计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权: 二进制 2^k，八进制 8^k，十六进制 16^k
转为十进制: Σ d_k·b^k
从十进制转换: 除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制: 一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码: 按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数: 2ⁿ
蕴涵: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小: 256 − (mask octet)
网络地址: IP AND 掩码
广播地址: IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数: 2ⁿ

2练习题

1.数制中等

8 位模式 1111 1111 以补码形式存储一个有符号整数。它的十进制值 N 是多少？

1111 11118 bit

N =

2.数制困难

一幅未压缩图像为 1280 × 720 像素，每像素 8 位。它占用多少内存 M（以 KiB 计，1 KiB = 1024 字节）？

1280 × 720 px8 bit/px1 KiB = 1024 B

M = KiB

3.命题逻辑与证明中等

哪个公式与 r ↔ p 在逻辑上等价？点选它。

r ↔ p

1(r → p) ∨ (p → r)
2(r → p) ∧ (¬p → ¬r)
3r ∧ p
4(r → p) ∧ (p → r)

4.命题逻辑与证明困难

把否定完全移到内部之后，哪个命题与 ¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x)) 等价？点选它。

¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x))

1∃x ∃y (¬R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
2∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
3∃x ∃y (R(x, y) → ¬R(y, x))
4∀x ∀y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

用卡诺图求 F(A, B, C, D) = Σm(0, 4, 5, 8, 9, 11, 12, 13) 的最简和之积 (POS) 形式。它有多少个和项（因子）N？

F(A, B, C, D) = Σm(0, 4, 5, 8, 9, 11, 12, 13)

N =

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

一个上升沿触发的 T 触发器从 Q = 0 开始，接收到所示的输入。点选 Q 第一次从 1 回到 0 的时钟边沿。

Q₀ = 0T

1时钟边沿 1
2时钟边沿 2
3时钟边沿 3
4时钟边沿 4
5时钟边沿 5
6时钟边沿 6
7时钟边沿 7
8时钟边沿 8

7.数论与模运算中等

求 3 模 71 的逆元：满足 0 < x < 71 且 3·x ≡ 1 (mod 71) 的数 x。

a = 3n = 71

3⁻¹ mod 71 =

8.数论与模运算困难

某个 RSA 密钥使用 p = 17，q = 41，e = 19。解密密文 c = 607：求消息 m。

p = 17q = 41e = 19c = 607

m =

9.算法与复杂度中等

对 n 个元素的数组进行归并排序，递归共有多少层？

A约 n / 2 层
B约 log₂ n 层
C约 n 层
D约 √n 层

10.算法与复杂度困难

为什么当某些边权为负时，Dijkstra 算法可能给出错误结果？

A优先队列中不能存储负数
B顶点被取出时距离就被确定，但之后的负权边仍可能给它一条更短的路径
C每遇到一条负权边它就会陷入无限循环
D它只适用于无向图

11.数据结构中等

一个应用需要快速查找，还需要按有序顺序列出键并回答范围查询。哪种结构最合适？

A平衡二叉搜索树
B无序链表
C栈
D哈希表

12.数据结构困难

如何只用 O(1) 的额外内存检测一个单链表中是否有环？

A对链表排序并寻找重复元素
B让一个指针每次走一步，另一个每次走两步，检查它们是否相遇
C计数节点，直到计数超过链表的长度字段
D把每个访问过的节点存入一个哈希集合

13.图论中等

一棵树有 3 个度为 3 的顶点, 3 个度为 4 的顶点, 3 个度为 5 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？

3 × deg 33 × deg 43 × deg 5

L =

14.图论困难

迪杰斯特拉算法从 A 开始运行。点选在第 5 轮被确定（成为永久标号）的顶点；A 本身是第 1 轮。

起点：A轮 5

15.数据库与 SQL中等

第一范式（1NF）要求：

A每个非键列都依赖于整个键，且只依赖于键
B每个表恰好只有一列
C没有外键
D每列都包含原子值，且没有重复组

16.数据库与 SQL困难

哪种隔离级别可以防止脏读，但仍允许不可重复读？

A读已提交（Read committed）
B可重复读（Repeatable read）
C读未提交（Read uncommitted）
D可串行化（Serializable）

17.计算机网络中等

分布式拒绝服务（DDoS）攻击的特征是什么？

A一种病毒删除一台 PC 上的文件
B一个攻击者猜测用户的密码
C大量被攻陷的机器用流量淹没一个目标
D攻击者从附近的汽车里读取未加密的 Wi-Fi 流量

18.计算机网络困难

为什么要引入 TCP 窗口扩大选项？

AUDP 需要一种在拥塞路径上控制发送速率的方法
B32 位的窗口字段太大，浪费了每个已发送 TCP 报文段中的首部空间
C没有它，TCP 就无法检测长距离链路上丢失的段
D16 位的窗口字段把窗口限制在 65,535 字节，对于高速长距离路径来说太小

19.IPv4 子网划分中等

某部门在一个子网内需要 1702 个主机地址。足够使用的最长前缀 p（最小子网）是多少？

1702 hosts

p =

20.IPv4 子网划分困难

一台路由器有到以下网络的路由：10.174.53.0/24, 10.174.54.0/24, 10.174.55.0/24。能覆盖所有这些网络的单条汇总路由，其最长前缀长度 p 是多少？

