为 30 的左子节点；40 成为 30 的右子节点。
答案
A · 20
12.数据结构
答案: C · O(1 + α)，其中 α = n / m
为什么是这个答案
计算哈希的代价是 O(1)，链的期望长度为 α，因此通过扩容使 α 有界，就能得到 O(1) 的期望时间。
答案
C · O(1 + α)，其中 α = n / m
13.图论
答案: H = 2520
欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。
计数
H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520
答案
H = 2520
14.图论
答案: N = 5
度：顶点的度是与它相连的边的条数。每条边有两个端点，所以度数之和等于边数的两倍：Σ deg(v) = 2|E|（握手引理）。因此奇度顶点的个数是偶数。Kn 有 n(n − 1)/2 条边，n 个顶点的 k-正则图有 nk/2 条边，n 个顶点的树有 n − 1 条边。
邻接矩阵
A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 0 1 1
C: 1 0 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0
再走一步
(M³)CE = 0·0 + 2·1 + 2·1 + 1·1 + 0·0 = 5
答案
N = 5
15.数据库与 SQL
答案: D · SELECT COUNT(DISTINCT city) FROM customers
为什么是这个答案
COUNT(DISTINCT city) 统计不同的非 NULL 城市；放在 COUNT 外面的 DISTINCT 只是去除重复的结果行。
答案
D · SELECT COUNT(DISTINCT city) FROM customers
16.数据库与 SQL
答案: C · 某些函数依赖可能无法再在单个表中检查
为什么是这个答案
无损的 BCNF 分解总是存在的，但它可能不保持依赖；3NF 分解则总能做到既无损又保持依赖。
答案
C · 某些函数依赖可能无法再在单个表中检查
17.计算机网络
答案: A · 为某个域接收电子邮件的邮件服务器
为什么是这个答案
MX（邮件交换）记录列出带有优先级的邮件服务器，使发送方服务器知道该把发往该域的邮件投递到哪里。
答案
A · 为某个域接收电子邮件的邮件服务器
18.计算机网络
答案: B · 距离向量协议；水平分割和毒性逆转
为什么是这个答案
发生故障后，距离向量路由器可能继续互相通告过时的路由，使度量值缓慢上升。水平分割、毒性逆转和最大度量值可以限制这一问题。
答案
B · 距离向量协议；水平分割和毒性逆转
19.IPv4 子网划分
答案: H = 14
IPv4 子网划分：一个地址有 32 位。前缀 /p 表示前面多少位标识网络；其余 32 − p 位为主机编号。一个子网有 2³²⁻ᵖ 个地址，但第一个（网络地址）和最后一个（广播地址）不能分配给主机，所以可容纳 2³²⁻ᵖ − 2 台主机。 例外：/31（点对点链路，RFC 3021）的 2 个地址都用于主机，/32 只有一个地址（单个主机或环回地址）。
借用的位数
24 = 16 ≥ 16 → b = 4, /28
每个子网的主机数
24 − 2 = 14
答案
H = 14
20.IPv4 子网划分
答案: x = 240
IPv4 子网划分：一个地址有 32 位。前缀 /p 表示前面多少位标识网络；其余 32 − p 位为主机编号。一个子网有 2³²⁻ᵖ 个地址，但第一个（网络地址）和最后一个（广播地址）不能分配给主机，所以可容纳 2³²⁻ᵖ − 2 台主机。 例外：/31（点对点链路，RFC 3021）的 2 个地址都用于主机，/32 只有一个地址（单个主机或环回地址）。
块大小
24 = 16
该主机所在子网
网络: ⌊243/16⌋·16 = 240
广播: 240 + 16 − 1 = 255
可用主机: 241 … 254
答案
x = 240
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