10.174.53.0/24 … 10.174.55.0/24

p =

3溶液

1.数制

答案: N = −1

位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。

位权相加

其余各位保持正常的正权值。

−128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = −1

答案

N = −1

2.数制

答案: M = 900 KiB

位和字节

1280·720·8 = 7372800 bit = 921600 B

换算为 KiB

921600/1024 = 900 KiB

答案

M = 900 KiB

3.命题逻辑与证明

答案: (r → p) ∧ (p → r)

逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

定律

a ↔ b 表示蕴涵在两个方向上都成立：(a → b) ∧ (b → a)。

r ↔ p ≡ (r → p) ∧ (p → r)

用真值表检验

p = 1, r = 1: 1 | 1 1 1 1

p = 1, r = 0: 0 | 1 1 0 0

p = 0, r = 1: 0 | 1 0 0 0

p = 0, r = 0: 1 | 1 1 0 1

答案

(r → p) ∧ (p → r)

竖线之后的各列是按所示顺序排列的各个选项。

4.命题逻辑与证明

答案: ∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

把否定移到内部

¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x)) ≡ ∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

答案

∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

其他选项要么保持某个量词不变，要么改变了量词的顺序，要么错误地否定了内部的公式。

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 3

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

圈 0

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

(C′ + D)

(B′ + C′)

(A + B + D′)

最简 POS 形式

F = (C′ + D)(B′ + C′)(A + B + D′)

N = 3

答案

N = 3

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: 时钟边沿 4

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 f_clk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

每个边沿之后的 Q

T 触发器在 T = 1 时每个上升沿翻转，在 T = 0 时保持。

1: T = 1 → Q = 1

2: T = 0 → Q = 1

3: T = 0 → Q = 1

4: T = 1 → Q = 0

5: T = 0 → Q = 0

6: T = 1 → Q = 1

7: T = 0 → Q = 1

8: T = 0 → Q = 1

第一次从 1 变为 0

时钟边沿 4

答案

时钟边沿 4

7.数论与模运算

答案: 3⁻¹ mod 71 = 24

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

扩展欧几里得算法

每个余数 r 都写成 r ≡ t·3 (mod 71)。

r = 71, t = 0

r = 3, q = 23, t = 1

r = 2, q = 1, t = −23

r = 1, q = 2, t = 24

逆矩阵

1 ≡ 24·3 (mod 71)

x = 24

校核: 3·24 = 72 = 1·71 + 1

答案

3⁻¹ mod 71 = 24

8.数论与模运算

答案: m = 210

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

私钥指数

n = 697, φ(n) = 640

d = 19⁻¹ mod 640 = 539

用反复平方法解密

539 = 512 + 16 + 8 + 2 + 1

607¹ ≡ 607 (mod 697)

607² ≡ 433 (mod 697)

607⁴ ≡ 693 (mod 697)

607⁸ ≡ 16 (mod 697)

607¹⁶ ≡ 256 (mod 697)

607³² ≡ 18 (mod 697)

607⁶⁴ ≡ 324 (mod 697)

607¹²⁸ ≡ 426 (mod 697)

607²⁵⁶ ≡ 256 (mod 697)

607⁵¹² ≡ 18 (mod 697)

607⁵³⁹ ≡ 607·433·16·256·18 ≡ 210 (mod 697)

消息

m = 210

树的握手引理

L + 36 = 2(L + 9) − 2

L = 20

答案

L = 20

捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。

14.图论

答案: D

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

1. A (0): C: 1

2. C (1): B: 7, E: 9

3. B (7): D: 10

4. E (9): F: 16

5. D (10)

原始首部最多允许 65,535 字节的未确认数据。窗口扩大把它乘以 2 的幂，使高带宽时延积的路径能够被填满。

答案

D · 16 位的窗口字段把窗口限制在 65,535 字节，对于高速长距离路径来说太小

19.IPv4 子网划分

答案: p = 21

IPv4 子网划分：一个地址有 32 位。前缀 /p 表示前面多少位标识网络；其余 32 − p 位为主机编号。一个子网有 2³²⁻ᵖ 个地址，但第一个（网络地址）和最后一个（广播地址）不能分配给主机，所以可容纳 2³²⁻ᵖ − 2 台主机。例外：/31（点对点链路，RFC 3021）的 2 个地址都用于主机，/32 只有一个地址（单个主机或环回地址）。

所需主机位

2¹⁰ − 2 = 1022 < 1702

2¹¹ − 2 = 2046 ≥ 1702 → h = 11

前缀长度

p = 32 − 11 = 21

答案

p = /21

20.IPv4 子网划分

答案: p = 22

路由汇总：汇总路由 a.b.c.0/p 覆盖前 p 位相同的所有网络。把第一个和最后一个网络中不同的那个八位组写成二进制；相同的前导位数加上它前面各八位组的位数，就是最长的汇总前缀。

比较各位

53 = 00110101

55 = 00110111

相同的前导位：6

前缀长度

p = 16 + 6 = 22

答案

p = /22

汇总路由：10.174.52.0/22 （它还覆盖了列表中没有的 1 个网络）。

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